導數和微分的概念產生的歷史

關于導數和微分的概念產生的歷史從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經產生了。公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

第2頁,共24頁，2024年2月25日，星期天到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。第3頁,共24頁，2024年2月25日，星期天牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才，出版它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程給定時間內經過的路程(積分法)。微積分學的創(chuàng)立，極大地推動了數學的發(fā)展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。前面已經提到，一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣。第4頁,共24頁，2024年2月25日，星期天

不幸的事，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發(fā)展整整落后了一百年。其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見，關于發(fā)明優(yōu)先權的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發(fā)展開來。微積分是高等數學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現代科學技術園地里，建立了數不清的豐功偉績。

第5頁,共24頁，2024年2月25日，星期天①公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。②到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。許多著名的數學家、天文學家、物理學家等為解決這些問題提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。③十七世紀下半葉，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。④19世紀初，以柯西為首的法國科學家們，對微積分的理論進行了研究，建立了極限理論，后又經過數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。促使微積分進一步發(fā)展。歸結導數和微分概念產生歷史背景返回第6頁,共24頁，2024年2月25日，星期天導數定義為：當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續(xù)。不連續(xù)的函數一定不可導。導數另一個定義：當x=x0時，f‘(x0)是一個確定的數。這樣，當x變化時，f'(x)便是x的一個函數，我們稱他為f(x)的導函數（derivativefunction）（簡稱導數）。

y=f(x)的導數有時也記作y'，即f'(x)=y'=limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如，導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點的斜率、還可以表示經濟學中的邊際和彈性。以上說的經典導數定義可以認為是反映局部歐氏空間的函數變化。為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場）的變化，導數的概念被推廣為所謂的“聯絡”。有了聯絡，人們就可以研究大范圍的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎概念之一。什么是導數第7頁,共24頁，2024年2月25日，星期天導數是針對連續(xù)且可導的函數而言的，函數在某一點的導數說白了就是函數值在該點的變化率，說形象了就是函數在該點的切線的斜率，切線斜率的大小反映了該點的函數值變化的快慢。你要從極限的角度去理解導數，就是想象在某一點有一個無窮小的區(qū)間包含了該點，然后函數自變量增加或減小一個無窮小的值，相應的函數值也會發(fā)生一定量（看成無窮?。┑母淖?，在這點的導數就反映出函數值隨自變量的改變而改變的快慢能力。第8頁,共24頁，2024年2月25日，星期天我們組員認為導數說白了它其實就是斜率總之：返回第9頁,共24頁，2024年2月25日，星期天在記憶中我們覺得高中求導基本有兩種方法：一·利用limΔ(f(x0+x)-f(x))/Δx二·初等函數的求導法則在記憶中我們覺得高中求導基本有兩種方法：一·利用limΔ(f(x0+x)-f(x))/Δx二·初等函數的求導法則求導基本公式

(tanx)‘=sec^2x (cotx)‘=-csc^2x (sec)’=secxtanx (cscx)’=-cscxcotx (arcsinx)=’1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)=’-[1/(1-x^2)^1/2]; (arctanx)’=1/(1+x^2) (arcotx)=’-[1/(1+x^2)] (x^1/2)’=1/(2x^1/2); [f(x)^1/2]=f(x)/[2f(x)^1/2]

C'=0(C為常數)；

(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q)；

(sinx)'=cosx；

(cosx)'=-sinx；

(e^x)'=e^x；

(a^x)'=a^xIna（ln為自然對數）

(Inx)'=1/x（ln為自然對數)第10頁,共24頁，2024年2月25日，星期天現在新增的求導法則我們小組認為基本和高中是一致的（僅代表本小組意見），新增加了隱函數求導和高階求導在大學期間我們所學的求導方法1·四則運算2·復合函數的求導3·反函數的求導4·隱函數的求導5·商階導數由一個方程F（x，y）所確定的隱函數的求導法就是將方程兩邊分別對x求導，在求出dx/dy即可常用的基本初等函數的n階導數公式有：（x^n）^(n)=n!(e^x)^(n)=e^x(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)返回第11頁,共24頁，2024年2月25日，星期天微分的思想是什么？第12頁,共24頁，2024年2月25日，星期天基本思想是:

把一樣東西無限分割，然后在累加起來

注：在微分學中有兩個基本問題：變化率問題和增量問題。函數在點的導數表示該函數在點處的變化率，它是描述函數變化性態(tài)的一個局部概念。

有時我們需要計算函數，當自變量在處有一個微小改變量時，函數改變量的大小。

往往是的一個較復雜的函數，要精確計算它是困難的，甚至是不可能的；并且我們在理論研究和實際應用中，往往只需要了解的近似值就可以了。因而計算函數改變量的近似值就顯得特別重要。

人們把解決上述問題的出路放在將線性化，用的線性函數來近似代替它，這就是引入微分的基本想法。

第13頁,共24頁，2024年2月25日，星期天①它是自變量增量的線性函數，

②它與函數增量之差：是比更高階的無窮小。

根據上述兩個特點，當時，就可以用微分來近似表示增量，即，當越小，其近似程度就越好。這一近似等式是應用微分思想解決近似計算和誤差估計等實際問題的基礎。微分的幾何意義：函數在點的微分等于曲線在點處的切線縱坐標的增量。微分思想的應用第14頁,共24頁，2024年2月25日，星期天區(qū)別導數與微分第15頁,共24頁，2024年2月25日，星期天兩者都是建立在函數極限概念基礎上。

導數刻劃了函數的瞬時變化率,而微分則表示了函數的瞬時變化量導數和微分的定義不同，概念不同，二者有差別，但也有聯系。(2)導數的定義是函數f(x)的函數增量△y=△f(x+△x)-f(x)與自變量增量△x的比，當自變量增量△x趨于零時的極限，它的幾何意義是曲線y=f(x)的切線的斜率，導數的表示法有dy/dx，也表示為f'(x)。微分的定義是函數f(x)的函數增量△y=△f(x+△x)-f(x)中的一部分，指主要線性部分，微分的表示法就是dy。（3）二者的聯系式是，微分dy=（導數）f'(x)*(自變量的增量△x也就是自變量的微分)dx，這個式子變形一下，就是dy/dx=f'(x)，所以導數也是、也叫微商即微分之商，這就是你說的“導數的這種表示方法，與微分的關聯”。（4）如果是在自學，能提出問題就好。以上只是簡答，還有很豐富的內容，努力吧。返回第16頁,共24頁，2024年2月25日，星期天牛頓在數學上最卓越的成就是創(chuàng)建微積分。他超越前人的功績在於，他將古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統一為兩類普遍的算法－－微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關系，如：面積計算可以看作求切線的逆過程。那時萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報告，更因此引發(fā)了一埸微積分發(fā)明專利權的爭論，直到萊氏去世才停熄。而後世己認定微積是他們同時發(fā)明的。微積分方法上，牛頓所作出的極端重要的貢獻是，他不但清楚地看到，而且大贍地運用了代數所提供的大大優(yōu)越於幾何的方法論。他以代數方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數化。從此，數學逐漸從感覺的學科轉向思維的學科。微積產生的初期，由於還沒有建立起鞏固的理論基礎，被有受別有用心者鉆空子。更因此而引發(fā)了著名的第二次數學危機。這個問題直到十九世紀極限理論建立，才得到解返回第17頁,共24頁，2024年2月25日，星期天德國有一位被世人譽為“萬能大師”的通才，他就是萊布尼茨，他在數學、邏輯學、文學、史學和法學等方面都很有建樹。萊布尼茨生于萊比錫，6歲時喪父，但作為大學倫理學教授的父親給他留下了豐富的藏書，引起了他廣泛的學習興趣。他11歲時自學了拉丁語和希臘語；15歲時因不滿足對古典文學和史學的研究，進入萊比錫大學學習法律，同時對邏輯學和哲學很感興趣。萊布尼茨思想活躍，不盲從，有主見，在20歲時就寫出了《論組合的技巧》的論文，創(chuàng)立了關于“普遍特征”的“通用代數”，即數理邏輯的新思想。萊布尼茨還與英國數學家、大物理學家牛頓分別獨立地創(chuàng)立了微積分學。萊布尼茨是從哲學的角度來研究數學的，他終生奮斗的主要目標是尋求一種可以獲得知識和創(chuàng)造發(fā)明的普遍方法，他的許多數學發(fā)現就是在這種目的的驅使下獲得的。牛頓建立微積分學主要是從物理學、運動學的觀點出發(fā)，而萊布尼茨則從哲學、幾何學的角度去考慮。今天的積分號∫(拉長的字母S)、微分號d都是萊布尼茨首先使用的。值得一提的是，他發(fā)明了能做乘法、除法的機械式計算機(十進制)，并首先系統研究了二進制記數方法，這對于現代計算機的發(fā)明至關重要。1716年11月14日，萊布尼茨卒于漢諾威。返回第18頁,共24頁，2024年2月25日，星期天劉徽（生于公元250年左右），是中國數學史上一個非常偉大的數學家，在世界數學史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數學遺產．

《九章算術》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法．在許多方面：如解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻．他是世界上最早提出十進小數概念的人，并用十進小數來表示無理數的立方根．在代數方面，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了"割圓術"，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.14的結果．劉徽在割圓術中提出的"割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作．

《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目．劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人．劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富．返回第19頁,共24頁，2024年2月25日，星期天高中導數的應用切線的斜率函