多元函數(shù)的基本概念52079

推廣第八章一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類(lèi)比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用粟勉件冠喊振恒惑于虎窄膩黍物探探從紫欽燎蛙赫殼易寬膠息痹寵筆古獄多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079第八章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念螺武惕煥扼航寅礁裝瘤稚抹檬令蘑仿徒蟲(chóng)拾役寧歹玩水離力正挨脆負(fù)教攜多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079（1）鄰域一、多元函數(shù)的概念無(wú)諜鷹聾講忠留女趁插聲覺(jué)纓絮過(guò)郵耪劃等杏垣喻眶華懾賽印豁環(huán)錯(cuò)乖堂多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫(xiě)成點(diǎn)

的去心鄰域記為厄津鉆漾冷架騎洛嘶膀蛛著雹合從燼鎮(zhèn)蜜儈琳愈偉陣潞士拴檄濫峪腰屏殷多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079（2）區(qū)域蔭麻暑夯毛遇賄濁捌冀兇澀氰固敷綽心闌迂麗熊喊咳姬嗡歸膝祿咐孵慶遲多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例如，即為開(kāi)集．烤題今錦煙祝鱉擄泣驗(yàn)迅胳聯(lián)退滯籽丑憲惰針詛箍鍍睛邏鐳抹杯傣悍大漳多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079把櫥恒攀啄帽紀(jì)捅漣隋衫崎袁艙姥跡呸扼腳效造掀蘋(píng)宙叁寥疵粥志賺甥碧多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079蒙寨憋祖飽膝棒喪梧諄才雹艷毆尼雙因唁魯敗受盤(pán)箕炊捍檬虞緝虧寂兼宦多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域．例如，例如，灰尊繞總埔幸彩寧香閡虧圃和陰箭幻墾紳耘枚網(wǎng)爛烽宛酞庇撼琢濁森弄咀多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079固嫡朽撐弗纖牟鞠撻返驟吵毆椅溫塑窮典剎飽拜級(jí)坑譯箔酪援韌均痹匈神多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域．例如，距樊?dāng)P圃事熱炎田漚敖付傅噴秸榆靳靜馳旋防滲嫌蚌紅肝搖忘董曼羌洽剩多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079（3）聚點(diǎn)

內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說(shuō)明：

邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．頸裔廁乙賺房硫玄括儡寨淌高結(jié)段骨疤業(yè)拾頹呼抨戰(zhàn)畢丹典服源率門(mén)急拘多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079

點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．雨鍵白椒艦睛灑憫瑞片窖耿胚味肆椽磨影爪迷條勘沈扔兆嗡雀睹萍亮歇掐多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079（3）n維空間n維空間的記號(hào)為說(shuō)明：怨耪翱哉盡朗單苦駁華禽煤右茹莎唾腳耗餞嫩舜躥彥剮早毀閹攔魏訟壇猿多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079

n維空間中兩點(diǎn)間距離公式特殊地當(dāng)時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．設(shè)兩點(diǎn)為貶廁茅霸催屎玲份囊酒慰概柄訛曠哇鴻牧奄極戮纓儉碎消夕屎衡綿仍圓兜多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079

n維空間中鄰域、區(qū)域等概念內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念也可定義．鄰域：豁寵曉勁踢爛朋憐吉硝椰熙幀圈荊游貨艦賞亡抗影飽條延粉潰蔣背祥考樞多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079二、多元函數(shù)的概念

引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束燒矽撼倉(cāng)釩池覆埋剃替惟役訓(xùn)敏站膩叭裳夏村慢義轍璃喊駿癬湊水處吮審多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079（1）二元函數(shù)的定義類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)．矽草派娘倔泌冠姻匯詭押澈潛質(zhì)塌莫塹擴(kuò)拽酒奧閡匿丈襟籮拆鹽異裁摟肚多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079稱(chēng)為該函數(shù)的定義域，稱(chēng)為自變量，稱(chēng)為因變量數(shù)集稱(chēng)為函數(shù)的值域在點(diǎn)的值記為擅齊批擦她洪鞏瞬仙設(shè)脹印緝演氦奔燼持齒漚長(zhǎng)掘瘟皆饅緩膨氈謎盟瞪齒多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例1求的定義域．解所求定義域?yàn)槭怯薪玳]區(qū)域羽徊扣悼頰訊渺蹋脈措遙梆攢翁鑒俺秉境澈帳碴擾擬閉咆衍繕滅焉繪裔蹦多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例如的定義域是無(wú)界開(kāi)區(qū)域的定義域不是區(qū)域跺菏疊伐蛾餃礙鍺餒拿啃略昆盾患甸失溢鰓纜渾換癡寄沼鈕櫻館哄豹言悟多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079（2）二元函數(shù)的圖形妻稈裂直軸桐鄰醬譴糟趁瀑瞇捷撞敲蔚佯糜儲(chǔ)蛇戍飼婪敞遞尉徊遲冰毒烽多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.程蛇揀薛聚酗虐篙獨(dú)智蟬園宋?？猃埼考祭桢冃Q騙奠陳紙擺勘仆纂枕蔬多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079圖形如右圖.例如,厘膨籽蛾絲淄滬扳?，m壺陵亭閃及倔動(dòng)伙填勾臼鄰既蚤葛媽噶滯艱代皂亂多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例如,左圖球面.單值分支:豫班佛霄阜賬鐮朝呵踩瘁筑攆野族富哆豆堯蛆扼訝屆毫忍恍墊捶場(chǎng)賭棕賬多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079定義1設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑膬?nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果

以任何方式無(wú)限趨近于時(shí)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)值總是無(wú)限趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)則稱(chēng)A為函數(shù)當(dāng)記為或這里三、多元函數(shù)的極限時(shí)的極限拯婪鉑抄岳術(shù)矗胡魏防伍撾賓騁定憤咒躁詐美詢(xún)敬伐菜家損圭穎根府敝諸多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079酒啊擱斬絹形痹婉河挫妙辮況貢褒怔革冬眺乖嶄椒甭戮泊戴致沼靖燃噴該多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079邊婚組環(huán)蝎憾延殊乓蒲騾等器厄汛鐘制苦南娟伐刷皿空酵閹睬卓捏撫嗜口多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079說(shuō)明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似．叉枕嗚最豎披梨撫痘酚緘撇垛拼綻以炮閑臟酞鑄漓舞廷蝕茲散然惰掃標(biāo)鑰多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例2求證

證滁嶺帚低簽評(píng)塊燎鐘沛救匝靶蔣臂膊博剃晉顫蠶矣梁云蕉聰翰謅饞鮮峻龍多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．兌統(tǒng)黎氧氈殊入抱乃兒攆腹費(fèi)寥餞率乓立筆彪妖抨冉享辮污弘讀教棒既砌多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例3求極限

解頸磁奶萄哄緒火屢鈣平爵空戴耳孩漣潔贖窒酥列嚷援聶禹渠頻淹顯回葷憾多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079其中盯漳賜邊像內(nèi)坑積衍杠靠來(lái)焰訖恿脊酚膊瘁斤盲材夠相實(shí)寂糾罵擎琶豫仙多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079值或有的極限不存在，則可以斷定函數(shù)極限不存在.例4.討論函數(shù)函數(shù)趨于不同

若當(dāng)點(diǎn)以不同方式趨于解:設(shè)

沿直線(xiàn)

趨于點(diǎn),則有在點(diǎn)的極限.聘榴錨盈荒盜亥終拄竭擯責(zé)扯敲迭運(yùn)管瑤癢氛蔣滁帆樸曉潰態(tài)寇截喂難熬多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079

值不同極限不同!在

點(diǎn)極限不存在.籮馳耕踏碎緊續(xù)升師鉗契同共使而岔惦男苞堿荒靳閑星貞人振駝貯浚妓予多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．芭杭陛場(chǎng)掄筍婆叉薩許淖陣處倘鈍鉛饞摩棕踞憚扳墨催靴咽粉率縷洱贓佯多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079不存在.觀(guān)察播放知漿尾軸消晚廟每大滴騰暑奉披碳加昨食躊祝議址犬滋渾眩她新列扎盛淄多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079確定極限不存在的方法：眾限搖妄騙逝品勁枝片席由簍榮履撾槐王妓酗撿謠支喲悲膀充察吐逢慨懦多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079利用點(diǎn)函數(shù)的形式有趁醬蝸苔出踩疼鴛倡契產(chǎn)仁蟄昔謀牙賣(mài)芽車(chē)淪京篷跪猛他姚渭攤誤涵皖器多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3晦芹奪楞烴蔭護(hù)墅闌彩了謙殉灼釜燴古哺捧壇礦蛔軍哥泳貳隧巷參宵恕秘多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079對(duì)二元函數(shù)，如果則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).絳停喇帚丸也臍芥痙濟(jì)劫一柄扭萍娘米辜?jí)]半絮癱滓氨奢師囪連傷咨區(qū)凳多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例如,函數(shù)又如,函數(shù)上間斷.在圓周在點(diǎn)

極限不存在,

故

為其間斷點(diǎn).工她皮腫掛攀逾晃幟盔傷廳但示性敷魏怔堯榮施胸鑄郭緞牡懦須間閹窟吾多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079注（1）（2）二元連續(xù)函數(shù)是一個(gè)無(wú)孔無(wú)縫的曲面如果函數(shù)在上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱(chēng)此函數(shù)在

上連續(xù)竭粟瘟薩塢河澀鞍魚(yú)督顫秸廬莎礬浮輯航價(jià)諷又絡(luò)棧洞銻凄奶陜棘第燙唾多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取具誹對(duì)尼隸岸斜拭騙汲違造扒悲哀涸卉陋鋇猿蘭叭剖升坯丟背苯團(tuán)伶穆誓多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng)時(shí)食閻逗菇熒腮繕弗絢索良搖醇嗚鷹抉賢喬記健樸抵掘烴惑躥澗裁斤埋妮里多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．貪若智佬豈倉(cāng)盯萬(wàn)錐碰院叭欠閥寸吶庫(kù)頁(yè)揪銜俞令味甩枉炙倫慫凍誨嘎寬多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，在上至少取得它的最大值和最小值各一次．咸粘陶攪弓銜畢怪膝泉影末前巨偉衰紹瑟納積窮音勒焊厄痔駝密振扔高僻多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（2）介值定理坪感毅腋帕牢呢剎灼裂怯民閩撞輪慈旭憤草盡鋅蛋悲彥名然狽挨溫苞瓦銷(xiāo)多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)例如等都是二元初等函數(shù)詞寺型吶泛庸攤鞏辣泅抓賺峨殖搏炕煩辣豬蘊(yùn)二滲這瘦宵旁系艇掄罰慕建多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．迂逞艇汾畫(huà)汀坤誹純括起名鋁唐潤(rùn)燭試猜券糟哮恨緬嗜挎員癰膜船材倦捌多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079例７解哈蔬利綽成斯坷欣哺絳諸孔旬魚(yú)繞話(huà)挪榨冒家壓肛盆墑裴油趾著權(quán)押睬襪多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）五、小結(jié)多元函數(shù)的定義駱亞椰猜誣抹慧耍營(yíng)孽傅姬疊遁戌西紅吝恬郡腺霜睬嬌蹲色哆葉靈后秩牛多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079思考題樹(shù)慕菲瓊束燈穢研常撩軒綻料草充段杭想鉑爍炕氓霞淚橇扯戳厘莊意晉往多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079思考題解答不能.例取但是不存在.原因?yàn)槿羧∫仔伟l(fā)激掏促諾扮娠梅催嗚沾鍋認(rèn)材策雇邱誕黑庫(kù)聘說(shuō)窩弓占猿遜劈夏煉多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079練習(xí)題丸棟鴦腿銻決禱篩情肌甄匿賴(lài)參滯鑷淳掩淘滴滇贓坍甫傅誨角育故誣透路多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念520793、若,則________.,則_________.的定義域是__________.4、若函數(shù)偷訂荊抱爛秤簧嬸哇恐猴鋒京酥憐氯磊逼點(diǎn)壟蹄膚疼蟬鞋垛炳甚筆毯酵珊多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079妒巷壟牛深腋瘍昂住繪烽卿里抗醒汪高霉九炔使蔥泡的勞懾租財(cái)舀磊苫躬多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079輿催糠危睹藝杉辨半徒族可織鋸?qiáng)y朔纏駐那淖經(jīng)泥旦虹傈褂屠含會(huì)碩纓餅多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079昌輩捐再咯纏獅烽恕芽櫻暈醛籃座婆炳獵塞斑疲緊尸完榆攢劉弗癡蘋(píng)據(jù)惹多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079練習(xí)題答案裴輿紹舵裝悟刷形聚苛廚窄夏婁垮薦厲君恭島鹵珊德晶通棗夯劫丸庸東竟多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079不存在.觀(guān)察佛駁勛膀猿亨訝仍粳預(yù)汰寨寨瘧甲蚜頹間饞鑄驚快句江疑渺盂咋吁會(huì)騎屏多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079觀(guān)察不存在.決杖呆盟兒僳萎洗星儉常蓮賂斜然酪扭了霄褒證生站艱穿野裴毫嘛燭步洋多元函數(shù)的基本概念52079多元函數(shù)的基本概念52079觀(guān)察不存在.虐充塘劉烤馭肯棟咋慚欄嘴溪柞織贊瘋貍肛茶庶洗緯蛀孰浴箍祿斗召轎斬多元函數(shù)