2024年商洛市高三數(shù)學(xué)（理科）第四次模擬檢測卷附答案解析

年商洛市高三數(shù)學(xué)（理科）第四次模擬檢測卷2024.4考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.2．請將各題答案填寫在答題卡上.3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．2．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．3．的展開式中常數(shù)項為第（

）項A．4 B．5 C．6 D．74．已知是等差數(shù)列的前項和，且滿足，則（

）A．65 B．55 C．45 D．355．近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進(jìn)了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間（小時）的關(guān)系為（為最初的污染物數(shù)量）．如果前3小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（

）A．2.6小時 B．6小時 C．3小時 D．4小時6．在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分的比為與相交于，設(shè)，則向量（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)也在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為，則線段的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，正視圖為直角梯形，則該棱錐的體積為（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，，下圖可能是下列哪個函數(shù)的圖像（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象的對稱軸相同，給出下列結(jié)論：①的值可以為4；②的值可以為；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；④函數(shù)的所有零點(diǎn)的集合為．其中正確的為（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④11．已知是雙曲線右支上的動點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．12．已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．在區(qū)間上隨機(jī)取兩個實數(shù)，則事件的概率為．14．曲線的一條切線方程為，則．15．矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為.16．已知函數(shù)滿足，則滿足的最大正整數(shù)的值為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．在中，角所對的邊分別為，且滿足．(1)求角的大小；(2)若，求的面積．18．現(xiàn)從某學(xué)校高三年級男生中隨機(jī)抽取50名男生測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生的身高全部介于和之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第1組，第2組，…，第6組．如圖，這是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．(1)試評估該校高三年級男生的平均身高；(2)求這50名男生身高在以上（含）的人數(shù)；(3)從這50名身高在以上（含）的男生中任意抽取2人，將這2人中身高在（含）以上的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望．19．如圖1，在矩形中，，，將沿矩形的對角線進(jìn)行翻折，得到如圖2所示的三棱錐.

(1)當(dāng)時，求的長；(2)當(dāng)平面平面時，求平面和平面的夾角的余弦值.20．已知橢圓C：（）的長軸長是短軸長的3倍，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程．(2)設(shè)A是橢圓C的右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，，且．過A作，垂足為B，試問是否存在定點(diǎn)M，使得線段的長度為定值？若存在，求出該定點(diǎn)；若不存在，請說明理由．21．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，若函數(shù)和的圖象在上有交點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個題目計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線相交于兩點(diǎn)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，軸的負(fù)半軸為極軸建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)記線段的中點(diǎn)為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)的最小值是.(1)求；(2)若正數(shù)a，b，c滿足，求證：.1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到，即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得.故選；C．2．B【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】，，解得，所以，所以．故選：B.3．B【分析】根據(jù)二項展開式的公式求解即可.【詳解】的通項為，令有.故的展開式中常數(shù)項為第5項.故選：B4．D【分析】由等差數(shù)列的基本量法及前項和定義求得公差，然后計算出，再由等差數(shù)列的性質(zhì)求得.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，．故選：D5．C【分析】由題意可得，再令，即可得解.【詳解】由題意可得，可得，設(shè)，，解得，因此，污染物消除至最初的還需要3小時．故選：C.6．C【分析】由三點(diǎn)共線性質(zhì)以及平面向量基本定理解方程組即可得解.【詳解】

由題意三點(diǎn)共線，所以存在，使得，同理三點(diǎn)共線，所以存在，使得，由平面向量基本定理可得，解得，所以.故選：C.7．C【分析】結(jié)合圖象利用是的中位線得，是的中位線得，再由拋物線得定義得，共同推得，得到，求得即得.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，依題知是的中位線，可知，過向準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為，同理是的中位線，，由拋物線定義知，故得，又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)是，代入可得其縱坐標(biāo)為，故.故選：C．8．B【分析】根據(jù)三視圖得到該幾何體是以底面為直角梯形的四棱錐求解.【詳解】解：由三視圖可得，該幾何體是以底面為直角梯形的四棱錐，如圖所示：其底面積為，高，故體積為，故選：B.9．D【分析】利用奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷.【詳解】對于，但定義域為，滿足，為偶函數(shù).同理可得：為奇函數(shù).記，則所以且，所以為非奇非偶函數(shù)；同理可證：為非奇非偶函數(shù)；和為奇函數(shù).由圖可知，圖像對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，且.顯然選項A，B對應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除；對C:，為奇函數(shù).當(dāng)時，，故錯誤；對D，，為奇函數(shù).當(dāng)時，.故正確.故選：D.10．B【分析】先利用三角函數(shù)周期的性質(zhì)求出的解析式判斷①，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷②，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷③④.【詳解】對于①，因為兩函數(shù)圖象的對稱軸相同，且兩相鄰對稱軸之間的距離等于周期的一半，所以兩函數(shù)的周期也相同，因此，解得，故①說法錯誤；對于②，因為，所以，當(dāng)時，，此時與的圖象關(guān)于軸對稱，它們的對稱軸相同，故②說法正確；對于③，令，則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故③說法正確；對于④，的所有零點(diǎn)滿足，解得所有零點(diǎn)的集合為，故④說法錯誤；綜上②③說法正確.故選:B11．C【分析】根據(jù)可得雙曲線定義，得，再由結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為是雙曲線右支上的動點(diǎn)，由雙曲線定義，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值．故選：C.12．B【分析】對已知不等式進(jìn)行變形，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、參變量分離法進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意，不等式即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.則不等式等價于恒成立.因為，所以，所以對任意恒成立，即恒成立.設(shè)，可得，當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減．所以有最大值，于是，解得．故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將已知條件轉(zhuǎn)化為，通過構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)得到，進(jìn)而計算求得結(jié)果.13．【分析】根據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)的區(qū)域，利用幾何概型求解即可.【詳解】如圖，在區(qū)間上隨機(jī)取兩個實數(shù)，構(gòu)成的點(diǎn)的集合為圖中正方形區(qū)域，面積為16，其中滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域為直線及上方正方形內(nèi)區(qū)域，面積為，故由幾何概型的概率公式可得，事件概率為．故答案為：14．【分析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率，即可得解.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，則，又在切線上，所以，解得，所以.故答案為：15．π．【詳解】試題分析：因為球心到球面各點(diǎn)的距離相等，即可知道外接球的半徑，就可以求出其體積了．由題意知，球心到四個頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對角線AC上，且其半徑為AC長度的一半，矩形對角線AC=5，則.考點(diǎn)：球的體積和表面積.16．12【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得是公比為2的等比數(shù)列，即可求解通項，進(jìn)而根據(jù)等比求和將問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)不等式求解即可.【詳解】，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以所解不等式為：當(dāng)時，則，可解得：的最大值為12，當(dāng)時，符合要求，當(dāng)時，不符合要求，因此的最大值為12，故答案為：1217．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再利用輔助角公式即可得解；（2）先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1）在中，因為，由正弦定理得，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）在中，，由余弦定理得，即，，所以．18．(1)(2)10(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求平均值即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出頻率，計算人數(shù)即可；（3）計算隨機(jī)變量的概率，再由期望公式得解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，樣本平均數(shù)為，據(jù)此可估計該校高三年級男生的平均身高為.（2）由頻率分布直方圖知，后3組頻率為，人數(shù)為，即這50名男生身高在以上（含）的人數(shù)為10．（3）由頻率分布直方圖，50人中以上的有人．所以隨機(jī)變量可取0，1，2，結(jié)合（2）男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)為10．于是，.19．(1)(2).【分析】（1）要求，可考慮解三角形，因已知，故想到求，結(jié)合條件可證即得；（2）利用面面垂直構(gòu)建平面的垂線，從而建系，求相關(guān)量，得各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出兩個平面的法向量，運(yùn)用兩空間向量的夾角公式計算即得.【詳解】（1）由，，且，平面，可得平面，又平面，則，在中，根據(jù)勾股定理，.（2）

如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由代值易得：.由平面平面，平面平面，平面，可知平面.在平面中，過點(diǎn)作的垂線為軸，，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，有，，，.設(shè)平面的法向量，則，令，解得其中一個法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，解得其中一個法向量.于是，，故平面和平面夾角的余弦值為.20．(1)(2)存在，【分析】（1）由題意，將點(diǎn)代入即可得解.（2）由題意，，直線PQ的方程為，且，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及，得直線PQ恒過點(diǎn)．進(jìn)一步結(jié)合，可得點(diǎn)B在以線段為直徑的圓上，由此即可得解.【詳解】（1）因為橢圓C的長軸長是短軸長的3倍，所以，則橢圓C的方程為．又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，，所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)，，若直線斜率為0，不妨設(shè)，此時是方程的兩根，所以，但，不滿足題意；若直線斜率不為0，直線PQ的方程為，且，聯(lián)立方程組，消去x得，由，得，所以，．又因為，所以，整理得，即，化簡得．所以，化簡得，解得，即直線PQ恒過點(diǎn)．因為，所以點(diǎn)B在以線段為直徑的圓上，取線段的中點(diǎn)，則，所以存在定點(diǎn)，使得線段的長度為定值．21．(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論確定的符號，得出單調(diào)區(qū)間；（2）換元轉(zhuǎn)化后，問題可化為在上有零點(diǎn)，根據(jù)單調(diào)性并分類討論即可得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，．令，得①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，列表如下：0極大值所以在上遞增，在上遞減；③當(dāng)時，列表如下0極大值所以在上遞增，在上遞.綜上，當(dāng)時，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減.（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)和的圖象在有交點(diǎn)，等價于函數(shù)和的圖象在上有交點(diǎn)，即函數(shù)和的圖象在上有交點(diǎn)，等價于的圖象在有零點(diǎn)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．，由（1）知當(dāng)時，在為增函數(shù)，在上有零點(diǎn)，則或，；當(dāng)時，在遞增，在遞減，，即，綜合得：實數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于通過令換元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象在上有交點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為的圖象在有零點(diǎn)，通過轉(zhuǎn)化即可利用的單調(diào)性求解.22．(1)(2)【分析】（1）參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，再由得