2019-2023年真題分類匯編（新高考）專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(原卷版+解析)

五年（2019-2023）年高考真題分項匯編專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點一導(dǎo)數(shù)的運算1．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若，均為偶函數(shù)，則A． B． C．（4） D．（2）考點二利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程2．（2021?新高考Ⅰ）若過點可以作曲線的兩條切線，則A． B． C． D．3．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則的取值范圍是．4．（2022?新高考Ⅱ）曲線過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為，．5．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點，和點，的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點，則的取值范圍是．考點三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為A． B． C． D．7．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．8．（2022?浙江）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知，，曲線上不同的三點，，，，，處的切線都經(jīng)過點．證明：（?。┤簦瑒t（a）；（ⅱ）若，，則．（注是自然對數(shù)的底數(shù)）9．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．10．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）從下面兩個條件中選一個，證明：恰有一個零點．①，；②，．11．（2021?浙江）設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，，滿足．（注是自然對數(shù)的底數(shù)）12．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．13．（2020?海南）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若，求的取值范圍．14．（2019?浙江）已知實數(shù)，設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對任意，均有，求的取值范圍．注：為自然對數(shù)的底數(shù)．考點四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值15．【多選】（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則A． B． C． D．16．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個極值點 B．有三個零點 C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線17．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若為的極大值點，求的取值范圍．考點五利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值18．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)和有相同的最小值．（1）求；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．五年（2019-2023）年高考真題分項匯編專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點一導(dǎo)數(shù)的運算1．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若，均為偶函數(shù)，則A． B． C．（4） D．（2）【解析】為偶函數(shù)，可得，關(guān)于對稱，令，可得，即（4），故正確；為偶函數(shù)，，關(guān)于對稱，故不正確；關(guān)于對稱，是函數(shù)的一個極值點，函數(shù)在，處的導(dǎo)數(shù)為0，即，又的圖象關(guān)于對稱，，函數(shù)在，的導(dǎo)數(shù)為0，是函數(shù)的極值點，又的圖象關(guān)于對稱，，關(guān)于的對稱點為，，由是函數(shù)的極值點可得是函數(shù)的一個極值點，，進(jìn)而可得，故是函數(shù)的極值點，又的圖象關(guān)于對稱，，關(guān)于的對稱點為，，，故正確；圖象位置不確定，可上下移動，即每一個自變量對應(yīng)的函數(shù)值不是確定值，故錯誤．解法二：構(gòu)造函數(shù)法，令，則，則，，滿足題設(shè)條件，可得只有選項正確，故選：．考點二利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程2．（2021?新高考Ⅰ）若過點可以作曲線的兩條切線，則A． B． C． D．【解析】法一：函數(shù)是增函數(shù)，恒成立，函數(shù)的圖象如圖，，即切點坐標(biāo)在軸上方，如果在軸下方，連線的斜率小于0，不成立．點在軸或下方時，只有一條切線．如果在曲線上，只有一條切線；在曲線上側(cè)，沒有切線；由圖象可知在圖象的下方，并且在軸上方時，有兩條切線，可知．故選：．法二：設(shè)過點的切線橫坐標(biāo)為，則切線方程為，可得，設(shè)，可得，，，是增函數(shù)，，，是減函數(shù)，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，上述關(guān)于的方程有兩個實數(shù)解，對應(yīng)兩條切線．故選：．3．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則的取值范圍是．【解析】，設(shè)切點坐標(biāo)為，，切線的斜率，切線方程為，又切線過原點，，整理得：，切線存在兩條，方程有兩個不等實根，△，解得或，即的取值范圍是，，，故答案為：，，．4．（2022?新高考Ⅱ）曲線過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為，．【解析】當(dāng)時，，設(shè)切點坐標(biāo)為，，，切線的斜率，切線方程為，又切線過原點，，，切線方程為，即，當(dāng)時，，與的圖像關(guān)于軸對稱，切線方程也關(guān)于軸對稱，切線方程為，綜上所述，曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條切線方程分別為，，故答案為：，．5．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點，和點，的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點，則的取值范圍是．【解析】當(dāng)時，，導(dǎo)數(shù)為，可得在點，處的斜率為，切線的方程為，令，可得，即，當(dāng)時，，導(dǎo)數(shù)為，可得在點，處的斜率為，令，可得，即，由的圖象在，處的切線相互垂直，可得，即為，，，所以．故答案為：．考點三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為A． B． C． D．【解析】對函數(shù)求導(dǎo)可得，，依題意，在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，易知當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．故選：．7．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．【解析】（1），則，①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時，令得，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．證明：（2）由（1）可知，當(dāng)時，，要證，只需證，只需證，設(shè)（a），，則（a），令（a）得，，當(dāng)時，（a），（a）單調(diào)遞減，當(dāng)，時，（a），（a）單調(diào)遞增，所以（a），即（a），所以得證，即得證．8．（2022?浙江）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知，，曲線上不同的三點，，，，，處的切線都經(jīng)過點．證明：（ⅰ）若，則（a）；（ⅱ）若，，則．（注是自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】（Ⅰ）函數(shù)，，，由，得，在，上單調(diào)遞增；由，得，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：過有三條不同的切線，設(shè)切點分別為，，，，，，，，2，，方程有3個不同的根，該方程整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，有3個不同的零點，（e）且（a），，且，整理得到且，此時，，且，此時，，整理得，且，此時，（a），設(shè)（a）為上的減函數(shù)，（a），．當(dāng)時，同討論，得：在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，有3個不同的零點，（a），且（e），，且，整理得，，，，設(shè)，則方程即為：，即為，記，則，，為有三個不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，而，且，，，即證，即證，即證，記，則，在為增函數(shù)，，，設(shè)，，則，在上是增函數(shù)，（1），，即，若，，則．9．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．【解析】（1）當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．（2）令，，，在上恒成立，又，令，則，，①當(dāng)，即，存在，使得當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增．因為，所以在內(nèi)遞增，所以，這與矛盾，故舍去；②當(dāng)，即，，若，則，所以在，上單調(diào)遞減，，符合題意．若，則，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．另解：的導(dǎo)數(shù)為，①當(dāng)時，，所以在遞增，所以，與題意矛盾；②當(dāng)時，，所以在遞減，所以，滿足題意；．③當(dāng)時，．設(shè)，，則在遞減，所以，，所以在遞減，所以，滿足題意；④當(dāng)時，，令，則，，可得遞減，，所以存在，使得．當(dāng)時，，在遞增，此時，所以當(dāng)時，，在遞增，所以，與題意矛盾．綜上可得，的取值范圍是，．（3）由（2）可知，當(dāng)時，，令得，，整理得，，，，，即．另解：運用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時，左邊成立．假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即．當(dāng)時，要證，只要證，即證．可令，則，，則需證明，再令，則需證明．構(gòu)造函數(shù)，，，可得在，上遞減，則（1），所以原不等式成立，即時，成立．綜上可得，成立．10．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）從下面兩個條件中選一個，證明：恰有一個零點．①，；②，．【解析】（Ⅰ），，①當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，令，可得或，當(dāng)時，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，時，且等號不恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，和上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：若選①，由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增．注意到．在上有一個零點；，由得，，，當(dāng)時，，此時無零點．綜上：在上僅有一個零點．另解：當(dāng)，時，有，，而，于是，所以在沒有零點，當(dāng)時，，于是，所以在，上存在一個零點，命題得證．若選②，則由（Ⅰ）知：在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，，，，，當(dāng)時，，此時無零點．當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，取，，，又易證，，在上有唯一零點，即在上有唯一零點．綜上：在上有唯一零點．11．（2021?浙江）設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，，滿足．（注是自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】（Ⅰ），①當(dāng)時，由于，則，故，此時在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，解得，令，解得，此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）注意到時，，當(dāng)時，，由（Ⅰ）知，要使函數(shù)有兩個不同的零點，只需即可，對任意均成立，令，則，即，即，即，對任意均成立，記，則，令（b），得，①當(dāng)，即時，易知（b）在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時（b），不合題意；②當(dāng)，即時，易知（b）在，單調(diào)遞減，此時，故只需，即，則，即；綜上，實數(shù)的取值范圍為，；（Ⅲ）證明：當(dāng)時，，，令，解得，易知，有兩個零點，不妨設(shè)為，，且，由，可得，要證，只需證，只需證，而，則，要證，只需證，只需證，而，，即得證．12．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．【解析】（1）解：由函數(shù)的解析式可得，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）證明：由，得，即，由（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以（1），且（e），令，，則，為的兩根，其中．不妨令，，則，先證，即證，即證，令，則在單調(diào)遞減，所以（1），故函數(shù)在單調(diào)遞增，（1）．，，得證．同理，要證，（法一）即證，根據(jù)（1）中單調(diào)性，即證，令，，則，令，，，單調(diào)遞增，，，，單調(diào)遞減，又時，，且（e），故，（1）（1），恒成立，得證，（法二），，又，故，，故，，令，，，在上，，單調(diào)遞增，所以（e），即，所以，得證，則．13．（2020?海南）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，，（1），（1），曲線在點，（1）處的切線方程為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，曲線在點，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．（2）方法一：由，可得，即，即，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），，，故的范圍為，．方法二：由可得，，，即，設(shè)，恒成立，在單調(diào)遞增，，，即，再設(shè)，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），，即，則，此時只需要證，即證，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，此時不成立，綜上所述的取值范圍為，．方法三：由題意可得，，，易知在上為增函數(shù)，①當(dāng)時，（1），，存在使得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），不滿足題意，②當(dāng)時，，，，令，，易知在上為增函數(shù)，（1），當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），即，綜上所述的取值范圍為，．方法四：，，，，易知在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在0，上為減函數(shù)，與在0，上有交點，存在，使得，則，則，即，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且（1），當(dāng)，時，，，時，，設(shè)，，，恒成立，在，上單調(diào)遞減，（1），當(dāng)時，，，．方法五：等價于，該不等式恒成立．當(dāng)時，有，其中．設(shè)（a），則（a），則（a）單調(diào)遞增，且（1）．所以若成立，則必有．下面證明當(dāng)時，成立．設(shè)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，即，把換成得到，，．，當(dāng)時等號成立．綜上，．14．（2019?浙江）已知實數(shù)，設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對任意，均有，求的取值范圍．注：為自然對數(shù)的底數(shù)．【解析】（1）當(dāng)時，，，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1），得，當(dāng)時，，等價于，令，則，設(shè)，，則，當(dāng)，時，，則，記，，則，列表討論：，10單調(diào)遞減極小值（1）單調(diào)遞增（1），．當(dāng)時，，令，，，則，故在，上單調(diào)遞增，，由得（1），，，由知對任意，，，，，即對任意，，均有，綜上所述，所求的的取值范圍是，．考點四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值15．【多選】（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則A． B． C． D．【解析】函數(shù)定義域為，且，由題意，方程即有兩個正根，設(shè)為，，則有，，△，，，，即．故選：．16．【多選】（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個極值點 B．有三個零點 C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【解析】，令，解得或，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，有兩個極值點，有且僅有一個零點，故選項正確，選項錯誤；又，則關(guān)于點對稱，故選項正確；假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點為，則，解得或，顯然和均不在曲線上，故選項錯誤．故選：．17．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若為的極大值點，求的取值范圍．【解析】（1）證明：設(shè)，，則，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，即，，，，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，，，即，，，，綜合可得：當(dāng)時，；（2）解：，，且，，①若，即時，易知存在，使得時，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，這顯然與為函數(shù)的極大值點相矛盾，故舍去；②若，即或時，存在，使得，時，，在，上單