專題02 數(shù)列（解答題12種考法）（精練）（原卷版）

專題02數(shù)列（解答題12種考法）1．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且是和的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若______，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并解答問題．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．6．（2023秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.7．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列和各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列是由數(shù)列和中不同的項(xiàng)按照從小到大的順序排列得到的新數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.8．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．9．（2023秋·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為3的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，正項(xiàng)數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．10．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列中，，是與9的等差中項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求實(shí)數(shù)的最小值.11.（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．12．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對任意，且當(dāng)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.13．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┯洖閿?shù)列的前n項(xiàng)和，已知.(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{}滿足且，的前n項(xiàng)和為，證明:.14．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列和滿足：，，（為常數(shù)，且）．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若當(dāng)和時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值，求的表達(dá)式．15．（2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求集合中元素的個(gè)數(shù).16．（2023秋·天津紅橋·高三天津市瑞景中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(4)記的前項(xiàng)和為，求證：；17．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．18．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．20．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．21．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為和，且對任意，恒成立.(1)若，，求；(2)若對任意，都有及恒成立，求正整數(shù)的最小值.22．（2022·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.23．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)?？级＃┰谀硞€(gè)周末，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約打臺球．四人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩組，進(jìn)行組內(nèi)一對一對打；②第一輪甲乙對打、丙丁對打；③每輪游戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一輪游戲中對打；④每輪比賽均無平局出現(xiàn)．已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為，甲勝丙、乙勝丁的概率均為，甲勝丁的概率為．(1)設(shè)在前三輪比賽中，甲乙對打的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)求在第10輪比賽中，甲丙對打的概率．24．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，從①；②，；③中任選一個(gè)條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.25．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）某知識測試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A，B，C，D這4個(gè)選項(xiàng)，4個(gè)選項(xiàng)中僅有兩個(gè)或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.已知測試過程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇，每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.若第一題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為；第題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為.(1)若第二題只選了“C”一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)Y表示第n題得分，求證：.26．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考二模）已知等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.設(shè)表示不超過的最大正整數(shù)，求使的最大正整數(shù)的值.27．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，．若對于任意，有，求的取值范圍．28．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．29．（2023·山東·山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，為的前n項(xiàng)和，且，，成