新疆烏魯木齊地區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1新疆烏魯木齊地區(qū)2024屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第四象限，故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗，“”是“”不充分條件；又，“”是“”的必要條件.綜上，“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.拋物線過點，則焦點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為拋物線過點，所以，故，故，故焦點坐標(biāo)為，故選：C.5.設(shè)等比數(shù)列的首項為1，公比為，前項和為，若也是等比數(shù)列，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由題意可知，，，，若為常數(shù)列，則，不為等比數(shù)列，與題意不合；若，則，若也是等比數(shù)列，則，.即，解得或（舍去）.故選：．6.設(shè)，函數(shù)的零點分別為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗分別令，則，則分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，分別作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖可知，.故選：A.7.已知角終邊上點坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以角的終邊在第二象限，又因為，且，所以.故選：B.8.設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，則（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由題意得，又是函數(shù)的兩個極值點，則是方程的兩個根，故，又，則，即，則，則，所以，解得，此時.故選：C．二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，均為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，故A正確.對于B，令，其中，而，故為上的奇函數(shù)，故B正確.對于C，，故的圖象過原點，若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱，則的圖象也過原點，但，矛盾，故函數(shù)與的圖象不關(guān)于原點對稱，故C錯誤.對于D，，故D正確，故選：ABD.10.數(shù)學(xué)中有個著名的“角谷猜想”，其中數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，則（）A.時，B.時，在所有的值組成的集合中，任選2個數(shù)都是偶數(shù)的概率為C.時，的所有可能取值組成的集合為D.若所有的值組成的集合有5個元素，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A，當(dāng)時，則，故A正確；對于B，當(dāng)時，則，所以數(shù)列從第項起，是以為周期的周期數(shù)列，所以所有的值組成的集合為，從中任選2個數(shù)都是偶數(shù)的概率為，故B正確；對于C，當(dāng)時，若為奇數(shù)，則，故，若為偶數(shù)，則，故，若，則或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或，若，則或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），由，得或，所以或（舍去），綜上所述，或或或，所以的所有可能取值組成的集合為，故C錯誤；對于D，若所有的值組成的集合有5個元素，則集合中的元素為，若，則，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，此時所有的值組成的集合只有3個元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，此時所有的值組成的集合只有3個元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，此時所有的值組成的集合只有3個元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列從第項起，是以為周期的周期數(shù)列，此時所有的值組成的集合只有4個元素，不符題意；若，則，所以數(shù)列從第項起，是以為周期的周期數(shù)列，此時所有的值組成的集合有5個元素，符合題意，所以若所有的值組成的集合有5個元素，則，故D正確.故選：ABD.11.已知點，直線相交于點，且它們的斜率之和是2．設(shè)動點的軌跡為曲線，則（）A.曲線關(guān)于原點對稱B.的范圍是的范圍是C.曲線與直線無限接近，但永不相交D.曲線上兩動點，其中，則〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，由題意，即，化簡得，即且，對于A，將代入得，即，所以曲線關(guān)于原點對稱，故A正確；對于B，由A選項知，的范圍是且，故B錯誤；對于C，由，得，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以曲線與直線無限接近，但永不相交，故C正確；對于D，要使最小，則曲線在兩點的切線平行，由，得，則，所以，因為，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.已知雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為______.〖答案〗〖解析〗因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以離心率.故〖答案〗為：.13.正方體的棱長為2，內(nèi)壁是光滑的鏡面．一束光線從點射出，在正方體內(nèi)壁經(jīng)平面反射，又經(jīng)平面反射后到達(dá)點，則從點射出的入射光線與平面的夾角的正切值為______.〖答案〗〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則關(guān)于平面的對稱點，而關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)為，設(shè)直線與平面的交點分別為，則入射光線為，設(shè)，則存在實數(shù)，使得，所以，故，故，故，故，因為平面，故與平面所成的角為，而平面，故，故.故〖答案〗為：,14.已知五個點,滿足:，，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，，，由題意設(shè)，則，，設(shè)，如圖，因為求的最小值，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為．故〖答案〗為：.四、解答題15.已知，曲線在處的切線方程為．（1）求；（2）證明．（1）解：由可得，則，所以曲線在點處的切線斜率為，又因為，所以切線方程為：，即.所以.（2）證明：要證明，只要證，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，所以，所以.16.如圖，在矩形中，，將沿對角線進(jìn)行翻折，得到三棱錐是中點，是中點，在線段上，且平面．（1）求；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）如圖，取的中點，連接，因為是中點，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以；（2）因為平面，所以平面，又平面，所以，則，則，所以，如圖，過點作于點，則，，如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因為軸平面，則可取為平面的一條法向量，故，所以平面與平面的夾角的余弦值為．17.某果園產(chǎn)蘋果，其中一堆蘋果中大果與小果的比例為．（1）若選擇分層抽樣，抽出100個蘋果，其中大果的單果平均重量為240克，方差為300，小果的單果平均重量為190克，方差為320，試估計果園蘋果的單果平均重量、方差；（2）現(xiàn)用一臺分選機進(jìn)行篩選，已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為，經(jīng)過分選機篩選后，現(xiàn)從篩選出來的“大果”里隨機抽取一個，問這個“大果”是真的大果的概率．解：（1）個蘋果中，大果的個數(shù)為，小果的個數(shù)為，設(shè)大果的單果平均重量為，方差為，小果的單果平均重量為，方差為，則，，，，則100個蘋果的平均重量為，100個蘋果的方差為：.故估計果園蘋果的單果平均重量為、方差為；（2）記事件放入水果分選機的蘋果為大果，事件放入水果分選機的蘋果為小果，記事件水果分選機篩選的蘋果為“大果”，則“大果是真大果”為，則，，，，由全概率公式可得：，，因此，.18.在中,點分別為的中點,與交于點，．（1）若，求中線的長；（2）若是銳角三角形，求四邊形面積的取值范圍．解：（1）因為點為的中點，所以，則，即，即，解得：或（舍去），又因為，，即，所以.（2）,,因為是銳角三角形，所以是銳角，即，即，所以，得，是銳角，即，即，所以，得，是銳角，即，即，所以，得，所以，綜上：，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點之間的“距離”為，我們把到兩定點的“距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“橢圓”．（1）求“橢圓”的方程；（2）根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；（3）設(shè),作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點為，過作直線交于兩點，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．（1）解：設(shè)“橢圓”上任意一點為，則，即，即，所以“橢圓”的方程為；（2）解：由方程，得，因為，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“橢圓”范圍為，，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱，將點代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱，將點代入得，，