必刷題《專題6-與角平分線有關(guān)的計算問題-》刷難關(guān)

初中數(shù)學(xué)精選習(xí)題3/3初中必刷題第四章幾何圖形初步刷難關(guān)《專題6與角平分線有關(guān)的計算問題》類型1單角平分線問題1.[2020廣東珠海香洲區(qū)期末改編，中]如圖，已知點O為直線AB上一點，將一個直角三角板COD的直角頂點放在點O處，并使OC邊始終在直線AB的上方，OE平分∠BOC.（1）若∠DOE=70°，則∠AOC=______；（2）若∠DOE=，求∠AOC的度數(shù).（用含的式子表示）2.[20江蘇南京棲霞區(qū)期末，難]【發(fā)現(xiàn)猜想】如圖（1），若∠AOB=70°，∠AOD=100°，OC為∠BOD的平分線，則∠AOC的度數(shù)為______；【探索歸納】如圖（1），∠AOB=m，∠AOD=n，OC為∠BOD的平分線.猜想∠AOC的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示），并說明理由.【問題解決】如圖（2），已知∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°.若射線OB繞點O以每秒20°的速度逆時針轉(zhuǎn)動，射線OC繞點O以每秒10°的速度順時針轉(zhuǎn)動，射線OD繞點O以每秒30°的速度順時針轉(zhuǎn)動，三條射線同時轉(zhuǎn)動，當(dāng)一條射線與直線OA重合時，三條射線同時停止運動運動幾秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線？類型2雙角平分線問題3.[2019湖北鄂州梁子湖區(qū)期中，較難]已知∠AOB=90°，OC為一條射線，OE，OF分別平分∠AOC，∠BOC，求∠EOF的度數(shù).4.[2020江蘇高郵期末，難]如圖，已知∠AOB=150°，將一個直角三角形紙片（∠D=90°）的一個頂點放在點O處，現(xiàn)將三角形紙片繞點O任意轉(zhuǎn)動，OM平分斜邊OC與OA的夾角，ON平分∠BOD.（1）將三角形紙片繞點O轉(zhuǎn)動（三角形紙片始終保持在∠AOB的內(nèi)部），若∠COD=30°，則∠MON=_______；（2）將三角形紙片繞點O轉(zhuǎn)動（三角形紙片始終保持在∠AOB的內(nèi)部），若射線OD恰好平分∠MON，且∠MON=8∠COD，求∠COD的度數(shù)；（3）將三角形紙片繞點O從OC與OA重合位置順時針轉(zhuǎn)動到OD與OA重合的位置，猜想在轉(zhuǎn)動過程中∠COD和∠MON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.參考答案1.答案：（1）因為∠DOE=70°，∠COD=90°，所以∠COE=90°-70°=20°。因為OE平分∠BOC，所以∠COE=∠BOE=20°，所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=140°.故答案為140°.（2）因為∠DOE=，∠COD=90°，所以∠COE=90°-.因為OE平分∠BOC，所以∠BOC=2∠COE=180°-2，所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-（180°-2）=2.2.答案：【發(fā)現(xiàn)猜想】因為∠AOB=70°，∠AOD=100°，所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=30°因為OC為∠BOD的平分線，所以∠BOC=∠BOD=15°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=85°，則∠AOC的度數(shù)為85°.故答案為85°.【探索歸納】∠AOC=（m+n）.理由如下：因為∠AOB=m，∠AOD=n，所以∠BOD=n-m.因為OC為∠BOD的平分線，所以∠BOC=（n-m），所以∠AOC=（n-m）+m=（m+n）.故∠AOC的度數(shù)為（m+n）.【問題解決】設(shè)運動的時間為x秒.因為∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°，所以在運動過程中，∠DOA=（120-30x）°，∠COA=（90-10x）°，∠BOA=（20+20x）°.由題意可得，在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)x=時，OD與OC重合；當(dāng)x=2時，OD與OB重合；當(dāng)x=時，OC與OB重合；當(dāng)x=4時，OD與OA重合.①當(dāng)0≤x<，OC為OB，OD夾角的平分線時，∠COD=（120-30x）°-（90-10x）°=（30-20x）°，∠BOC=（90-10x）°-（20+20x）°=（70-30x）°，有∠COD=∠BOC，即30-20x=70-30x，解得x=4（舍去）；②當(dāng)≤x<2，OD為OC，OB夾角的平分線時，∠COD=（90-10x）°-（120-30x）°=（-30+20x）°，∠BOD=（120-30x）°-（20+20x）°=（100-50x）°，有∠COD=∠BOD，即-30+20x=100-50x，解得x=；③當(dāng)2≤x≤，OB為OC，OD夾角的平分線時，∠BOC=（90-10x）°-（20+20x）°=（70-30x）°，∠BOD=（20+20x）°-（120-30x）°=（-100+50x）°，有∠BOC=∠BOD，即70-30x=-100+50x，解得x=；④當(dāng)≤x≤4，OC為OB，OD夾角的平分線時，∠BOC=（20+20x）°-（90-10x）°=（-70+30x）°，∠COD=（90-10x）°-（120-30x）°=（-30+20x），有∠BOC=∠COD，即-70+30x=-30+20x，解得x=4.答：經(jīng)過或或4秒時，其中一條射線是另兩條射線夾角的平分線.3.答案：①如圖，當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時.因為OE，OF分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，所以∠COE+∠COF=∠AOC+∠BOC，即∠EOF=∠AOB.又因為∠AOB=90°，所以∠EOF=45°.②如圖，當(dāng)OC在∠AOB外部時.因為OE，OF分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠EDC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，所以∠EOF=∠FOC-∠EOC=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=45°.綜上所述，∠EOF=45°.4.答案：見解析解析：（1）因為∠AOB=150°，∠COD=30°，所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=150°-30°=120°.因為OM平分斜邊OC與OA的夾角，ON平分∠BOD，所以∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，所以∠AOM+∠BON=（∠AOC+∠BOD）=60°，所以∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=90°，故答案為90°.（2）因為∠MON=8∠COD，所以設(shè)∠COD=，則∠MON=8.因為OD平分∠MON，所以∠DOM=∠DON=4，所以∠COM=3.因為OM平分斜邊OC與OA的夾角，ON平分∠BOD，所以∠AOC=2∠COM=6，∠BOD=2∠DON=8.因為∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD=6++8=150°，所以=10°，所以∠COD=10°.（3）∠COD+150°=2∠MON或∠COD=210°-2∠MON.理由：①當(dāng)三角形紙片在∠AOB的內(nèi)部時，如圖（1）.因為OM平分斜邊OC與OA的夾角，ON平分∠BOD，所以∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD.因為∠AOM+∠BON=150°-∠MON，∠COD=150°-2（∠AOM+∠BON），所以∠COD=150°-2（150°-∠MON），所以∠COD+150°=2∠MON.②當(dāng)三角形紙片一部分在∠AOB內(nèi)部，一部分在∠AOB外部時，如圖（2），因為OM平分斜邊OC與OA的夾角，ON平分∠BOD，所以∠AOM=∠AOC，∠DON=∠BOD.因為∠AOM+∠DON=150°+∠BOD-∠MON，所以∠AOM-∠DON=150°-∠MON.因為∠COD=∠BOC+∠BOD=150°-∠AOC+∠BOD=150°-2（∠AOM-∠DON），所以∠COD=150°-2（150°-∠MON），所以∠COD+150°=2∠MON.③當(dāng)三角形紙片在∠AOB的外部時，如圖（3）.因為OM平分斜邊OC與OA