第2課時　補(bǔ)集 高一數(shù)學(xué)

1.3集合的基本運(yùn)算第2課時

補(bǔ)集自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑思想方法

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、全集1.方程(x-2)(x2-3)=0的解集在有理數(shù)范圍內(nèi)與在實數(shù)范圍內(nèi)有什么不同?通過這個問題,你能得到什么啟示?提示:方程在有理數(shù)范圍內(nèi)的解集為{2},在實數(shù)范圍內(nèi)的解集為

.在數(shù)學(xué)中,很多問題都是在某一范圍內(nèi)進(jìn)行研究.如本問題在有理數(shù)范圍內(nèi)求解與在實數(shù)范圍內(nèi)求解是不同的.類似這些給定的集合就是全集.2.一般地,如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集,通常記作

U.二、補(bǔ)集1.A={高一(1)班加入排球隊的同學(xué)},B={高一(1)班沒有加入排球隊的同學(xué)},U={高一(1)班的同學(xué)}.(1)集合A,B,U有何關(guān)系?(2)B中的元素與U和A有何關(guān)系?提示:(1)U=A∪B.(2)集合B中的元素在U中,但不在A中.2.

3.(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},則集合?UA=

.

(2)已知全集U為R,集合A={x|-1≤x<2},則?UA=

.

解析:(1)由U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,4},得?UA={3,5,6}.(2)由補(bǔ)集定義可得,集合A={x|-1≤x<2}的補(bǔ)集?UA={x|x<-1,或x≥2}.答案:(1){3,5,6}

(2){x|x<-1,或x≥2}三、全集、補(bǔ)集的性質(zhì)1.借助Venn圖,你能化簡?U(?UA),?UU,?U?嗎?提示:?U(?UA)=A,?UU=?,?U?=U.2.借助Venn圖,你能分析出集合A與?UA之間有什么關(guān)系嗎?提示:A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)若在全集U中研究問題,則集合U沒有補(bǔ)集.(×)(2)集合?BC與?AC相等.(×)(3)集合A與集合A在全集U中的補(bǔ)集沒有公共元素.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

集合的補(bǔ)集運(yùn)算【例1】

(1)已知全集U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},則集合B=

.

(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},則?UA=

.分析:(1)先結(jié)合條件,由補(bǔ)集的性質(zhì)求出全集U,再由補(bǔ)集的定義求集合B,也可借助Venn圖求解.(2)利用補(bǔ)集的定義,借助數(shù)軸的直觀性求解.解析:(1)(方法一)∵A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},∴U={1,2,3,4,5,6,7}.又?UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.(方法二)借助Venn圖,如圖所示.

由圖可知B={2,3,5,7}.(2)將全集U和集合A分別表示在數(shù)軸上,如圖所示.

由補(bǔ)集定義可得?UA={x|x<-3,或x=5}.答案:(1){2,3,5,7}

(2){x|x<-3,或x=5}1.若把(2)中的條件“U={x|x≤5}”換成“U={x|x≥-3}”,集合A不變,求?UA.解:∵U={x|x≥-3},A={x|-3≤x<5},∴?UA={x|x≥5}.2.若把(2)中的條件“U={x|x≤5}”換成“U={x|-6<x<6}”,集合A不變,求?UA.解:∵U={x|-6<x<6},A={x|-3≤x<5},∴?UA={x|-6<x<-3,或5≤x<6}.3.若把(2)中的條件“U={x|x≤5}”換成“U=R”,“A={x|-3≤x<5}”換成“A={x|-3≤x<5,或x=7}”求?UA.解:∵U=R,A={x|-3≤x<5,或x=7},∴?UA={x|x<-3,或5≤x<7,或x>7}.反思感悟求集合補(bǔ)集的方法(1)定義法:當(dāng)集合是由列舉法表示時,可利用定義直接求解.(2)Venn圖法:借助Venn圖可直觀地求出全集及補(bǔ)集.(3)數(shù)軸法:當(dāng)集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時,可借助數(shù)軸求解,但需注意端點(diǎn)問題.探究二

并集、交集與補(bǔ)集的綜合運(yùn)算【例2】

設(shè)全集為R,A={x|-2≤x<3},B={x|x<2,或x>4},求?R(A∪B)及(?RA)∩B.解:把全集R和集合A,B在數(shù)軸上表示如下:

由圖知,A∪B={x|x<3,或x>4},則?R(A∪B)={x|3≤x≤4}.由于?RA={x|x<-2,或x≥3},故(?RA)∩B={x|x<-2,或x>4}.反思感悟交集、并集、補(bǔ)集的綜合運(yùn)算的兩種主要情況(1)對于有限集,先把集合中的元素一一列舉出來,再結(jié)合交集、并集、補(bǔ)集的定義求解,在解答過程中也常常借助于Venn圖.(2)對于連續(xù)的無限集,常借助于數(shù)軸,先把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上,再根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義求解,解答過程中注意端點(diǎn)值的取舍問題.【變式訓(xùn)練1】

已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},則(?UA)∩(?UB)等于(

)A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6}解析:因為?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9},所以(?UA)∩(?UB)={7,9}.答案:B探究三

補(bǔ)集性質(zhì)的運(yùn)用【例3】

已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<3}.(1)若A∪(?RB)=R,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若A??RB,求實數(shù)a的取值范圍.分析:先求?RB→在數(shù)軸上表示集合A,?RB→結(jié)合數(shù)軸求a的取值范圍解:∵B={x|1<x<3},∴?RB={x|x≤1,或x≥3}.(1)要使A∪(?RB)=R,結(jié)合數(shù)軸分析(如圖),

可得a的取值范圍為{a|a≥3}.(2)要使A??RB,結(jié)合數(shù)軸分析(如圖),

可得a的取值范圍為{a|a≤1}.反思感悟由含補(bǔ)集的運(yùn)算求參數(shù)的取值范圍時,常根據(jù)補(bǔ)集的定義及集合之間的關(guān)系,并借助數(shù)軸列出參數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系式求解,具體操作時要注意端點(diǎn)值的“取”與“舍”.【變式訓(xùn)練2】

已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且A??RB,求實數(shù)a的取值范圍.解:?RB={x|x≤1,或x≥2}≠?,∵A??RB,∴分A=?和A≠?兩種情況討論.若A=?,則有2a-2≥a,∴a≥2;即a≤1.綜上所述,a的取值范圍為{a|a≤1或a≥2}.思想方法補(bǔ)集思想在解題中的應(yīng)用補(bǔ)集作為一種思想方法,為我們研究問題開辟了新思路,在正向思維受阻時,改用逆向思維,若直接求A困難,則使用“正難則反”的策略,先求?UA,再由?U(?UA)=A,求A.【典例】

若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有一個元素,求實數(shù)a的取值范圍.審題視角:本題集合A中至多有一個元素與集合A中有兩個元素是對立的,先求集合A中有兩個元素時a的取值