大學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文-兩輛鐵路平板車的裝貨問題

兩輛鐵路平板車的裝貨問題摘要本文針對包裝箱的運輸問題，建立了關(guān)于使得平板車空間浪費最小的一般數(shù)學(xué)模型與方法。即使得空間浪費最小的最優(yōu)解，屬于優(yōu)化類模型。利用線性規(guī)劃原理對問題進行分析求解，建立數(shù)學(xué)模型。首先，將7種包裝箱的厚度和重量分別設(shè)成相應(yīng)的未知數(shù)，方便在題中的代入求解。由此再進一步的研究。對于問題，假設(shè)出各輛鐵路平板車所載的7種包裝箱的數(shù)目。并考慮到鐵路平板車，對所載包裝箱的高度、重量等要求，利用所設(shè)未知數(shù)和已知的條件限制建立約束條件。再對鐵路平板車得空間浪費最少建立目標(biāo)函數(shù)。由此，可建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，對本文問題進行求解。利用LINGO編程進行求得最優(yōu)解,即得到最優(yōu)設(shè)計方案：第一輛平板車載C1種類型的包裝箱0件，C2種類型的包裝箱5件，C3類型的包裝箱2件，C4種類型的包裝箱5件，C5種類型的包裝箱2件，C6種類型的包裝箱1件，C7種類型的包裝箱2件；另一輛平板車載C1種類型的包裝箱6件，C2種類型的包裝箱2件，C3種類型的包裝箱6件，C4種類型的包裝箱0件，C5種類型的包裝箱0件，C6種類型的包裝箱0件，C7種類型的包裝箱4件；這樣的裝載能使得兩輛平板車的使用高度達到20.4米，空間利用率達到100%。關(guān)鍵詞：最小浪費空間、長度、重量、數(shù)量。一、問題重述有7種規(guī)格的包裝箱要裝到兩輛鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度（t，以厘米計）及重量（ω，以kg計）是不同的。下表給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量。每輛平板車有10.2m長的地方可用來裝包裝箱（象面包片那樣），載重為40t。C1C2C3C4C5C6C7件數(shù)8796648t(cm)48.752.061.372.048.752.064.0W(kg)200030001000500400020001000貨運管理制度規(guī)定：每輛平板車上C5,C6,C7三類包裝箱所占空間不能超過302.7cm問:應(yīng)該如何把這些包裝箱裝到平板車上，才能使得浪費的空間最??？試建立此問題的數(shù)學(xué)模型。二、模型假設(shè)1、包裝箱的底面積恰好與平面車的平面積恰好相等。2、包裝箱之間不存在間隙，即包裝箱所鋪成的總高度沒有影響。3、將每個包裝箱裝入平板車都具有可行性。4、各個貨物裝在車上的概率相同，相互之間的排放不存在關(guān)聯(lián)性；5、在該平板車裝載的過程中不考慮各個貨物的厚度及重量的誤差性，均為題中所給的準(zhǔn)確數(shù)值；6、裝載的過程中不考慮貨物在車上的排列次序及各個貨物的重量密度，排除因局部過重而造成的平板車不能行駛的情況；三、符號定義說明:表示第i類包裝箱的厚度：表示第i類包裝箱的重量：表示第i類包裝箱：表示在其中一輛車上裝第i類包裝箱x件：表示在另一輛車上裝第i類包裝箱y件（i=1,2,3,4,5,6,7）四、問題分析七種包裝箱的重量和W==89t，而兩輛平板車只能載240=80t，因此不能全部裝下，究竟在兩輛車上裝哪些種類的箱子各多少才合適，必須有評價的標(biāo)準(zhǔn)，這標(biāo)準(zhǔn)是遵守題中說明的重量,厚度方面的約束條件，并且體現(xiàn)出盡可能多裝。由題意，只考慮面包重疊那樣的裝法，把問題簡化為：兩輛車上裝箱總厚度之和盡可能大，可以確定建立線性規(guī)劃求整數(shù)解模型（每個箱子屬于0-1規(guī)劃模型）來解決這一問題，以尋找最合適的方案：所浪費的空間最小，也就是說，是要讓使用的空間最大化。五、模型的建立與求解在符號假設(shè)中，設(shè)型箱的厚度為米，重公斤，在其一輛車上裝件，另一車上裝件，設(shè)型箱的總數(shù)為則，1、因為題中要求計算如何把這些包裝箱裝到平板車上，才能使得浪費的空間最小?？蓪⑵渥鳛槟繕?biāo)函數(shù)。根據(jù)題意得出目標(biāo)函數(shù)為：2、根據(jù)已知條件：每輛平板車有10.2m長的地方可用來裝包裝箱（象面包片那樣），載重為40t，即兩輛車所載的高度均超過10.2m，所載的包裝箱的重量都不過40t。由此可建立約束條件(一)：3、本文中特別規(guī)定：每輛平板車上C5,C6,C7三類包裝箱所占空間不能超過302.7cm，由此可建立約束條件（二）因為所裝載的包裝箱個數(shù)必定為整數(shù)且兩輛平板車所載包裝箱的個數(shù)應(yīng)小于總個數(shù)，即為整數(shù)，且。4、建立約束條件（三）。為整數(shù)，且。將以上求解思路分析總結(jié)，建立模型如下：由題中所給數(shù)據(jù)：t(厘米)48.752.061.372.048.752.064.0W(公斤)200030001000500400020001000件數(shù)8796648代入上式進行求解：在問題的求解利用LINGO進行求解得：即當(dāng)?shù)谝惠v平板車載C1種類型的包裝箱0件，C2種類型的包裝箱5件，C3類型的包裝箱2件，C4種類型的包裝箱5件，C5種類型的包裝箱2件，C6種類型的包裝箱1件，C7種類型的包裝箱2件；另一輛平板車載C1種類型的包裝箱6件，C2種類型的包裝箱2件，C3種類型的包裝箱6件，C4種類型的包裝箱0件，C5種類型的包裝箱0件，C6種類型的包裝箱0件，C7種類型的包裝箱4件；這樣的裝載能使得兩輛平板車的使用高度達到20.4米，空間利用率達到100%。六、模型改進本題若運用Matlab求解，所得結(jié)果誤差較大。因為決策變量只能取整數(shù)，線性規(guī)劃就變成了整數(shù)線性規(guī)劃。而無論是在理論上還是實踐中，它都比普通線性規(guī)劃難得多。因此，在實踐中，不必把整數(shù)規(guī)劃與普通規(guī)劃分得太清。許多實際問題中，建模本身就包含了一些不確定因素，同時常常也允許近似的或粗略的結(jié)果。但在本題中，若將決策變量的值用舍入湊整法進行取整，本身決策變量的取值就小，再進行舍入湊整法，值的變化就非常明顯，從而導(dǎo)致決策變量取值的誤差變大。為了減小實驗誤差，我們對模型進行型改進，運用LINGO軟件進行求解。結(jié)果證明，在決策變量取值較小時，運用LINGO軟件進行求解的誤差幾乎可以忽略不計。七、模型評價與推本文所建模型有如下特點:1)基于基于對問題的分解與基本理解，建立了整數(shù)線型規(guī)劃模型，并對模型進行求解，思路完整嚴密。2)由于lingo軟件功能強大，計算機運行的時間也大大縮小，而且使理論分析和運行結(jié)果相互得到證明，采用LINGO語言，在變量更多的情況下，理論分析的作用就更顯得重要，不能盲目的運用計算機求解，本文運用了分支界限法從中得到一組優(yōu)解。3）此解能基本反映實際情況，解決實際問題。充分利用題中的數(shù)據(jù)特點，對模型進行簡化，從而對計算簡化。4）在模型的推廣上，本文結(jié)合實際的運輸過程，將平板車的裝載重量這一因素引進來，從而由單目標(biāo)規(guī)劃推廣到多目標(biāo)規(guī)劃上，使我們的模型更符合實際需求，更具有經(jīng)濟效益。當(dāng)然，本文的模型還只是針對一種確知的目標(biāo)函數(shù)而定的。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)檫\輸成本最小化而需要進行復(fù)雜的不確定的多因素動態(tài)規(guī)劃時，模型則需要更進一步的深化與改進。七、參考文獻[1]嚴喜祖，宋中民，畢春加．?dāng)?shù)學(xué)建模及其實驗．北京：高等教育出版社，2009年8月，24-34頁，43-47頁，99-112頁；[2]宋來中，王志明．?dāng)?shù)學(xué)建模與實驗．北京：科學(xué)出版社,2005年8月,155-159頁；[3]陳理榮．?dāng)?shù)學(xué)建模導(dǎo)論．北京：郵電大學(xué)出版社,2002年8月第3次印刷,25-41頁[4]《數(shù)學(xué)模型》編寫組．?dāng)?shù)學(xué)模型,廣州：華南理工大學(xué)出版社,2003年5月第1版第2次印刷154-156頁[5]謝金星，薛毅．優(yōu)化建模LINGO軟件．北京：清華大學(xué)出版社，2005-07出版2005-07-01印刷八、附件Matlab程序：>>c=[-0.487;-0.52;-0.613;-0.72;-0.487;-0.52;-0.64;-0.487;-0.52;-0.613;-0.72;-0.487;-0.52;-0.64];A=[0.4870.520.6130.720.4870.520.640000000;2310.54210000000;00000.4870.520.640000000;00000000.4870.520.6130.720.4870.520.64;00000002310.5421;000000000000.4870.520.64;10000001000000;01000000100000;00100000010000;00010000001000;00001000000100;00000100000010;00000010000001];B=[10.2403.02710.2403.0278888888];Aeq=[00000000000000];beq=[0];xL=zeros(14,1);xU=8*ones(14,1);[x,fmin]=LINPROG(c,A,B,Aeq,beq,xL,xU)Bond1=x(1)Bond2=x(2)Bond3=x(3)Bond4=x(4)Bond5=x(5)Bond6=x(6)Bond7=x(7)Bond8=y(1)Bond9=y(2)Bond10=y(3)Bond11=y(4)Bond12=y(5)Bond13=y(6)Bond14=y(7)ReturnExpectation=-fminMatlab計算結(jié)果Warning:Couldnotfindanexact(case-sensitive)matchfor'LINPROG'.C:\ProgramFiles\MATLAB\R2009a\toolbox\optim\optim\linprog.misacase-insensitivematchandwillbeusedinstead.Youcanimprovetheperformanceofyourcodebyusingexactnamematchesandwethereforerecommendthatyouupdateyourusageaccordingly.Alternatively,youcandisablethiswarningusingwarning('off','MATLAB:dispatcher:InexactCaseMatch').Thiswarningwillbecomeanerrorinfuturereleases.Optimizationterminated.Bond1=3.2235Bond2=3.1695Bond3=3.3291Bond4=3.1068Bond5=1.6416Bond6=1.6627Bond7=1.6255Bond8=3.2235Bond9=3.1695Bond10=3.3291Bond11=3.1068Bond12=1.6416Bond13=1.6627Bond14=1.6255ReturnExpectation=-20.4000因為決策變量只能取整數(shù)，線性規(guī)劃就變成了整數(shù)線性規(guī)劃。因此，在本題中，將決策變量的值用舍入湊整法進行取整。所以最終求解為：Bond1=3Bond2=3Bond3=3Bond4=3Bond5=2Bond6=2Bond7=2Bond8=3Bond9=3Bond10=3Bond11=3Bond12=2Bond13=2Bond14=2由于lingo軟件功能強大，計算機運行的時間也大大縮小，而且使理論分析和運行結(jié)果相互得到證明，采用LINGO語言，在變量更多的情況下，理論分析的作用就更顯得重要，不能盲目的運用計算機求解，本文也可采用lingo軟件進行求解，并運用了分支界限法從中得到一組優(yōu)解。LINGO程序如下：Max0.487x1+0.52x2+0.613x3+0.72x4+0.487x5+0.52x6+0.64x7+0.487y1+0.52y2+0.613y3+0.72y4+0.487y5+0.52y6+0.64y7St0.487x1+0.52x2+0.613x3+0.72x4+0.487x5+0.52x6+0.64x7<=10.22x1+3x2+1x3+0.5x4+4x5+2x6+1x7<=400.487x5+0.52x6+0.64x7<=3.0270.487y1+0.52y2+0.613y3+0.72y4+0.487y5+0.52y6+0.64y7<=10.22y1+3y2+1y3+0.5y4+4y5+2y6+1y7<=400.487y5+0.52y6+0.64y7<=3.027x1+y1<=8x2+y2<=7x3+y3<=9x4+y4<=6x5+y5<=6x6+y6<=4x7+y7<=8EndGin14利用LINGO計算所得結(jié)果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:20.40000Objectivebound:20.40000Infeasibilities:0.4440892E-15Extendedsolversteps:27523Totalsolveriterations:50148VariableValueReducedCostX10.000000-0.4870000X25.000000-0.5200000X32.000000-0.6130000X45.000000-0.7200000X52.000000-0.4870000X61.000000-0.5200000X72.000000-0.6400000Y16.000000-0.4870000Y22.000000-0.5200000Y36.000000-0.6130000Y40.000000-0.7200000Y50.000000-0.4870000Y60.000000-0.5200000Y74.000000-0.6400000RowSlackorSurplusDualPrice120.400001.00000020.0000000.000000