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第=page11頁,共=sectionpages11頁第=page22頁,共=sectionpages22頁八下9.5三角形的中位線難題訓(xùn)練姓名:___________班級:___________考號:___________一、選擇題若順次連結(jié)四邊形四條邊的中點,所得的四邊形是菱形,則原四邊形一定是()A.平行四邊形 B.矩形

C.對角線相等的四邊形 D.對角線互相垂直的四邊形如圖,△ABC中,AB=15,AC=13,點D為BC上一點,且AD=12,BD=9,點E,F(xiàn)分別為AB,AC的中點,則△DEF的周長為(????)A.25

B.24

C.26

D.21如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為5和3,點E,G分別為AD,CD邊上的點,H為BF的中點,連接HG,則HG的長為A.22 B.4 C.15 D.如圖,將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊,頂點C落到點E處,BE交AD于點F.過點D作DG//BE,交BC于點G,連接FG交BD于點O.若AB=3,AD=4,則FG的長為(????)A.258

B.158

C.254如圖,三角形ABC中,∠B,∠C的平分線BF,CE相交于O,AG⊥BF于G,AH⊥CE于H.其中AB=9cm,AC=14cm,BC=18cm,則GH的長為(????)

A.2cm B.52cm C.3?cm 如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=2AB,CE⊥AB于點E,點F、G分別是AD、BC的中點,連接CF、EF、FG,下列結(jié)論:①CE⊥FG;②四邊形ABGF是菱形;③EF=CF;④∠EFC=2∠CFD.其中正確的個數(shù)是(????)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個如圖,AC,BD是四邊形ABCD的對角線,點E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點,點M,N分別是AC,BD的中點,連接EM,MF,F(xiàn)N,NE,要使四邊形EMFN為正方形,則需添加的條件是(????)A.AB=CD,AB⊥CD B.AB=CD,AD=BC

C.AB=CD,AC⊥BD D.AB=CD,AD//BC如圖,依次連接第一個矩形各邊的中點得到一個菱形,再依次連接菱形各邊中點得到第二個矩形,依次類推若第一格矩形的面積為1,則第n個矩形的面積為(????)

A.12n B.14n C.1二、填空題如圖所示,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AE=EB,OE=3,AB=5,?ABCD的周長________.

如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,∠BCD=90°,BC=2AD,F(xiàn)、E分別是BA、BC的中點,現(xiàn)有四個結(jié)論:①△ABC是等腰三角形②四邊形EFAM是菱形③S△BEF=12S△ACD?④DE平分∠CDF.則下列結(jié)論正確的是_______________

如圖,E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點,當四邊形ABCD的邊至少滿足________時,四邊形EFGH是菱形.

如圖,△ABC中,AD是中線,AE是角平分線,CF⊥AE于F,AB=13,AC=8,則DF的長為___________

如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD于D,F(xiàn)為AC中點,AB=5,BC=7,則DF=_________.

如圖,已知矩形ABCD的長和寬分別為16cm和12cm,連接其對邊中點,得到四個矩形,順次連接矩形AEFG各邊中點,得到菱形l1;連接矩形FMCH對邊中點,又得到四個矩形,順次連接矩形FNPQ各邊中點,得到菱形l2;…如此操作下去,則l4的面積是______cm2三、解答題類比等腰三角形的定義,我們定義:有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”.(1)概念理解:如圖1,在四邊形ABCD中,添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”.請寫出你添加的一個條件,你添加的條件是

.(2)問題探究:如圖2,在“等鄰邊四邊形”ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=∠ADC=90°,AB=AD=6,求對角線AC的長.(3)拓展應(yīng)用:如圖3,“等鄰邊四邊形”ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=30°,AC為對角線,試探究AC,BC,DC的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

在△ABC中,借助作圖工具可以作出中位線EF,沿著中位線EF一刀剪切后,用得到的△AEF和四邊形EBCF可以拼成平行四邊形EBCP,剪切線與拼圖如圖示1,仿上述的方法,按要求完成下列操作設(shè)計,并在規(guī)定位置畫出圖示,

(1)在△ABC中,增加條件______,沿著______一刀剪切后可以拼成矩形,剪切線與拼圖畫在圖示2的位置;

(2)在△ABC中,增加條件______,沿著______一刀剪切后可以拼成菱形,剪切線與拼圖畫在圖示3的位置;

(3)在△ABC中,增加條件______,沿著______一刀剪切后可以拼成正方形,剪切線與拼圖畫在圖示4的位置.

閱讀下面材料:子薇遇到這樣一個問題:如圖1,在正方形ABCD中,點E、F分別為DC、BC邊上的點,∠EAF=45°,連接EF,求證:DE+BF=EF.子薇是這樣思考的:要想解決這個問題,首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上.她先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法,發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題.她的方法是將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG(如圖2),此時GF即是DE+BF.請回答:在圖2中,∠GAF的度數(shù)是_______.參考子薇得到的結(jié)論和思考問題的方法,解決下列問題:(1)如圖3,在直角梯形ABCD中,AD//BC(AD>BC),∠D=90°,AD=CD=10,E是CD上一點,若∠BAE=45°,DE=4,求BE的長度.(2)如圖4,在平面直角坐標系xOy中,點B是x軸上一動點,且點A(?3,2),連接AB和AO,并以AB為邊向上作正方形ABCD,若C(x,y),求用含x的代數(shù)式表示y。

(1)如圖,已知△ABC,以邊AB、AC為邊分別向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD、BE.求證:CD=BE.

(2)如圖,已知△ABC,以邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABFD和正方形ACGE,連接CD、BE,CD與BE有什么數(shù)量關(guān)系?(直接寫結(jié)果,不需要過程).

(3)運用(1)、(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識,完成下題:

如圖,要測量池塘兩岸相對的兩點B、E的距離,已經(jīng)測得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,,AC=AE,求BE的長.

如圖1,在平面直角坐標系中,A(a,0)是x軸正半軸上一點,C是第四象限一點,CB⊥y軸,交y軸負半軸于B(0,b),且(a-3)2+|b+4|=0,S四邊形AOBC=16.

(1)求C點坐標;

(2)如圖2,設(shè)D為線段OB上一動點,當AD⊥AC時,∠ODA的角平分線與∠CAE的角平分線的反向延長線交于點P,求∠APD的度數(shù).

(3)如圖3,當D點在線段OB上運動時,作DM⊥AD交BC于M點,∠BMD、∠DAO答案和解析C

解:∵四邊形EFGH是菱形,

∴EH=FG=EF=HG=12BD=12AC,

故AC=BD.

解:∵AD2+BD2=144+81=225,AB2=152=225,

∴AD2DC=A∴BC=BD+DC=9+5=14,∵點E,F(xiàn)分別為AB,AC的中點,∴DE=12AB=EF=1∴△DEF的周長=15

3.D

解:作HM⊥GF的延長線于M,則MH為△FBN的中位線,

∵NB=5?3=2,F(xiàn)N=5?3=2,

∴FM=MH=1,

∴GF=3+1=4,

∴GH=GM2+MH2=17

解:由折疊的性質(zhì)可知:∠DBC=∠DBE,

又∵AD//BC,

∴∠DBC=∠ADB,

∴∠DBE=∠ADB,

∴DF=BF;

∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD//BC,

∴FD//BG,

又∵DG//BE,

∴四邊形BFDG是平行四邊形,

∵DF=BF,

∴四邊形BFDG是菱形;

∵AB=3,AD=4,

∴BD=5.

∴OB=12BD=52.

設(shè)DF=BF=x,

∴AF=AD?DF=4?x.

∴在直角△ABF中,AB2+AF2=BF2,即32+(4?x

5.B

解:分別延長AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG平分∠ABM,BG⊥AM,所以△ABG≌△MBG(ASA).

從而,G是AM的中點.同理可證△ACH≌△NCH(ASA),

從而,H是AN的中點.所以GH是△AMN的中位線,

所以AB=BM=9cm,AC=CN=14cm.

又BC=18cm,

所以BN=BC?CN=18?14=4cm,

MC=BC?BM=18?9=9cm.

從而MN=18?4?9=5cm,

∴GH=1

6.D

解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD//BC,AD=BC,

∵點F、G分別是AD、BC的中點,

∴AF=12AD,BG=12BC,

∴AF=BG,

∵AF//BG,

∴四邊形ABGF是平行四邊形,

∴AB//FG,

∵CE⊥AB,

∴CE⊥FG;故①正確;

∵AD=2AB,AD=2AF,

∴AB=AF,

∴四邊形ABGF是菱形,故②正確;

延長EF,交CD延長線于M,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB//CD,

∴∠A=∠MDF,

∵F為AD中點,

∴AF=FD,

在△AEF和△DFM中,∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM,

∴△AEF≌△DMF(ASA),

∴FE=MF,∠AEF=∠M,

∵CE⊥AB,

∴∠AEC=90°,

∴∠AEC=∠ECD=90°,

∵FM=EF,

∴FC=EF=FM,故③正確;

∴∠FCD=∠M,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB=CD,AD//BC,

∵AF=DF,AD=2AB,

∴DF=DC,

∴∠DCF=∠DFC,

∴∠M=∠FCD=∠CFD,

∵∠EFC=∠M+∠FCD=2∠CFD;故④正確,

解:∵點E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點,點M,N分別是AC,BD的中點,

∴EN、NF、FM、ME分別是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位線,

∴EN//AB//FM,ME//CD//NF,EN=12AB=FM,ME=12CD=NF,

∴四邊形EMFN為平行四邊形,

當AB=CD時,EN=FM=ME=NF,

∴平行四邊形ABCD是菱形;

當AB⊥CD時,EN⊥ME,

則∠MEN=90°,

∴菱形EMFN是正方形;

8.D

解:已知第一個矩形的面積為1;

第二個矩形的面積為原來的122×2?2=14;

第三個矩形的面積是122×3?2=116;

故第n

解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴OA=OC,

∵AE=EB,

∴OE=12BC,

∴BC=6,

∴AB+BC=5+6=11,

∴平行四邊形ABCD的周長=2×11=22.

10.解:連接AE,

∵E為BC的中點,

∴BE=CE=12BC,

又∵BC=2AD,

∴AD=BE=EC,

又∵AD//BC,

∴四邊形ABED為平行四邊形,四邊形AECD為平行四邊形,

又∵∠DCB=90°,

∴四邊形AECD為矩形,

∴∠AEC=90°,

即AE⊥BC,

∴AE垂直平分BC,

∴AB=AC,即△ABC為等腰三角形,∴①正確;

∵E為BC的中點,F(xiàn)為AB的中點,

∴EF為△ABC的中位線,

∴EF//AC,EF=12AC,

∵F為AB中點,

∴AF=12AB,

∵AB=AC,

∴EF=AF,

又∵四邊形ABED為平行四邊形,

∴AF//ME,

∵EF//AC,

∴四邊形AFEM為平行四邊形,

∴四邊形AFEM為菱形,∴②正確;

過F作

又∵F為AB的中點,

∴N為BE的中點,

∴FN為△ABE的中位線,

又∵AE=DC,BE=AD,

∴S三角形BEF=12BE×FN=12×12CD×AD,S三角形ACD=12AD×CD,

11.AB=CD

解:需添加條件AB=CD.

∵E,F(xiàn)是AD,DB中點,

∴EF//AB,EF=12?AB,

∵H,G是AC,BC中點,

∴HG//AB,HG=1?2AB,

∴EF//HG,EF=HG,

∴四邊形EFGH是平行四邊形,

∵E,H是AD,AC中點,

∴EH=1?2CD,

∵AB=CD,

∴EF=EH,

∴四邊形

解:延長CF交AB于H,

在△AFH和△AFC中,

∠HAF=∠CAFAF=AF∠AFH=∠AFC=90°,

∴△AFH≌△AFC(ASA)

∴AH=AC=8,CF=FH,

∴HB=AB?AH=13?8=5,

∵CF=FH,CD=DB,

∴DF=12HB=2.5,

解:延長AD交BC于E,

∵AD⊥BD,BD平分∠ABC,

∴△ABD≌△EBD,

∴BE=AB=5,

又∵BC=7,

∴EC=BC?BE=7?5=2,

又F為AC中點,可得DF為△AEC的中位線,

∴DF=12EC=1

14.38解:∵矩形ABCD的長和寬分別為16cm和12cm,

∴EF=8cm,AE=6cm,

∴菱形l1的面積=12×8×6=24cm2,

同理,菱形l2的面積=12×4×3=6cm2,

則菱形l3的面積=12×2×(2)連接AC、BD交于點O,

∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是等邊三角形,

∴∠ABD=∠ADB=60°,

∵∠ABC=∠ADC=90°,

∴∠CBD=∠CDB=30°,

∴CB=CD,

∴AC垂直平分BD,

∴BO=12AB=3,

∴AO=AB2?BO2=33,

在Rt△BOC(3)過點C作CE⊥BC于點C,且使得CE=CD,

∵∠BAD+∠BCD=90°,

∴∠DCE=60°,

∴△CDE是等邊三角形,

∴DE=CD,∠EDC=60°,

∵AB=AD,∠DAB=60°,

∴△ABD是等邊三角形,

∴AD=BD,∠ADB=60°,

在△ADC和△BDE中,

AD=BD∠ADC=∠BDECD=DE,

∴△ADC≌△BDE(SAS),

∴AC=BE,

∵∠BCE=90°,

∴BE2=BC

解:(1)根據(jù)定義:AB=BC.

故答案為AB=BC;

16.(1)∠B=90°;中位線EF;(2)AB=2BC(或者∠C=90°,∠A=30°);中位線EF;(3)∠B=90°且AB=2BC,;中位線EF

解:(1)∠B=90°,中位線EF,

(2)AB=2BC,中位線EF,

(3)∠B=90°且AB=2BC,中位線EF,

故答案為:(1)∠B=90°,中位線EF;

(2)AB=2BC,中位線EF;

(3)∠B=90°且AB=2BC,中位線EF.

17.解:45o

2a;(1)58(2)如圖4,過點A作AE⊥x軸于E,過點C作CF⊥x軸于F,在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,

∵∠ABE+∠CBF=180°?90°=90°∠ABE+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CBF,在△ABE和△BCF中,∵∠BAE=∠CBF∴△ABE≌△BCF(AAS),∴AE=BF,BE=CF,∵點A(?3,2),C(x,y),∴OE=3,AE=2,OF=x,CF=y,∴OB=BE?OE=y?3,OB=OF?BF=x?2,∴y?3=x?2,整理得,y=x+1.解:閱讀材料:∵△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,∴∠GAB=∠EAD,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=90∵∠EAF=45∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠EAD+∠BAF=∠BAD?∠EAF=90故答案為45°;(1)如圖3,過點A作AF⊥CB交CB的延長線于點F,∵AD//BC,∠D=90°,∴四邊形AFCD是正方形,設(shè)BE=x,根據(jù)小偉的結(jié)論,BF=BE?DE=x?4,∵CD=10,DE=4,∴CE=CD?DE=10?4=6,BC=CF?BF=10?(x?4)=14?x,在Rt△BCE中,BC2+CE2=BE2,即(14?x)整理得,?28x=?232,解得x=58即BE=58故答案為587

18.解:(1)完成圖形,如圖所示:

證明:∵△ABD和△ACE都是等邊三角形,

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,

∵在△CAD和△EAB中,

AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE,

∴△CAD≌△EAB(SAS),

∴BE=CD;

(2)BE=CD,理由同(1),

∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形,

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,

∴∠CAD=∠EAB,

∵在△CAD和△EAB中,

AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE,

∴△CAD≌△EAB(SAS),

∴BE=CD;

(3)由(1)、(2)的解題經(jīng)驗可知,過A作等腰直角△ABD

則AD=AB=100米,∠ABD=4

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