北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三 專題4.1 三角形的角-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題4.1三角形的角-重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)1三角形的概念】由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.【知識(shí)點(diǎn)2三角形的分類】按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形按角分類：三角形直角三角形【題型1三角形的分類】【例1】(2023秋?無棣縣期末）三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【變式1-1】(2023秋?交城縣期中）給出下列說法：（1）等邊三角形是等腰三角形；（2）三角形按邊的相等關(guān)系分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；（3）三角形按角的大小分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中，正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．0【變式1-2】(2023春?淮陽區(qū)期末）下列說法：（1）一個(gè)等邊三角形一定不是鈍角三角形；（2）一個(gè)鈍角三角形一定不是等腰三角形；（3）一個(gè)等腰三角形一定不是銳角三角形；（4）一個(gè)直角三角形一定不是等腰三角形．其中正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-3】(2023春?長(zhǎng)春期末）將一個(gè)三角形紙片剪開分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形不可能（）A．都是銳角三角形 B．都是直角三角形 C．都是鈍角三角形 D．是一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形【題型2三角形的計(jì)數(shù)問題】【例2】(2023秋?恩施市期中）圖中銳角三角形的個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5【變式2-1】(2023秋?齊河縣期末）如圖，共有個(gè)三角形．【變式2-2】(2023春?江都區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，那么圖中以AD為高的三角形共有個(gè)．【變式2-3】(2023秋?潮陽區(qū)期末）如圖所示，第1個(gè)圖中有1個(gè)三角形，第2個(gè)圖中共有5個(gè)三角形，第3個(gè)圖中共有9個(gè)三角形，依此類推，則第6個(gè)圖中共有三角形個(gè)．【知識(shí)點(diǎn)3三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．【題型3三角形的內(nèi)角和定理】【例3】(2023春?玄武區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，則∠C＝度．（2）若∠A=12∠B=13∠C，則∠【變式3-1】(2023秋?下城區(qū)期末）在△ABC中，∠A是鈍角，∠B＝30°，設(shè)∠C的度數(shù)是α，則α的取值范圍是．【變式3-2】(2023春?靖江市月考）如圖，線段AD和BC相交于點(diǎn)O，若∠A＝70°，∠C＝85°，則∠B﹣∠D＝．【變式3-3】(2023秋?洪山區(qū)期中）如圖所示的折線圖形中，α+β＝．【題型4直角三角形的性質(zhì)】【知識(shí)點(diǎn)4直角三角形的性質(zhì)】直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩個(gè)內(nèi)角互余．【例4】(2023春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB⊥AC，過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，若∠B＝36°，則∠DAC的度數(shù)為（）A．36° B．46° C．54° D．64°【變式4-1】(2023春?青羊區(qū)校級(jí)期中）如圖，將一副學(xué)生用三角板（一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形）的直角頂點(diǎn)重合并如圖疊放，當(dāng)∠DEB＝m°，則∠AOC＝（）A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m°【變式4-2】(2023秋?德城區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠B＝∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF．【變式4-3】(2023春?沭陽縣期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC內(nèi)部的一條線段，AE交CD于點(diǎn)F，交CB于點(diǎn)E，且∠CFE＝∠CEF．求證：AE平分∠CAB．【題型5三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用（含三角板）】【例5】(2023春?江都區(qū)期末）將一副三角板如圖放置，則圖中的∠1＝°．【變式5-1】(2023秋?光明區(qū)期末）將兩塊分別含有30°和45°角的直角三角板按如圖所示疊放，若∠1＝∠2，則∠3＝°．【變式5-2】(2023秋?涪城區(qū)校級(jí)期末）一副三角板如圖方式擺放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，則∠BMD的度數(shù)為（）A．102° B．107.5° C．112.5° D．115°【變式5-3】(2023春?鹽都區(qū)期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角三角形ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A＝45°，則∠ABD+∠ACD的值為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【題型6三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用（新定義）】【例6】(2023秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個(gè)“特征三角形”的一個(gè)內(nèi)角為30°，那么這個(gè)“特征角”α的度數(shù)為．【變式6-1】(2023春?成都期末）三角形中，如果有一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角的3倍，我們把這個(gè)三角形叫做“三倍角三角形”．在一個(gè)“三倍角三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為60°，則另外兩個(gè)角分別為．【變式6-2】(2023春?邗江區(qū)月考）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動(dòng)三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°，40°，20°的三角形是“靈動(dòng)三角形”．如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．當(dāng)△ABC為“靈動(dòng)三角形”時(shí)，則∠OAC的度數(shù)為．【變式6-3】(2023秋?南海區(qū)校級(jí)期末）閱讀理解：如果三角形滿足一個(gè)角α是另一個(gè)角β的3倍時(shí)，那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”．其中α稱為“智慧角”．解答問題：（1）一個(gè)角為60°的直角三角形（填“是”或“不是”）“智慧三角形”，若是，“智慧角”是．（2）已知一個(gè)“智慧三角形”的“智慧角”為108°，求這個(gè)“智慧三角形”各個(gè)角的度數(shù)．專題4.1三角形的角-重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)1三角形的概念】由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.【知識(shí)點(diǎn)2三角形的分類】按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形按角分類：三角形直角三角形【題型1三角形的分類】【例1】(2023秋?無棣縣期末）三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形分析：根據(jù)三角形的分類可直接得到答案．【解答】解：三角形根據(jù)邊分類不等邊三角形等腰三角形∴圖中小橢圓圈里的A表示等邊三角形．故選：D．【變式1-1】(2023秋?交城縣期中）給出下列說法：（1）等邊三角形是等腰三角形；（2）三角形按邊的相等關(guān)系分類可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；（3）三角形按角的大小分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中，正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．0分析：根據(jù)三角形的分類、三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）等邊三角形是一特殊的等腰三角形，正確；（2）三角形按邊分類可以分為不等邊三角形和等腰三角形，錯(cuò)誤；（3）三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，正確．綜上所述，正確的結(jié)論2個(gè)．故選：B．【變式1-2】(2023春?淮陽區(qū)期末）下列說法：（1）一個(gè)等邊三角形一定不是鈍角三角形；（2）一個(gè)鈍角三角形一定不是等腰三角形；（3）一個(gè)等腰三角形一定不是銳角三角形；（4）一個(gè)直角三角形一定不是等腰三角形．其中正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4分析：根據(jù)三角形的分類判斷即可．【解答】解：（1）一個(gè)等邊三角形一定不是鈍角三角形，原命題是真命題；（2）一個(gè)鈍角三角形不一定不是等腰三角形，原命題是假命題；（3）一個(gè)等腰三角形不一定不是銳角三角形，原命題是假命題；（4）一個(gè)直角三角形不一定不是等腰三角形，原命題是假命題；故選：A．【變式1-3】(2023春?長(zhǎng)春期末）將一個(gè)三角形紙片剪開分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形不可能（）A．都是銳角三角形 B．都是直角三角形 C．都是鈍角三角形 D．是一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形分析：分三種情況討論，即可得到這兩個(gè)三角形不可能都是銳角三角形．【解答】解：如圖，沿三角形一邊上的高剪開即可得到兩個(gè)直角三角形．如圖，鈍角三角形沿虛線剪開即可得到兩個(gè)鈍角三角形．如圖，銳角三角形沿虛線剪開即可得到一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形．因?yàn)榧糸_的邊上的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，不可能都是銳角，故這兩個(gè)三角形不可能都是銳角三角形．綜上所述，將一個(gè)三角形剪成兩三角形，這兩個(gè)三角形不可能都是銳角三角形．故選：A．【題型2三角形的計(jì)數(shù)問題】【例2】(2023秋?恩施市期中）圖中銳角三角形的個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5分析：先找出以A為頂點(diǎn)的銳角三角形的個(gè)數(shù)，再找出以E為頂點(diǎn)的銳角三角形的個(gè)數(shù)，然后將兩種銳角三角形相加即可．【解答】解：①以A為頂點(diǎn)的銳角三角形△ABC、△ADC共2個(gè)；②以E為頂點(diǎn)的銳角三角形：△EDC，共1個(gè)；所以圖中銳角三角形的個(gè)數(shù)有2+1＝3（個(gè)）；故選：B．【變式2-1】(2023秋?齊河縣期末）如圖，共有個(gè)三角形．分析：根據(jù)三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形數(shù)出三角形的個(gè)數(shù)．【解答】解：圖中有：△OAB，△OAC，△OAD，△OBC，△OCD，△OBD，共6個(gè)．故答案為：6．【變式2-2】(2023春?江都區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，那么圖中以AD為高的三角形共有個(gè)．分析：由于AD⊥BC于D，圖中共有6個(gè)三角形，它們都有一邊在直線CB上，由此即可確定以AD為高的三角形的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而圖中有一邊在直線CB上，且以A為頂點(diǎn)的三角形有6個(gè)，∴以AD為高的三角形有6個(gè)．故答案為：6【變式2-3】(2023秋?潮陽區(qū)期末）如圖所示，第1個(gè)圖中有1個(gè)三角形，第2個(gè)圖中共有5個(gè)三角形，第3個(gè)圖中共有9個(gè)三角形，依此類推，則第6個(gè)圖中共有三角形個(gè)．分析：根據(jù)前邊的具體數(shù)據(jù)，再結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：后邊的總比前邊多4，即第n個(gè)圖形中，三角形的個(gè)數(shù)是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以當(dāng)n＝6時(shí)，原式＝21．注意規(guī)律：后面的圖形比前面的多4個(gè)．【解答】解：第n個(gè)圖形中，三角形的個(gè)數(shù)是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以當(dāng)n＝6時(shí)，原式＝21，故答案為：21．【知識(shí)點(diǎn)3三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．【題型3三角形的內(nèi)角和定理】【例3】(2023春?玄武區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，則∠C＝度．（2）若∠A=12∠B=13∠C，則∠分析：（1）設(shè)∠A＝4x°，則∠B＝5x°，∠C＝6x°，利用三角形內(nèi)角和定理，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入∠C＝6x°中即可求出∠C的度數(shù)；（2）設(shè)∠A＝y(tǒng)°，則∠B＝2y°，∠C＝3y°，利用三角形內(nèi)角和定理，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再將其代入∠B＝2y°中即可求出∠B的度數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)∠A＝4x°，則∠B＝5x°，∠C＝6x°，依題意得：4x+5x+6x＝180，解得：x＝12，∴∠C＝6x°＝72°．故答案為：72．（2）設(shè)∠A＝y(tǒng)°，則∠B＝2y°，∠C＝3y°，依題意得：y+2y+3y＝180，解得：y＝30，∴∠B＝2y°＝60°．故答案為：60．【變式3-1】(2023秋?下城區(qū)期末）在△ABC中，∠A是鈍角，∠B＝30°，設(shè)∠C的度數(shù)是α，則α的取值范圍是．分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理表示出∠A，列出不等式，求解即可．【解答】解：設(shè)∠C的度數(shù)是α，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝30°，∴∠A＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，∵∠A是鈍角，∴90°＜150°﹣α＜180°，∴﹣30°＜α＜60°，∵α＞0°，∴0°＜α＜60°．【變式3-2】(2023春?靖江市月考）如圖，線段AD和BC相交于點(diǎn)O，若∠A＝70°，∠C＝85°，則∠B﹣∠D＝．分析：利用三角形內(nèi)角和定理可得出∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB，結(jié)合對(duì)頂角相等可得出∠B﹣∠D＝∠C﹣∠A＝15°，此題得解．【解答】解：∵∠C+∠D+∠COD＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB．∵∠AOB＝∠COD，∴∠B﹣∠D＝（180°﹣∠A﹣∠AOB）﹣（180°﹣∠C﹣∠COD）＝∠C﹣∠A＝85°﹣70°＝15°．故答案為：15°．【變式3-3】(2023秋?洪山區(qū)期中）如圖所示的折線圖形中，α+β＝．分析：如圖，連接BC．利用三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：如圖，連接BC．在△EBC中，∠1+∠2＝180°﹣∠E＝140°，在四邊形ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，∴70°+α+∠1+∠2+β+65°＝360°，∴α+β＝360°﹣70°﹣65°﹣140°＝85°，故答案為85°．【題型4直角三角形的性質(zhì)】【知識(shí)點(diǎn)4直角三角形的性質(zhì)】直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩個(gè)內(nèi)角互余．【例4】(2023春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB⊥AC，過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，若∠B＝36°，則∠DAC的度數(shù)為（）A．36° B．46° C．54° D．64°分析：根據(jù)垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，故選：A．【變式4-1】(2023春?青羊區(qū)校級(jí)期中）如圖，將一副學(xué)生用三角板（一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形）的直角頂點(diǎn)重合并如圖疊放，當(dāng)∠DEB＝m°，則∠AOC＝（）A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m°分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠DEB＝m°，∴∠AEC＝∠DEB＝m°，∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，∴30°+m°＝45°+∠AOC，∴∠AOC＝（m﹣15）°，故選：B．【變式4-2】(2023秋?德城區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠B＝∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF．分析：根據(jù)平角的定義，求得∠DFC＝28°，由于，∠B＝∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得∠EDB＝∠DFC＝28°，即可求得∠EDF．【解答】解：∵∠AFD＝152°，∴∠DFC＝28°，∴∠B＝∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∴∠EDB＝∠DFC＝28°，∴∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC＝180°﹣90°﹣28°＝62°．【變式4-3】(2023春?沭陽縣期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC內(nèi)部的一條線段，AE交CD于點(diǎn)F，交CB于點(diǎn)E，且∠CFE＝∠CEF．求證：AE平分∠CAB．分析：在△ADF中，利用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合對(duì)頂角相等可得出∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE，在△AEC中，利用三角形內(nèi)角和定理可得出∠CAE＝90°﹣∠CEF，再結(jié)合∠CFE＝∠CEF可得出∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．【解答】證明：∵CD⊥AB，∴在△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．∵∠ACE＝90°，∴在△AEC中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．∵∠CFE＝∠CEF，∴∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．【題型5三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用（含三角板）】【例5】(2023春?江都區(qū)期末）將一副三角板如圖放置，則圖中的∠1＝°．分析：先用三角形內(nèi)角和定理求出角4的度數(shù)，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意得：∠2＝60°，∠3＝45°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°，∴∠1＝∠4＝75°，故答案為：75．【變式5-1】(2023秋?光明區(qū)期末）將兩塊分別含有30°和45°角的直角三角板按如圖所示疊放，若∠1＝∠2，則∠3＝°．分析：根據(jù)等角的余角相等得到∠3＝∠4，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和∠5的度數(shù)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵∠5＝45°，∴∠3＝∠4=1故答案為：67.5．【變式5-2】(2023秋?涪城區(qū)校級(jí)期末）一副三角板如圖方式擺放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，則∠BMD的度數(shù)為（）A．102° B．107.5° C．112.5° D．115°分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的定義解答即可．【解答】解：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，∴∠MBD=12∠ABD=1∴∠BMD＝180°﹣∠MBD﹣∠BDM＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°，故選：C．【變式5-3】(2023春?鹽都區(qū)期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角三角形ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A＝45°，則∠ABD+∠ACD的值為（）A．40° B．45° C．50° D．55°分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝135°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝90°，進(jìn)而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°，在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝135°﹣90°＝45°，故選：B．【題型6三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用（新定義）】【例6】(2023秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個(gè)“特征三角形”的一個(gè)內(nèi)角為30°，那么這個(gè)“特征角”α的度數(shù)為．分析：可分三種情況：當(dāng)“特征角”為30°時(shí)；當(dāng)β＝30°時(shí)；當(dāng)?shù)谌齻€(gè)角為30°時(shí)，根據(jù)“特征角”的定義，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理分別計(jì)算即可求解．【解答】解：當(dāng)“特征角”為30°時(shí)，即特征角”α＝30°；當(dāng)β＝30°時(shí)，“特征角”α＝2×30°＝60°；當(dāng)?shù)谌齻€(gè)角為30°時(shí)，“特征角”12α+α+30°＝180°，解得α綜上，這個(gè)“特征角”α的度數(shù)為30°或60°或100°．故答案為30°或60°或100°．【變式6-1】(2023春?成都期末）三角形中，如果有一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角的3倍，我們把這個(gè)三角形叫做“三倍角三角形”．在一個(gè)“三倍角三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為60°，則另外兩個(gè)角分別為．分析：分三種情形討論求解即可解決問題．【解答】解：在△ABC中，不妨設(shè)∠A＝60°．①若∠A＝3∠C，則∠C＝20°，∠B＝100°．②若∠C＝3∠A，則∠A＝180°（不合題意）．③若∠B＝3∠C，則∠B＝90°，∠C＝30°，綜上所述，另外兩個(gè)角的度數(shù)為100°，20°或90°，30°．故答案為：100°，20°或90°，30°．【變式6-2】(2023春?邗江區(qū)月考）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動(dòng)三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120