相交線（2個知識點+5類熱點題型練）（解析版）-七年級數(shù)學(xué)下冊

第01講相交線（2知識點+5類熱點題型練習(xí)）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①鄰補角及其性質(zhì)②對頂角及其性質(zhì)掌握鄰補角與對頂角的定義，能夠準(zhǔn)確的判斷鄰補角與對頂角。掌握鄰補角與對頂角的性質(zhì)，能夠熟練的運用性質(zhì)進行計算。知識點01鄰補角及其性質(zhì)鄰補角的概念：如圖：像∠AOC與∠AOD這樣，有一條公共邊，另一邊互為反向延長線，具有這樣關(guān)系的兩個角是鄰補角。鄰角的性子：互為鄰補角的兩個角之和等于180°，即鄰補角互補?！炯磳W(xué)即練1】1．（2023春?鐵西區(qū)期末）下列圖形中，∠1和∠2是鄰補角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)鄰補角的概念進行判定即可得出答案．【解答】解：A．∠1與∠2是對頂角，故A選項不符合題意；B．∠1與∠2是鄰補角，故B選項符合題意；C．∠1與∠2不存在公共邊，不是鄰補角，故C選項不符合題意；D..∠1與∠2是同旁內(nèi)角，故D選項不符合題意；故選：B．【即學(xué)即練2】2．（2023?青海）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOD＝140°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即可求解．【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°．故選：A．知識點02對頂角及其性質(zhì)對頂角的概念：如圖：像∠AOC與∠BOD這樣，有公共頂點，且一個角的兩邊兩邊均與另一個角的兩邊互為反向延長線，具有這樣關(guān)系的兩個角是對頂角。對頂角的性質(zhì)：互為對頂角的兩個角相等。即對頂角相等。【即學(xué)即練1】3．（2023春?阿榮旗期末）在下面四個圖形中，∠1與∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角的概念判斷即可．【解答】解：A、∠1與∠2不是對頂角；B、∠1與∠2是對頂角；C、∠1與∠2不是對頂角；D、∠1與∠2不是對頂角；故選：B．【即學(xué)即練2】4．（2023春?白銀期末）如圖，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）A．35° B．40° C．45° D．145°【分析】根據(jù)對頂角相等求解即可．【解答】解：∵∠1＝35°，∠1和∠2是對頂角，∴∠2＝∠1＝35°．故選：A．題型01鄰補角的認(rèn)識【典例1】（2023春?路北區(qū)期中）下面四個圖形中，∠1與∠2是鄰補角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)鄰補角的定義作答即可．【解答】解：由題意知，C中∠1與∠2是鄰補角，故選：C．【變式1】（2023春?閩侯縣期末）如所示四個圖形中，∠1和∠2是鄰補角的是（）A． B． C． D．【分析】只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角，由此即可判斷．【解答】解：A、∠1和∠2是對頂角，故A不符合題意；B、∠1和∠2是鄰補角，故B符合題意；C、∠1和∠2沒有公共頂點，故C不符合題意；D、∠1和∠2是同旁內(nèi)角，故D不符合題意．故選：B．【變式2】（2023春?晉江市校級期中）下列圖形中，∠1與∠2是鄰補角的是（）A． B． C． D．題型02利用鄰補角的性質(zhì)計算【典例1】（2023春?夏邑縣期中）已知∠1＝60°，∠1與∠2是鄰補角，則∠2＝120°．【分析】根據(jù)鄰補角的定義求解即可．【解答】解：∵∠1＝60°，∠1與∠2是鄰補角，∴∠2＝180°﹣60°＝120°．故答案為：120°．【變式1】9．（2023?河南）如圖，直線AB，CD相交于點O，若∠1＝80°，∠2＝30°，則∠AOE的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．60° D．80°【分析】由對頂角的性質(zhì)得到∠AOD＝∠1＝80°，即可求出∠AOE的度數(shù)．【解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．故選：B．【變式2】10．（2023春?云浮期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，若∠AOD＝3∠AOC，則∠BOD的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由題意求得∠AOC的度數(shù)，繼而求得∠BOD的度數(shù)．【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∠AOC+∠AOD＝180°，∴4∠AOC＝180°，∴∠AOC＝45°，∴∠BOD＝∠AOC＝45°，故選：D．題型03對頂角的認(rèn)識【典例1】11．（2023春?蓮池區(qū)期末）下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【分析】有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角，由此即可判斷．【解答】解：A、∠1與∠2沒有公共頂點，∠1與∠2不是對頂角，故A不符合題意；B、∠1與∠2是對頂角，故B符合題意；C、∠1與∠2沒有公共頂點，∠1與∠2不是對頂角，故C不符合題意；D、∠1與∠2的兩邊不互為反向延長線，∠1與∠2不是對頂角，故D不符合題意；故選：B．【變式1】12．（2023春?谷城縣期末）下列各圖中，∠1和∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角的定義，結(jié)合各個選項中的圖形中的∠1、∠2，進行判斷即可．【解答】解：由對頂角的定義可知，選項B圖形中的∠1與∠2是對頂角，故選：B．【變式2】13．（2022秋?社旗縣期末）下列選項中，∠1和∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．【分析】判斷對頂角需要滿足的兩個條件，一是有公共頂點，二是一個角的兩邊是另一個角的反向延長線，逐項進行觀察判斷即可．【解答】解：對頂角的定義：兩條直線相交后所得，有公共頂點且兩邊互為反向延長線的兩個角叫做對頂角，觀察選項，只有D選項符合，故選：D．題型04利用對頂角的性質(zhì)計算【典例1】14．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，兩條直線相交于點O，若∠1+∠2＝60°，則∠2＝30度．【分析】根據(jù)對頂角相等結(jié)合題意計算即可．【解答】解：∵∠1和∠2是對頂角，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠2＝60°，∴∠2＝30°，故答案為：30．【變式1】15．（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，則∠BOE＝（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】根據(jù)鄰補角的性質(zhì)以及角平分線的定義即可解決問題；【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝40°，故選：C．【變式2】16．（2023春?阜南縣校級期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，若∠AOC增大12°27′，則∠BOD的大小變化是（）A．減少12°27′ B．增大167°33′ C．不變 D．增大12°27′【分析】根據(jù)對頂角相等解答即可．【解答】解：∵線AB，CD相交于點O，若∠AOC增大12°27′，∴∠BOD的大小變化是12°27′，故選：D．題型05利用鄰補角與對頂角的性質(zhì)綜合計算【典例1】17．（2022秋?秀英區(qū)校級期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，則∠DOE等于（）A．66° B．76° C．90° D．144°【分析】根據(jù)條件∠AOE＝2∠AOC、對頂角相等和補角的定義可得答案．【解答】解：如圖，∠1＝∠AOC＝38°．∵∠AOE＝2∠AOC，∴∠AOE＝76°．∴∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠AOE＝180°﹣38°﹣76°＝66°．故選：A．【變式1】18．（2023春?陳倉區(qū)期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOD，若∠COB＝110°，則∠BOE的度數(shù)是（）A．55° B．70° C．125° D．145°【分析】由角平分線定義得到∠AOE＝∠AOD，由對頂角的性質(zhì)得到∠AOD＝∠BOC＝110°，因此∠AOE＝55°，由鄰補角的性質(zhì)得到∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．【解答】解：∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠AOD，∵∠AOD＝∠BOC＝110°，∴∠AOE＝55°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．故選：C．【變式2】19．（2023秋?香坊區(qū)校級期中）如圖所示，直線AB、CD相交于點O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度數(shù)．【分析】根據(jù)∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，求出∠EOC30°，根據(jù)對頂角的性質(zhì)得∠BOC＝∠AOD＝80°，即可求出∠EOB的度數(shù)．【解答】解：∵∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，∴∠EOC＝×90°＝30°，∵∠AOD＝80°，∴∠BOC＝∠AOD＝80°，∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°．【變式3】20．（2022秋?金鳳區(qū)校級期末）已知：∠EOC是直角，直線AE、BF、DG交于點O，OD平分∠EOC，∠AOB＝40°，求：∠1和∠BOD、∠EOG的度數(shù)．【分析】利用角平分線的定義可得∠DOE＝∠EOC＝45°，從而利用對頂角相等可得∠1＝∠DOE＝45°，然后再利用平角定義求出∠BOD和∠EOG的度數(shù)，即可解答．【解答】解：∵∠EOC＝90°，OD平分∠EOC，∴∠DOE＝∠EOC＝45°，∴∠1＝∠DOE＝45°，∴∠EOG＝180°﹣∠1＝135°，∵∠AOB＝40°，∴∠BOD＝180°﹣∠DOE﹣∠AOB＝95°，∴∠1的度數(shù)為45°，∠BOD的度數(shù)為95°，∠EOG的度數(shù)為135°．1．（2023秋?道里區(qū)校級期中）在下列圖中，∠1與∠2屬于對頂角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角的定義：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角，可得結(jié)論．【解答】解：在選項A、C、D中，∠1與∠2的兩邊都不互為反向延長線，所以不是對頂角，是對頂角的只有選項B．故選：B．2．（2023秋?珠海校級期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，則∠COE的度數(shù)為（）A．145° B．150° C．155° D．160°【分析】首先根據(jù)對頂角相等和角平分線的概念得到，然后根據(jù)平角的概念求解即可．【解答】解：∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°，∵OE平分∠BOD，∴，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝160°．故選：D．3．（2023春?招遠(yuǎn)市期末）泰勒斯被譽為古希臘及西方第一個自然科學(xué)家和哲學(xué)家，據(jù)說“兩條直線相交，對頂角相等”就是泰勒斯首次發(fā)現(xiàn)并論證的．論證“對頂角相等”使用的依據(jù)是（）A．同角的余角相等 B．同角的補角相等 C．等角的余角相等 D．等角的補角相等【分析】由補角的性質(zhì)：同角的補角相等，即可判斷．【解答】解：論證“對頂角相等”使用的依據(jù)是：同角的補角相等．故選：B．4．（2023春?茶陵縣期末）如圖，直線a、b相交，∠1＝130°，則∠2+∠3＝（）A．50° B．100° C．130° D．180°【分析】根據(jù)圖形及∠1＝130°可求出∠2和∠3的值，進而能得出∠2+∠3的值．【解答】解：由圖形可得：∠2＝∠3＝180°﹣∠1＝50°，∴∠2+∠3＝100°．故選：B．5．（2023春?威縣校級期末）如圖，直線a，b相交，∠1：∠2＝2：7，則∠3的度數(shù)是（）A．20° B．40° C．45° D．60°【分析】根據(jù)∠1+∠2＝180°，∠1：∠2＝2：7，即可求出∠1的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等即可得出∠3的度數(shù)．【解答】解：∵∠1：∠2＝2：7，∴設(shè)∠1＝2x，∠2＝7x，∵∠1+∠2＝180°，∴2x+7x＝180°，∴x＝20°，∴∠1＝40°，∴∠3＝∠1＝40°，故選：B．6．（2023春?涇陽縣期中）如圖，直線AB、CD交于點O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，則∠COE等于（）A．72° B．90° C．108° D．144°【分析】根據(jù)鄰補角的概念求出∠AOD，根據(jù)角平分線的定義求出∠DOE，再根據(jù)鄰補角的概念計算，得到答案．【解答】解：∵∠1＝36°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOD＝72°，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝108°，故選：C．7．（2023?江油市開學(xué)）光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象，如圖①所示．小華為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了圖②所示的實驗：通過細(xì)管可以看見水底的物塊，但從細(xì)管穿過的直鐵絲，卻碰不上物塊．圖③是實驗的示意圖，點A，C，B在同一直線上，下列各角中，∠PDM的對頂角是（）A．∠BCD B．∠FDB C．∠BDN D．∠CDB【分析】對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．依此即可求解．【解答】解：觀察圖形可知，∠PDM的對頂角是∠BDN．故選：C．8．（2023春?和平區(qū)校級月考）如圖，一把張開的剪刀，給我們兩條直線相交的形象，則圖中∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系不一定成立的是（）A．∠1+∠2＝180° B．∠1﹣∠3＝90° C．∠2＝∠3 D．∠3+∠1＝180°【分析】根據(jù)鄰補角的定義和對頂角的性質(zhì)分別判斷即可．【解答】解：由圖可知：∠1和∠2為鄰補角，∠1和∠3為鄰補角，∠2和∠3為對頂角，∴∠1+∠2＝180°，∠3+∠1＝180°，∠2＝∠3，∴選項A，C，D成立，選項B不一定成立．故選：B．9．（2023春?川匯區(qū)期中）如圖，直線BD，CE相交于點O，OB平分∠AOC，若∠AOE＝112°，則∠DOE＝（）A．34° B．35° C．36° D．39°【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠AOB，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠BOC，再根據(jù)對頂角相等求出∠DOE即可．【解答】解：∵∠AOE＝112°，∴∠AOC＝68°，∵OE平分∠AOC，∴∠BOC＝34°，∴∠DOE＝∠BOC＝34°．故選：A．10．（2023春?威縣期末）如圖，為測量古塔的外墻底角∠AOB的度數(shù)，甲、乙兩人的測量方案如表：方案一方案二甲：分別作AO，BO的延長線OC，OD，量出∠COD的度數(shù)，就得到∠AOB的度數(shù)．乙：作BO的延長線OD，量出∠AOD的度數(shù)后可通過180°﹣∠AOD得到∠AOB的度數(shù)．下列判斷正確的是（）A．甲能得到∠AOB的度數(shù)，乙不能 B．乙能得到∠AOB的度數(shù)，甲不能 C．甲、乙都能得到∠AOB的度數(shù) D．甲、乙都不能得到∠AOB的度數(shù)【分析】根據(jù)對頂角相等，鄰補角互補，進行判斷作答即可．【解答】解：由題意知，方案一，由對頂角相等可得∠AOB＝∠COD，甲能得到∠AOB的度數(shù)；方案二，由鄰補角互補可得，∠AOB＝180°﹣∠AOD，乙能得到∠AOB的度數(shù)；故選：C．11．（2023?高臺縣開學(xué)）兩直線相交，若∠1和∠2是一對對頂角，且∠1+∠2＝280°，則∠2＝140度．【分析】根據(jù)對頂角相等進行計算即可．【解答】解：∵∠1和∠2是一對對頂角，∴∠1＝∠2，又∵∠1+∠2＝280°，∴∠2＝，故答案為：140．12．（2023春?鄄城縣期中）如圖是一把剪刀示意圖，∠AOB+∠COD＝80°，∠AOC＝140°．【分析】由對頂角，鄰補角的性質(zhì)，即可計算．【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝80°，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＝40°，∵∠AOC+∠AOB＝180°，∴∠AOC＝140°，故答案為：140°．13．（2023?南崗區(qū)校級開學(xué)）如圖，直線AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE：∠BOE＝2：5，則∠EOD的度數(shù)為120°．【分析】根據(jù)已知∠COE：∠BOE＝2：5，從而根據(jù)∠COE和∠DOE為鄰補角即可求出兩角的度數(shù)；要求∠BOD的度數(shù)，結(jié)合對頂角相等可知直線求出∠AOC的度數(shù)，則此時結(jié)合上述所求，根據(jù)角平分線的定義即可解答．【解答】解：∵∠COE：∠BOE＝2：5，∴設(shè)∠COE＝2x，∠BOE＝5x，∵OA平分∠COE，∴∠AOE＝∠AOC＝x，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴x+5x＝180°，∴x＝30°，∴∠BOE＝5x＝150°，∵∠BOD＝∠AOC＝30°，∴∠EOD＝120°，故答案為：120°．14．（2023春?泗水縣期中）如圖，直線AC和直線BD相交于點O，若∠1+∠2＝∠BOC，∠AOD的度數(shù)是135°．【分析】設(shè)∠1＝∠2＝x，根據(jù)得出∠BOC＝3x，根據(jù)∠1+∠BOC＝180°列出關(guān)于x的方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)∠1＝∠2＝x，∵，∴，∴∠BOC＝3x，∵∠1+∠BOC＝180°，∴x+3x＝180°，解得：x＝45°，則∠BOC＝3x＝135°．故答案為：135°．15．（2023春?遵義期末）如圖①，兩條直線a，b相交于一點，有4組不重復(fù)的鄰補角；如圖②，三條直線a，b，c相交于一點，有12組不重復(fù)的鄰補角；如圖③，四條直線a，b，c，d相交于一點，有24組不重復(fù)的鄰補角；則n條直線相交于一點，有2n（n﹣1）組不重復(fù)的鄰補角．【分析】結(jié)合已知條件及圖形總結(jié)規(guī)律即可．【解答】解：由①得4＝2×1×2，由②可得12＝3×2×2，由③可得24＝4×3×2，那么n條直線相交于一點，不重復(fù)的鄰補角共有2n（n﹣1）組，故答案為：2n（n﹣1）．16．（2023春?榆林期末）如圖，直線AB和CD交于點O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2＝80°，求∠AOE的度數(shù)．【分析】根據(jù)∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2（對頂角相等）得出∠1＝∠2＝40°，進而求出∠AOD＝140°，再利用角平分線的定義求解即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝40°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠AOD，∴．17．（2023春?渭南期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE把∠BOD分成兩部分，且∠BOE：∠DOE＝2：3，若∠AOC＝70°，求∠AOE的度數(shù)．【分析】根據(jù)對頂角相等求出∠BOD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOE：∠EOD＝2：3求出∠BOE的度數(shù)，然后利用互為鄰補角的兩個角的和等于180°即可求出∠AOE的度數(shù)．【解答】解：∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠AOC＝70°，∵∠BOE：∠EOD＝2：3，∴∠BOE＝×70°＝28°，∴∠AOE＝180°﹣28°＝152°．18．（2023春?南丹縣期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OB平分∠EOD．（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度數(shù)；（2）若∠BOE：∠EOC＝1：3，求∠AOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)補角的定義可以求出∠EOD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)平角的定義和題中角的比可求出∠BOD，再根據(jù)對頂角相等即可求解．【解答】解：（1）∵∠EOC＝110°，∴∠EOD＝180°﹣∠EOC＝70°，∵OB平分∠EOD，∴；（2）∵OB平分∠EOD，∴，∵∠BOE：∠EOC＝1：3，∴∠EOC＝3∠BOE＝3∠BOD，∵∠EOC+∠DOE＝180°，∴3∠BOD+2∠BOD＝18