2021屆高考數(shù)學(xué)全真模擬卷03（理科）（解析版）

2021年理科數(shù)學(xué)一模模擬試卷(三)

一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知zeC,且|z—z]=l,7'為虛數(shù)單位，貝！J|z—3—52]的最大值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知|z-z]=l中z對應(yīng)點(diǎn)Z的軌跡是以C(0,l)為圓心，廠=1為

半徑的圓，而|z—3—5才表示圓上的點(diǎn)到4(3,5)的距離，由圓的圖形可得的|z—3—54

的最大值.

【詳解】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知|z—z]=l中z對應(yīng)點(diǎn)Z的軌跡是以C(0,l)為圓心，廠=1為

半徑的圓.

Tz—3—5〃表示圓C上的點(diǎn)到4(3,5)的距離，

3-5i|的最大值是|C4|+r=5+l=6,

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

2.已知集合A={x|2cosx2J5}，集合3={x|d+%一2<0},則4口§=（）

.7C7C「ctI7171

A.-2,—B.一■—,1C.[—2,11D.9

oo~6~6

【答案】D

【分析】

化簡集合A,B,根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.

【詳解】

由2cosx>J5可得cosX>，

解得2k7r<x<2k兀H——,keZ,

66

所以A={%|Icosx>A/5}={x|--<x<2kn+—,GZ],

66

當(dāng)左=0時，A={x|--<x<-}

66

又3={1|X2+x-2<0}={x\-2<x<l},

所以An3=1—,

_66

故選：D

3.在口46。中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,則“a=匕”是

“5山。一5111274=5山（4一5）”成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【分析】

由題意結(jié)合三角恒等變化化簡，由等腰三角形的性質(zhì)可判定充分性和必要性是否成立即

可.

2

【詳解】

在口45。中，

sinC—sin2A=sin(A—5)osin(A+5)—sin2A=sin(A-B)

o2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA

=sinA=sinB或cosA=0

所以。=b或A=90°

因此“a=b”是“sinC—sin2A=sin(A—B)”成立的充分不必要條件.

故選：A

4.已知某個三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖是等邊三角形，側(cè)視圖是直角三角

形，俯視圖是等腰直角三角形，則此三棱錐的體積等于()

H—1—H

【答案】B

【分析】

由三視圖知幾何體是一個側(cè)面與底面垂直的三棱錐，底面是斜邊上的高是1的直角三角

形，則兩條直角邊是加,斜邊是2與底面垂直的側(cè)面是一個邊長為2的正三角形，根

據(jù)體積公式直接求棱錐體積.

【詳解】

由三視圖知幾何體是一個側(cè)面與底面垂直的三棱錐，

底面是斜邊上的高是1的直角三角形，

則兩條直角邊是0,

斜邊是2,

，底面的面積是

2

與底面垂直的側(cè)面是一個邊長為2的正三角形，

，三棱錐的高是出，

???三棱錐的體積是1x1x73=^

33

故選：B

4

【答案】D

【分析】

先利用二倍角公式化簡整理得到sina=^cosa,再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)

2

合范圍解出cose即可.

【詳解】

由2sin2a-cos2e=1,aeI0,^,得2sin2a=l+cos2cr,cosa>0,

所以4sinocosa=2cos?a，即2sina=costz,故sina=-cost/,

2

54

代入5足2(Z+(：052(/=1得，-cos-tz=l,故cos2a=-

45

因?yàn)閏ostz>0,所以costz=25

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

本題解題關(guān)鍵在于熟記公式并準(zhǔn)確運(yùn)算，還要注意角的范圍的限制，才能突破難點(diǎn).

x-5<0

6.設(shè)x,y滿足約束條件<x-y+120,且z=ax+勿(a>0,b>0)的最大值為1,

x+5y-5>0

則*+?的最小值為()

ab

A.64B.81C.100D.121

【答案】D

【分析】

作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線得最優(yōu)解，從而得。*的關(guān)系式

5a+6b=\,然后用“1”的代換，配湊出積為定值，用基本不等式得最小值.

【詳解】

作出約束條件表示的可行域，如圖，口45。內(nèi)部（含邊界），作直線直線◎+勿=0,

z=?x+勿中，由于。>03>0,巴是直線的縱截距，直線向上平移時，縱截距增大,

b

所以當(dāng)直線Z=公+外經(jīng)過點(diǎn)（5,6）時，Z取得最大值，

則5〃+6/?=1,

所以*+9=[9+9]（54+5勿=61+30（9+0卜61+60=121,

abyabJ\abJ

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=1時，等號成立，故*+9的最小值為121.

11ab

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查用基本不等式求最值.解題思路是利用簡

單的線性規(guī)劃求得變量滿足的關(guān)系式，然后用“1”的代換湊配出定值，再用基本不

等式求得最小值.求最值時注意基本不等式的條件：一正二定三相等，否則易出錯.

31

7.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為不一，則判斷框中可以填（）

乙/xn

6

A.z>2019?

B.z>2020?

C.z<2019?

D.z<2020?

【答案】D

【分析】

根據(jù)程序框圖逐步進(jìn)行運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)并檢驗(yàn)判斷框中所填的條件即可.

【詳解】

運(yùn)行程序框圖，S=0,z=l,

"人="’5=。+?，i=2,

"=聲=式S=-=3,

_1_1c_111?“

Q—33aT1—32,o=—3OrH—3ITH—327,1=4,…，

i_L_

1111113202031

32020-1=尹,5=3+噎+?+…+落=^7T-2?v^2019

3

z=2021,此時輸出S.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：解決此類問題時要注意：第一，要明確是當(dāng)型循環(huán)機(jī)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)

構(gòu)，根據(jù)各自的特點(diǎn)執(zhí)行循環(huán)體；第二，要明確程序框圖中的累加變量，明確每一次執(zhí)

行循環(huán)體前和循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化；第三，要明確終止循環(huán)的條件是什么,

會判斷什么時候終止，爭取寫出每一次循環(huán)的結(jié)果，避免出錯.

8.如圖，正方體A3CD-中，P為線段48上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的

是（）

A.DC,±PC

B.異面直線AD與PC不可能垂直

C.PC不可能是直角或者鈍角

D.NAPP的取值范圍是

【答案】D

【分析】

在正方體中根據(jù)線面垂直可判斷A,根據(jù)異面直線所成角可判斷B,由余弦定理可判斷

CD.

8

【詳解】

如圖,

設(shè)正方體棱長為2,

在正方體中易知。G，平面ABC。，P為線段A8上的動點(diǎn)，則PCu平面A8CR,

所以DQ1PC,故A正確；

因?yàn)楫惷嬷本€AD與尸。所成的角即為與尸。所成的角，在RmPBC中不可能

與尸。垂直，所以異面直線AD與尸C不可能垂直，故B正確；

由正方體棱長為2,則。尸+尸。2一=4+4+4產(chǎn)+破2—8=4尸+§尸>0,

所以由余弦定理知cosNRPC>0,即不可能是直角或者鈍角，故C正確;

設(shè)4P=x（0WxW2夜），則￡＞產(chǎn)=4+/，

AP^=4+x~—2x2xcos—=4+x?—2\[2x,

4

Ap2+Dp-AD：lx?-2岳

由余弦定理,cosZAP。]=

2APD{P2APD{P

當(dāng)x〈行時，COSZAPD^O,所以NAPD1為鈍角，故D錯誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:判斷正方體中的角的范圍時，可選擇合適三角形,利用正方體中數(shù)量關(guān)系,

位置關(guān)系，使用余弦定理，即可判斷三角形形狀或角的范圍，屬于中檔題.

9.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和是S",且Sa=2a”—1,若為e（0,2021），則稱項(xiàng)an為“和

諧項(xiàng)”，則數(shù)列｛q｝的所有“和諧項(xiàng)”的和為（）

A.1022B.1023C.2046D.2047

【答案】D

【分析】

由q=S“—S,T（〃N2）求出｛q｝的遞推關(guān)系，再求出％后確定數(shù)列是等比數(shù)列，求出

通項(xiàng)公式，根據(jù)新定義確定“和諧項(xiàng)”的項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)，然后由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求解.

【詳解】

T

當(dāng)〃N2時，an=Sn-S“=24—1—（2a,_i—1）=2an-2an_,,Qan=2a…

又4=$=2%—1,q=l,口｛。“｝是等比數(shù)列，公比為2,首項(xiàng)為1,

所以4=2"一，由a"=2"T<2021得“―”10,即

1-211

□所求和為S=-----=2047.

1-2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列新定義，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，解題思

路是由4=S,22）得出遞推關(guān)系后確定數(shù)列是等比數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公

式.解題關(guān)鍵是利用新定義確定數(shù)列中“和諧項(xiàng)”的項(xiàng)數(shù)及項(xiàng).

22

10.已知橢圓C：工+匕=1的左焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸是橢圓。上的動點(diǎn)，點(diǎn)。是圓

1612

PP

T:（x—2『+丁=1上的動點(diǎn)，則7°的最小值是（）

10

2

C.D.

34

【答案】B

【分析】

作出圖形，利用橢圓的定義以及圓的幾何性質(zhì)可求得\P號F的最小值.

【詳解】

如下圖所示:

在橢圓C:土+^—=1中，。=4,b=26，c='a2-b1=2，

1612

圓心T（2,0）為橢圓。的右焦點(diǎn)，由橢圓定義可得|?3+1PT|=2。=8,

.?.|PF|=8-|P7l，由橢圓的幾何性質(zhì)可得a—c4|PT|Wa+c,即2W|PT|W6,

由圓的幾何性質(zhì)可得仍。<|尸刀+1。刀=|PT|+1,

所以lPFl>\PF\8"lPrL9__2

所'|PQ||PT|+I\PT\+I|PT|+16+17'

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于以下幾點(diǎn)：

(1)問題中出現(xiàn)了焦點(diǎn)，一般利用相應(yīng)圓錐曲線的定義,本題中注意到|「盟+|PT|=2a,

進(jìn)而可將|P同用|PT|表示；

(2)利用圓的幾何性質(zhì)得出歸刀一r[PQ閆尸刀+r,可求得|PQ|的取值范圍；

(3)利用橢圓的幾何性質(zhì)得出焦半徑的取值范圍：a-c<\PT\<a+c.

x+l,O<x<l

11.已知函數(shù)/(九)=1,71X1.,若不等式尸(龍)—4(x)+2<0在

—sin---F—,1<%<4

1242

xe[0,4]上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

9

A.?！?B.0<。<3c.a>20D.a>-

【答案】D

【分析】

這是一個復(fù)合函數(shù)的問題，通過換元/=/(%),可知新元的范圍，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)

為求函數(shù)的最大值問題，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知當(dāng)尤e[0,1]時，有于(x)=x+le[l,2],

當(dāng)xe(1,4]時，0<sin￡<l,即/(x)=551117+56-,1

所以當(dāng)[0,4]時，/(x)ep2,令t=f(x),則/￡；,2,

12

從而問題轉(zhuǎn)化為不等式袱+2<0在fe1,2上恒成立,

產(chǎn)+22「1一

即=/+±在re-,2上恒成立，

ttL2J

由y=(+一,tG

＜122)=4_/2------

設(shè)＜頁，/(4)一/(，=-^2)------＞0,

2htn印2

21/—

所以y=f+：在fe-J2是單調(diào)遞減函數(shù),

V/22）="_%2H---------

設(shè)\/5<%<2,/（。）_/（%-z2）—<0,

￡>2%

所以y=1+|■在％￡［夜,2］是單調(diào)遞增函數(shù)，

112199

在/e—,2上先減后增，而—在/=一時有最大值為一，所以二.

_2Jt222

【點(diǎn)睛】

本題考查含參數(shù)的恒成立問題，運(yùn)用到分離參數(shù)法求參數(shù)范圍，還結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)

性求出最值，同時考查學(xué)生的綜合分析能力和數(shù)據(jù)處理能力.

22

12.雙曲線3-當(dāng)=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為網(wǎng)4,0）,設(shè)A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)

。b

對稱的兩點(diǎn)，A產(chǎn)的中點(diǎn)為M,8歹的中點(diǎn)為N,若原點(diǎn)。在以線段MN為直徑的

圓上，直線A3的斜率為之互，則雙曲線的離心率為（）

7

A.4B.2C.布D.坦

【答案】B

【分析】

設(shè)A（x，x）,貝”（一七,一%），得到“（^^件）,玖匚『￡）,根據(jù)題設(shè)條件，

194

化簡得到二-一行=一,結(jié)合廿=°2-求得。的值，根據(jù)離心率的定義，即可求

a27/7

解.

【詳解】

設(shè)設(shè)西,%）,則設(shè)-%，-%）,

因?yàn)椤钡闹悬c(diǎn)為“9的中點(diǎn)為N,所以加三今,N（看,與），

因?yàn)樵c(diǎn)0在線段MN為直徑的圓上,

——?11

所以"°M=9。。，可得°小次二（16-申9一二；9=°'口

22

Z_2L=1

又因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線上，且直線A3的斜率為之互，所以＜/b2

,□

7_3幣

X=xi

191

聯(lián)立消去玉，%,可得一~一=7T==，口

a7b1

又由點(diǎn)尸（4,0）是雙曲線的右焦點(diǎn)，可得廿=°2—1=16—a?,

代入口，化簡整理得1—321+7x16=0,解得4=4或/=28,

由于6＜。2=16,所以/=28（舍去），

故〃=4,解得。=2,所以離心率為e=f=2.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】

求解圓錐曲線的離心率的三種方法：

1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得。得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；

14

2、齊次式法：由己知條件得出關(guān)于。的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二

次方程求解；

3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛%,｝是等比數(shù)列，an>0,%=；，且%/41=8,則數(shù)列｛4｝的公比

q=.

【答案】2

【分析】

利用等比公式化a2a8ali=8為娉=8,從而求得公比4.

【詳解】

數(shù)列出｝是等比數(shù)列，則a2a8/=今，a70a7/=齒=8,所以%=2,

而a”>0,a5=~>所以公比4=2.

故答案為：2

14.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

【答案】135

【分析】

寫出展開式的通項(xiàng)，令X的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.

【詳解】

(3工一3]展開式的通項(xiàng)為￡+]=C>(3x)i/_3]=C>(—1)匕6￡：等，

\<x)INX

3

令6—二左=0,可得左=4,

2

因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為公=《?(—1)、32=135.

故答案為：135.

15.已知a,b,c分別為口ABC的三個內(nèi)角A,B,。的對邊，a=c=5,且

ci~_b"+becosA-—^^ac,G為口ABC的重心，則1GAi=

【答案】#7

【分析】

根據(jù)已知等式，利用余弦定理角化邊，結(jié)合已知條件可以求得b的值，進(jìn)而求得cosA

的值，然后根據(jù)AG=|(Afi+AC)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得|AG|的長度.

【詳解】

^22_2

由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA,^bccosA=---------

□622—Z72+becosA----cic,t/2—Z72+———————etc,

25225

將。=。=5代入得：b=8,

11

b+C―Q264_4

所以cosA二

2bc2x8x55

設(shè)以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的另一個頂點(diǎn)為DJJAG=|AD=|(A5+AC),

AG\=I+AC2+2ABXACcosA=1J25+64+2x5x8x1=^7

故答案為：

16

B

D

A.C

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，要熟練使用上弦定理角化邊，并結(jié)合向量的數(shù)

量積運(yùn)算可更快的求解.

16.已知拋物線C:d=8y的焦點(diǎn)為產(chǎn)，過點(diǎn)P(0,-2)的直線/與拋物線相交于“、N

兩點(diǎn)，且歹1+1樣|=32,若。是直線/上的一個動點(diǎn)，8(0,3),則|Q尸I+IQ5I的

最小值為-

【答案】亞

【分析】

本題首先可設(shè)出直線/的方程為y=kx-2,然后聯(lián)立直線方程與拋物線方程得出

%+%=8尸—4,再然后根據(jù)|"F|+|NR|=32解得左=±2,?。?2,根據(jù)垂直

平分性求出點(diǎn)8(。，3)關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)為B'(x0,y0),最后求出尸(0,2)并根據(jù)兩點(diǎn)

間距離公式即可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)P(0,—2),所以設(shè)直線/的方程為y=—2,

y+2

聯(lián)立方程組得/+(4_8尸)>+4=0,則%+%=8左2—4,

V=8y

根據(jù)拋物線的定義可知IMF|+1N產(chǎn)|=%+%+4=32,解得比=±2,

取左=2(左=—2時所得結(jié)果一致)，則直線/的方程為y=2尤—2,

設(shè)點(diǎn)B(0,3)關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)為B'(x0,y0),

%+3

=%-2

根據(jù)垂直平分性，可列出方程組12°xo=4

1，即"(4,1)，

%—3170=

一5

此時線段FB,與直線I的交點(diǎn)即為使得I。/I+1QBI取得最小值的點(diǎn)，

因?yàn)槭?0,2),所以最小距離為|EB[=J(4—01+(1—2『=舊,

故答案為：#7.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線中的最值問題，考查直線與拋物線相交以及拋物線的定義，考查點(diǎn)關(guān)于

直線的對稱點(diǎn)的求法，考查兩點(diǎn)間距離公式，考查計(jì)算能力，體現(xiàn)了綜合性，是難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必

考題，每個試題考生都必須作答。第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.(12分)□ABC的內(nèi)角N,B,C的對邊為a,b,c,且

3(sinB+sinC)2—3sin2(B+C)=8sinBsinC.

(1)求cosA的值；

(2)若DABC的面積為40,求a+6+c的最小值.

1廣

【答案】(1)j；(2)4+473.

【分析】

,,8

(I)根據(jù)題中條件，由正弦定理將原式化為3+c)2=/+3秘，整理后結(jié)合余弦定

18

理，即可得出結(jié)果;

2

(2)由(1)先求出sinA,根據(jù)三角形面積，得到bc=12，根據(jù)〃+c?一/,

利用基本不等式，即可求出最值.

【詳解】

123

(1)由3(sin3+sinC)2—3sin(B+C)=8sinJBsinC,

8

□A+B+C=冗,所以(sin5+sinC)9之=sin92A+—sinBsinC,

82

由正弦定理可得S+c)2=a+jZ?c,則/+c2-a=—,

由余弦定理可得：cosA=3^——=-；

2bc3

19/9

(2)由cosA——,得sinA=—1—

33

□SDABC=^-Z?csinA=4A/2,Ube=12,

°,2。。224

由Z?2+c2-a?=一匕c得。2=b2+c2——be>2bc——be=—be=16,

3333

□a>4,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2代時，等號成立.

又匕+c22癡=46，當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2退時，等號成立.

□a+Z?+c24+4/，當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2j5時，等號成立.

即a+6+c的最小值為4+?

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛:

求解三角形中有關(guān)邊長、角、面積的最值（范圍）問題時，常利用正弦定理、余弦定理

與三角形面積公式，建立a+方，ab,1+萬2之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用

函數(shù)或基本不等式求解.

18.（12分）某士特產(chǎn)超市為預(yù)估2021年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2020年

元且期間的90位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.

購買金額（元）[0,15)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90)

人數(shù)101520152010

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為購買金額是否少于

60元與性別有關(guān).

不小于60元小于60元合計(jì)

男40

女18

合計(jì)90

（2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購買金額不少于60元可抽獎3次，每次

中獎概率為P（每次抽獎互不影響，且尸的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元

的頻率），中獎1次減5元，中獎2次減10元，中獎3次減15元若游客甲計(jì)劃購買80

元的土特產(chǎn)，請列出實(shí)際付款數(shù)元）的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：

_n(ad-bc)2

n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附表:

20

2

P(K>k0)0.1500.1000.0500.0100.005

ko2.0722.7063.8416.6357.879

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有95%的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān);

(2)分布列見解析，EX=75.

【分析】

(1)分析題意完成2x2列聯(lián)表，直接套公式求出長2,對照參數(shù)下結(jié)論;

(2)分析出隨機(jī)變量X□5(3,1),易求出X的分布列與期望..

【詳解】

(1)2x2列聯(lián)表如下:

不少于60元少于60元合計(jì)

男124052

女182038

合計(jì)306090

90X(12X20—40X18)21440

K2——?5,830>3.841,

30x60x52x38247

因此有95%的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).

(2)X可能取值為65,70,75,80,且。="上型='.

由題意知:

2

M尸(x=70Y&122

P(X=65)=Cfx—=—，

139

P(X=75)=C；xgx]￡|=《，P(X=8O)=Cf

所以X的分布列為

X65707580

1248

P(X)

279927

i248

EX=65x——+70x-+75x-+80x——=75.

279927

【點(diǎn)睛】

(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的題目直接根據(jù)題意完成完成2x2列聯(lián)表，直接套公式求出長2,對照參數(shù)

下結(jié)論，一般較易；

(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列時，要特別注意.隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布、超幾何分

布等特殊的分布.

19.(12分)如圖，在四棱柱A3CD—44和2中，底面A3CD是等腰梯形，

ZDAB=60°,AB=2CD=2,M是線段A3的中點(diǎn).

(u)求證：。1加//平面4">2；

22

（口）若81平面ABCD且=招，求直線與平面CRM所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）與

【分析】

（1）連接曲，如圖所示，易證AMGR為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即

可證得C.MH平面AADD］；

（2）分別連接NC,MC,根據(jù)已知條件進(jìn)行推理不難得出。LLC3,考慮建立空間直

角坐標(biāo)系，運(yùn)用法向量進(jìn)行求解.

【詳解】

（1）連接A0，如圖所示，

吟

'I，

\t

uA5CD—A4GA為四棱柱,

□CDHCiDi,CD=C[D[,

為N8的中點(diǎn)，AB=2,

□AM=—AB=1,

2

口底面ABCD是等腰梯形，AB=2CD,

UCD//AM,CD=AM,

□AM/ZC^,AM=QDj,

□AMG2為平行四邊形，

uAD[HMC[,

□CXM<z平面AlADDl,AD]u平面AlADDl,

UC{MH平面AlADDl；

(2)連接/C,MC,

由(1)可知，CD//AM且CO=AM,

□四邊形AMCD為平行四邊形，

UBC=AD=MC,

由題意NA8C=NDW=60°，則△M3C為正三角形，

因此，AB=2BC=2,CA=5因此，CALCB,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-取z,如圖所示,

則：A(點(diǎn),0,0),5(0,1,0),D,(0,0,73),D(—,--,0)

24

J31____J31l

由Af是45的中點(diǎn)可知”,所以=——>——，v3

I22JI22,

和=礪=,EB\=6B=（—B,，,O）

設(shè)平面CRM的一個法向量％=(x,y,z),

元?DC=0A/3X-y=0

由“

n-MD]=0-\/3x+y-2^/^z=0

可得平面的一個法向量i=(L、回,1b

設(shè)直線RBi與平面CRM所成角為。,

二匣@=或

□sin6=cos①[B、,n

麗?同5

□直線。耳與平面CRM所成角的正弦值為手.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求直線與平面所成角的正弦值，一般考慮向量法，本題首先需要證明

CA±CB,這是建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵，其次要寫出點(diǎn)的坐標(biāo)很重要，如果點(diǎn)的

坐標(biāo)比較難寫，可考慮分離出底面來寫，最后注意運(yùn)用向量夾角公式，屬于中檔題.

20.(12分)已知圓石：(》+2『+/=24,動圓N過點(diǎn)網(wǎng)2,0)且與圓E相切，記動

圓圓心N的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的方程；

(2)P,。是曲線。上的兩個動點(diǎn)，且OPLOQ,記尸。中點(diǎn)為M,

\OP\-\O^=t\OM\,證明：/為定值.

22

【答案】(1)—+^=1；(2)證明見解析.

62

【分析】

（1）由題意圓N內(nèi)切于圓E,所以列式得|NE|+|N刊=2、后>|所可知點(diǎn)N的軌

跡是以E,尸為焦點(diǎn)的橢圓，可得a=迷，c=2,可得軌跡方程；（2）先討論斜率

存在的情況，設(shè)直線方程，然后聯(lián)立得關(guān)于》的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)向

量的數(shù)量積為零列式化簡計(jì)算，再根據(jù)題意計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，接下來判斷直線斜率

不存在的情況，求出尸，。兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算.

【詳解】

解：（1）點(diǎn)尸（2,0）在圓E:（x+2『+y2=24內(nèi)，

口圓N內(nèi)切于圓E,n|A?|+|A^|=276>|EF|,

所以N點(diǎn)軌跡是以E,產(chǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且。=#，c=2,從而b=J5

22

故點(diǎn)N的軌跡。的方程為：—+^=1.

62

（2）設(shè)尸（%,%）,Q（w，%）,

若直線尸。斜率存在，設(shè)直線PQ方程為>=立+加，

y=kx+m

聯(lián)立f丁整理得：（1+3左2）%2+6物a+3蘇-6=0,

——+—=1

162

-6km3m2-6

占+x

2市記，XI%2=T73F

因?yàn)镺P_LOQ,所以赤.而=0，即%無2+%%=°?

化簡得：（1+k2）%%2+初2（玉+々）+力/=0,

3m2—67—6km

即（1+左2）.--------+km+/=0,

l+3k21+3產(chǎn)7

26

從而，2機(jī)2_3左2_3=0，□

因?yàn)镺PLOQ,且M為PQ中點(diǎn)，所以|PQ|=2QM，

在直角口A5C中，記原點(diǎn)。到直線PQ的距離為d,

則|04[0。="忸@=240閭，

|m|_|m|^^6

由□知，原點(diǎn)。到直線/的距離為加+左272,?2，

國同

所以/為定值述.

若直線尸。斜率不存在，設(shè)直線PQ方程為X=〃,

詞=手，即/=后,

由OPLOQ得

綜上，f為定值、后.

【點(diǎn)睛】

解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的

關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題，同時注意討論直線斜率不存在的情況.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=meX-ln(x+l)+ln77t.

(1)若在x=0處取到極值，求"2的值及函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)Nl,求M的取值范圍.

【答案】(1)m=l,單調(diào)遞減區(qū)間為(—1,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+”);(2)[1,+8)

【分析】

(1)求出導(dǎo)數(shù)，由/'(0)=0可求得加，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)/(力的導(dǎo)數(shù)可得存在不?—1,y)，mex°一一二=0,使得

工0+1

/(XLin=，(％)，即丫上1—2皿/+1)-/Nl,構(gòu)造函數(shù)

玉)十,

g(x)=^--21n(x+l)-x,利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，可得出不?—1,0],然后求出

A-?X

'")=0￡(：+1)‘%G(T，°]的值域即可.

【詳解】

(1)/'(x)=mex---X-G-(-l,+oo)

x+1

???/(X)在X=O處取到極值，.../'(())=m—1=0,解得加=1,

此時廣(x)=e-。，??""(x)=e"+g占了>。，.,./(%)單調(diào)遞增,

可得-1<X<O時，r(x)<0,八％)單調(diào)遞減，x〉0時，/,(x)>0,/⑺單調(diào)遞

增，

〃x)在x=0處取到極小值，符合題意，

綜上，相=1,的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+“)；

xx1

(2)-.■f'(x)=me,：.f"(x)=me+2>0,

x+1(%+1)

?"'(同在(—1,y)單調(diào)遞增,

28

當(dāng)x——l時，/f(x)<0,%—>田時，/,(x)>0,

員1C

存在與e(-l,-H?),me0--------=0,

%+1

當(dāng)時，r(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(%o，+co)時，/'(x)>0,/(%)

單調(diào)遞增，

/(XL=/(x0)=me^-ln(x0+l)+ln7n

=/rg°+i)+in4短

=37一21n(%+1)-%之1,

入0+1

/\17\zx12—(x+2)

令g(x)=7T7_21n(x+l—%,則g(x)=-__1=_—<0,

??.g(x)單調(diào)遞減，且g(o)=l,.?.飛e(—L0］，

］

*(%+1)

令3)=7^，IT。］，

z、_(%+2)

，力(力=-^―w＜。，.?.可力單調(diào)遞減,

eIx+11

,.,/l(o)=l,當(dāng)xf-1時，”(%).+00,

???小的取值范圍為［1,+8).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是得出存在而e(-L+8),

“聞一一)=0,使得/(￡h=/(xo)，即4r21n(x0+l)—得出

4°?J.-X。iJ.

不?-1,0].

(二)選考題：共10分。請考生在第22,23題中任選一題作答。如果多做，那么按所

做的第一題計(jì)分。

22.(10分)「選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程」

,1

X=-1H---1

在直角坐標(biāo)系X0y中，直線/的參數(shù)方程為2C為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為