《數(shù)學(xué)（上 一冊）（第二版）》 課件 第1章 不等式與集合

不等式與集合第1章1目錄1.1不等式的性質(zhì)與解集1.2一元一次不等式（組）1.3一元二次不等式1.4含有絕對(duì)值的不等式1.5簡易邏輯2教學(xué)要求：1.理解并掌握不等式的基本性質(zhì)，掌握基本不等式及應(yīng)用。2.了解集合的概念與表示方法，掌握常用數(shù)集的記法。理解區(qū)間的含義及表示方法，會(huì)進(jìn)行數(shù)集與區(qū)間的互化。掌握用集合、區(qū)間表示不等式解集的方法，并能把解集在數(shù)軸上表示出來。3.掌握一元一次不等式（組）的解法。了解集合交集的概念及運(yùn)算，理解集合之間的關(guān)系。34.了解一元二次方程、二次函數(shù)和一元二次不等式的關(guān)系，會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解一元二次不等式，了解并集的概念及運(yùn)算。5.體會(huì)絕對(duì)值的幾何意義，會(huì)用變量代換的思想方法解含有絕對(duì)值的不等式，了解補(bǔ)集的概念及運(yùn)算。6.了解命題的概念，會(huì)判斷命題的真假。理解充分條件、必要條件、充分必要條件的意義，會(huì)利用它們判斷兩個(gè)命題之間的關(guān)系。41.1不等式的性質(zhì)與解集5實(shí)數(shù)的大小我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，點(diǎn)A與實(shí)數(shù)2對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與實(shí)數(shù)-3對(duì)應(yīng)等?？梢钥吹?，當(dāng)數(shù)軸上一點(diǎn)P從左向右移動(dòng)時(shí)，它對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)就逐漸增大。6數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大。例如，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右邊，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)2比點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)-3大，即2>-3。在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊（或左邊），點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為b，則有a>b（或a<b）。對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，它們具有如下基本事實(shí)：a-b>0?a>b，a-b=0?a=b，a-b<0?a<b。由此可知，要確定兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b的大小關(guān)系，還可以通過比較它們的差與0的大小關(guān)系進(jìn)行判定。7不等式的基本性質(zhì)從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系出發(fā)，可以得到不等式的基本性質(zhì)：性質(zhì)1不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)實(shí)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即如果a>b，那么a+m>b+m；如果a<b，那么a+m<b+m。性質(zhì)2不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即如果a>b且m>0，那么am>bm；如果a<b且m>0，那么am<bm。8性質(zhì)3不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變，即如果a>b且m<0，那么am<bm；如果a<b且m<0，那么am>bm。性質(zhì)4不等式具有傳遞性，即如果a>b且b>c，那么a>c。9基本不等式及其應(yīng)用我們知道，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，都有a2≥0。那么，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y而言，必定有（x-y）2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立。將（x-y）2≥0的左邊展開得x2-2xy+y2≥0，移項(xiàng)得x2+y2≥2xy。這表明對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，都有x2+y2≥2xy，

①當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立。10特別地，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，我們用

分別代替x，y，則不等式①變?yōu)閍+b≥2

，即通常稱不等式②為基本不等式，其中，

稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，

稱為a，b的幾何平均數(shù)。因此，不等式②表達(dá)的結(jié)論為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)。當(dāng)a，b的和一定時(shí)，若不等式②中等號(hào)成立，則a，b的幾何平均值

取最大值；當(dāng)a，b的積一定時(shí)，若不等式②中等號(hào)成立，則a，b的算術(shù)平均值

取最小值。利用這個(gè)特性，可以很方便地解決一些求最大（?。┲档膶?shí)際問題。11集合的概念不等式的解的全體也被稱為解集。一般地，某些指定的對(duì)象組成的全體就是一個(gè)集合（簡稱集）。集合通常用大寫英文字母A，B，C，…表示。例如：滿足不等式x<3的全體自然數(shù)0，1，2組成集合A，滿足不等式x+3<5的全體實(shí)數(shù)組成集合B。12集合中的每個(gè)對(duì)象都稱為這個(gè)集合的元素。集合的元素通常用小寫英文字母a，b，c，…表示。集合中的元素必須是確定的。如果給定一個(gè)集合，則任何一個(gè)對(duì)象是否為其中的元素應(yīng)可明確判斷。一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的。如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A。13集合的元素可以是字母、數(shù)字，甚至是圖形。如果集合中的元素是數(shù)，那么這樣的集合叫作數(shù)集。常用數(shù)集及其記法見下表。我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作?。例如，方程x2+2=0沒有實(shí)數(shù)解，因此，方程x2+2=0的實(shí)數(shù)解組成的集合就是?。14常用數(shù)集表集合的表示方法通常有兩種：列舉法和描述法。我們將實(shí)例考察第（1）題中的集合A表示為{0，1，2}。像這樣通過在大括號(hào)內(nèi)一一列舉集合中的所有元素表示集合的方法叫作列舉法。用列舉法表示集合，元素之間要用逗號(hào)分隔開。我們將實(shí)例考察第（2）題中的集合B表示為{x|x<2，x∈R}。用集合中元素的共同特征來表示集合的方法叫作描述法。描述法的一般形式為{x|x具有的共同特征}。使不等式成立的未知數(shù)的全體組成的集合，稱為不等式的解集。15區(qū)間的概念不等式的解集往往是數(shù)集。設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b，我們規(guī)定：1.數(shù)集{x|a≤x≤b}稱為閉區(qū)間，用符號(hào)[a，b]表示。2.數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間，用符號(hào)（a，b）表示。3.數(shù)集{x|a≤x<b}稱為左閉右開區(qū)間，用符號(hào)[a，b）表示。4.數(shù)集{x|a<x≤b}稱為左開右閉區(qū)間，用符號(hào)（a，b]表示。16上面的這些數(shù)集都稱為區(qū)間，其中[a，b）和（a，b]統(tǒng)稱為半開半閉區(qū)間。這里的實(shí)數(shù)a，b分別稱為區(qū)間的左端點(diǎn)和右端點(diǎn)。區(qū)間在數(shù)軸上可以用一條以a，b為端點(diǎn)的線段表示，區(qū)間閉的一端用實(shí)心點(diǎn)表示，區(qū)間開的一端用空心點(diǎn)表示。175.實(shí)數(shù)集R可用區(qū)間（-∞，+∞）表示，數(shù)集{x|x≥a}，{x|x≤b}，{x|x>a}，{x|x<b}則分別可用區(qū)間[a，+∞），（-∞，b]，（a，+∞），（-∞，b）表示。其中，a，b也稱為區(qū)間的端點(diǎn)，“+∞”讀作“正無窮大”，“-∞”讀作“負(fù)無窮大”。181.2一元一次不等式（組）19一元一次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，稱為一元一次不等式。我們在初中已經(jīng)學(xué)過一元一次不等式的解法，即利用不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化成x<a（或x>a）的形式?；静襟E是：去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→未知數(shù)的系數(shù)化為1。因?yàn)閷?shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來。20一元一次不等式組一元一次不等式組含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組。不等式組的解集不等式組中各不等式的解集的公共部分。一元一次不等式組解法的基本步驟：（1）求出不等式組中各不等式的解集；（2）分別作出各不等式的解集的數(shù)軸表示，找出公共部分，得到不等式組的解集（若公共部分不存在，則不等式組的解集為空集）。21兩個(gè)一元一次不等式所組成的一元一次不等式組的解集情況，可以歸結(jié)為以下四種基本類型。22為了直觀地表示一個(gè)集合，我們可以在平面上畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)非空集合，這種圖稱為Venn圖。集合A與B的交集A∩B可用Venn圖表示，圖中的陰影部分即表示A∩B。若兩個(gè)集合沒有公共元素[如例1（2）不等式組中兩個(gè)不等式的解集]，則這兩個(gè)集合的交集為空集，記作A∩B=?。23我們規(guī)定，空集是任何集合的子集。也就是說，對(duì)于任意一個(gè)集合A，都有??A。對(duì)于任意一個(gè)集合A，它的所有元素都屬于集合A本身，所以任意一個(gè)集合都是它本身的子集，即A?A。集合A與集合B的包含關(guān)系A(chǔ)?B（或B?A），可以用圖表示。24設(shè)集合A={4，6，8，10}，集合B={2，4，6，8，10}，則集合A?B，且集合B中存在元素2?A。這時(shí)，我們稱集合A是集合B的真子集。我們規(guī)定，空集是任何非空集合的真子集，也就是說，對(duì)于任意一個(gè)非空集合A，都有??A。集合B與它的真子集A的關(guān)系，可以用上圖a表示。25對(duì)于常用數(shù)集N，Z，Q，R來說，有N?Z?Q?R。使用Venn圖可以清楚地表示這種真包含的關(guān)系，如圖所示。設(shè)集合A={2，3}，集合B={x|x2-5x+6=0}，考察方程x2-5x+6=0的實(shí)數(shù)解可知，集合A與集合B中的元素是一樣的。根據(jù)子集的定義得A?B且B?A。26由集合相等的定義，可以知道，{x|x2-7x+12=0}={3，4}。又如：{中國古代四大發(fā)明}={指南針，火藥，造紙術(shù)，印刷術(shù)}，

{平行四邊形}={兩組對(duì)邊分別平行的四邊形}

={對(duì)角線互相平分的四邊形}。271.3一元二次不等式28一元二次不等式受各種成本和銷售策略的影響，隨著商品銷量提升，企業(yè)的利潤并非總是均勻增加的。請(qǐng)研究以下案例：商場某商品的存貨量為200件。在存貨支持的范圍內(nèi)，商場一天銷售該商品的數(shù)量x（單位：件）與利潤y（單位：元）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=-10x2+400x（x∈N）。如果商場計(jì)劃在一天內(nèi)通過銷售該商品產(chǎn)生3000元以上的利潤，那么一天內(nèi)至少應(yīng)銷售多少件?根據(jù)問題得不等式-10x2+400x>3000（x∈N），整理得x2-40x+300<0（x∈N）。這是一個(gè)關(guān)于x的不等式，求出滿足這個(gè)不等式的解是問題的關(guān)鍵。29類似實(shí)例考察中的不等式還有很多，例如：x2-x+1>0，-2x2+3x+5<0。上述不等式都是只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的不等式，我們把這樣的不等式稱為一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，其中，a，b，c均為常數(shù)，a≠0。需要說明的是，整理后沒有二次項(xiàng)的一元不等式不是一元二次不等式。30如何求一元二次不等式的解集呢?二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像如圖所示，觀察圖像并討論：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x取什么值?（2）二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么?（3）當(dāng)y<0時(shí)，x的取值范圍是什么?（4）當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是什么?31我們知道，二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像是一條開口向上的拋物線，因此：（1）當(dāng)y=0時(shí)，即得到一元二次方程x2-x-2=0，解得方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1=-1，x2=2。（2）由上圖可知，二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1，0），（2，0）。（3）當(dāng)y<0時(shí)，x的取值范圍是（-1，2），即不等式x2-x-2<0的解集為（-1，2）。（4）當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是（-∞，-1）或（2，+∞）。32集合A與B的并集A∪B可用Venn圖表示，圖中的陰影部分即表示A∪B。因此，不等式x2-x-2>0的解集為（-∞，-1）∪（2，+∞）。上述方法可以推廣到任意的一元二次不等式。33我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0），設(shè)Δ=b2-4ac，它的根按照Δ>0，Δ=0，Δ<0可分為三種情況。相應(yīng)地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的位置關(guān)系也可分為三種情況。因此，我們可分三種情況來討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集。341.4含有絕對(duì)值的不等式35含有絕對(duì)值的不等式在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)接觸到有誤差范圍的技術(shù)要求。圖是一工件加工圖紙，要求加工的過程中，三角形的高為30mm，誤差范圍在±0.042mm，若一名學(xué)生加工的工件高為dmm，則d必須滿足什么條件，工件才合格?36設(shè)學(xué)生實(shí)際加工的工件高與30mm之間的差為x，則x=d-30。由以上要求可知x最大為0.042，最小為-0.042，因此得-0.042≤x≤0.042。觀察圖所示數(shù)軸，數(shù)軸上符合-0.042≤x≤0.042的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于等于0.042，也就是說，x≤0.042，即37類似實(shí)例考察中得到的不等式還有很多，例如

等。像這樣的不等式稱為含有絕對(duì)值的不等式。由實(shí)例考察可知

≤0.042可轉(zhuǎn)化為-0.042≤x≤0.042，也就是說

≤0.042的解集是[-0.042，0.042]，即為上圖所示。類似地，若

>0.042，則在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于0.042，即x<-0.042或x>0.042。因此，不等式

>0.042的解集是（-∞，-0.042）∪（0.042，+∞）。38根據(jù)以上分析，可以得出下表的結(jié)論。應(yīng)用這個(gè)結(jié)論及不等式的性質(zhì)可以解類似≤0.042，>5等較復(fù)雜的不等式。39全集與補(bǔ)集我們考察不等式

≤a的解集A，

>a（a>0）的解集B以及實(shí)數(shù)集R三個(gè)集合之間的關(guān)系。由圖可知：不等式

≤a的解集A與

>a（a>0）的解集B都是實(shí)數(shù)集R的子集，解集A與解集B的交集為?，而并集等于實(shí)數(shù)集R。像這樣，如果作為研究對(duì)象的集合都是某個(gè)給定集合的子集，那么這個(gè)給定的集合就稱為全集，常用符號(hào)U來表示。40在畫Venn圖時(shí)，我們通常用矩形的內(nèi)部表示全集U，則在矩形內(nèi)，集合A的外部表示的就是?UA，如圖中的陰影部分。411.5簡易邏輯42命題判斷真假是生活中常見的問題。請(qǐng)你判斷下面所說的事情是真是假，并總結(jié)這四句話的共同點(diǎn)。（1）長城屬于中國；（2）雪是黑的；（3）5是自然數(shù)；（4）11>25。43實(shí)例考察中四句話的共同點(diǎn)是：都是陳述句，都可以判斷真假。實(shí)例考察的這些語句中，（1）（2）（3）（4）都是命題。其中，（1）（3）是真命題；（2）（4）是假命題。44為了方便，我們常用小寫字母p，q，r，s，…表示命題。當(dāng)命題p是真命題時(shí)，可簡稱p為真；當(dāng)命題p是假命題時(shí)，可簡稱p為假，例如：r：5是自然數(shù)。r為真s：11>25。

s為假上述兩個(gè)判斷的意思是：命題r為“5是自然數(shù)”，是真命題；命題s為“11>25”，是假命題。45例題解析

例1下列語句是不是命題?如果是命題，指出它的真假；如果不是命題，說明理由：（1）空集是任何集合的子集。

（2）對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎?（3）

=-2。

（4）x=5。（5）π是有理數(shù)。

（6）上課請(qǐng)不要講話!分析判斷一個(gè)語句是不是命題，就是要看它是否符合“陳述句”和“可以判斷真假”這兩個(gè)條件。解上面6個(gè)語句中，（2）（6）不是陳述句，所以它們都不是命題；（4）是陳述句，但因?yàn)闊o法判斷它的真假，所以它也不是命題；其余3個(gè)都是陳述句，而且都可以判斷真假，所以它們都是命題，其中（1）是真命題，（3）（5）是假命題。46上面列舉的命題都是用一句簡單的陳述句表達(dá)的，我們把這類命題稱為簡單命題。除此之外，還有一類命題是由一些連接詞把一些簡單命題連接起來構(gòu)成的，例如：（1）12是4的倍數(shù)，且12是6的倍數(shù)。（2）3+4=7或3+4>7。（3）6不是分?jǐn)?shù)，也不是整數(shù)。（4）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等。（5）若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù)。47我們把這類命題稱為復(fù)合命題。其中，（4）（5）具有“如果p，那么q”或“若p，則q”的形式，通常我們把這種形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論。有關(guān)復(fù)合命題的真假，我們將通過實(shí)例來討論。數(shù)學(xué)中有一些命題雖然表面上不是“若p，則q”的形式，例如“垂直于同一條直線的兩條直線平行”，但是把它的表述作適當(dāng)改變，就可以寫成“若p，則q”的形式：若兩條直線垂直于同一條直線，則這兩條直線平行。這樣，它的條件和結(jié)論就很清楚了。48四種命題考察下面命題的幾種變化，各種變化形式之間是怎樣的關(guān)系?有什么特點(diǎn)?如果天下雨，那么露天的地面濕。

①變化1把