山東省臨沂市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

山東省臨沂市20232024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的一個(gè)方向向量為，則的傾斜角為（）A.0 B. C. D.2.已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且，用表示，則（）A. B. C. D.3.已知，若點(diǎn)A,B,C共線，則（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰:“陰陽(yáng)之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂,遂千百五二十歲”，即1遂為1520歲.某療養(yǎng)中心恰有57人，他們的年齡(都為正整數(shù))依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為三遂，則最年輕者的年齡為（）A.52 B.54 C.58 D.606.已知點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與線段AB相交，則與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離 C.相交或相切 D.相切或相離7.一個(gè)小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，其中(單位:)是小球相對(duì)于平衡點(diǎn)的位移，(單位:)為運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則小球的瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大時(shí)，（）A.1 B. C. D.8.已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B（不重合），且A,B在以點(diǎn)為圓心的圓上，則的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題:本共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A B.C. D.10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為，滿足，且且，則（）A.是等差數(shù)列 B.時(shí)，的最大值為26C.若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 D.若，則11.已知曲線的方程是.則（）A.若是雙曲線，則或B.若，則表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.若，則的離心率為D.若是離心率為雙曲線，則的焦點(diǎn)到其漸近線距離為112.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M,N分別為棱的中點(diǎn)，則（）A. B.點(diǎn)到平面距離為C.平面與平面的夾角為 D.直線與平面所成的角為三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與互相垂直，則____________.14.已知空間向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)是____________.15.已知橢圓的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，則的斜率為_(kāi)___________.16.已知數(shù)列中，，若函數(shù)導(dǎo)數(shù)為，則____________.四、解答題:本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的值;（2）若過(guò)點(diǎn)直線與曲線相切，求的方程.18.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.已知以點(diǎn)為圓心的圓與圓相外切.（1）求圓的方程;（2）若直線與圓相交于，求的最小值及此時(shí)的方程.20.如圖，在直三棱柱中，是AB的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）在線段上找一點(diǎn)，使得平面;（2）在（1）的條件下，求PQ與平面的距離.21.已知為等差數(shù)列，，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）求.22.歐幾里德生活的時(shí)期，人們就發(fā)現(xiàn)橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過(guò)該橢圓的另一焦點(diǎn).現(xiàn)有橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，從的左焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線，經(jīng)內(nèi)壁上一點(diǎn)反射后恰好與軸垂直，且.（1）求的方程;（2）設(shè)點(diǎn)，若斜率不為0的直線與交于點(diǎn)均異于點(diǎn)，且在以MN為直徑的圓上，求到距離的最大值.山東省臨沂市20232024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的一個(gè)方向向量為，則的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線的方向向量求得直線的斜率，由斜率即可求得傾斜角.【詳解】由題意，，且，所以.故選：B2.已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且，用表示，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何體，結(jié)合向量的線性運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】故選：D3.已知，若點(diǎn)A,B,C共線，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，即.【詳解】由題意可知，，即，解得：.故選：B4.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式得到，從而得到，分兩種情況，求出答案.【詳解】由焦半徑公式可得，解得，故拋物線，故，當(dāng)時(shí)，，直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，，直線的斜率為，綜上，直線的斜率為.故選：D5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰:“陰陽(yáng)之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂,遂千百五二十歲”，即1遂為1520歲.某療養(yǎng)中心恰有57人，他們的年齡(都為正整數(shù))依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為三遂，則最年輕者的年齡為（）A.52 B.54 C.58 D.60【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)以及求和公式即可得解.【詳解】將他們的年齡從小到大依次排列為，所以，，解得.故選：A.6.已知點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與線段AB相交，則與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離 C.相交或相切 D.相切或相離【答案】D【解析】【分析】求得直線，的斜率，進(jìn)而可求直線的方程，依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】直線的斜率為，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與線段相交，直線的斜率的范圍為,,，直線的方程為，即，由圓，可得圓心，，可知圓心在直線的右側(cè)，且圓心的直線的方程的距離為，直線的方程為，即，由圓，可得圓心，，圓心的直線的方程的距離為，故直線與圓相切或相離．故選：D．7.一個(gè)小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，其中(單位:)是小球相對(duì)于平衡點(diǎn)的位移，(單位:)為運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則小球的瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大時(shí)，（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)瞬時(shí)速度最大，,所以時(shí)，此時(shí)瞬時(shí)速度首次達(dá)到最大，故選：C8.已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B（不重合），且A,B在以點(diǎn)為圓心的圓上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，以及中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，列式求解.【詳解】聯(lián)立，得；聯(lián)立，得；不妨設(shè)，，則線段的中點(diǎn)為，由題意可知，，整理為，所以雙曲線為等軸雙曲線，離心率.故選：B二、選擇題:本共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】，所以A錯(cuò)誤；，所以B正確；，所以C正確；，所以D錯(cuò)誤.故選：BC10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為，滿足，且且，則（）A.是等差數(shù)列 B.時(shí)，的最大值為26C.若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，首先得，根據(jù)之間的關(guān)系得，由此即可判斷；對(duì)于B，令，解不等式即可判斷；對(duì)于C，由舉出反例即可判斷；對(duì)于D，代入即可驗(yàn)算.【詳解】對(duì)于A，由題意，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，故，故A正確；對(duì)于B，令，解得，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：ABD.11.已知曲線的方程是.則（）A.若是雙曲線，則或B.若，則表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.若，則的離心率為D.若是離心率為的雙曲線，則的焦點(diǎn)到其漸近線距離為1【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)是雙曲線得到不等式，求出；B選項(xiàng)，，故表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；C選項(xiàng)，求出，求出離心率；D選項(xiàng)，根據(jù)離心率得到方程，求出，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，若是雙曲線，則，解得，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，，則，所以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B正確；C選項(xiàng)，若，則，則，的離心率為，C正確；D選項(xiàng)，若是離心率為的雙曲線，，故，解得，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，焦點(diǎn)到其漸近線距離為，D正確.故選：BCD12.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M,N分別為棱的中點(diǎn)，則（）A. B.點(diǎn)到平面的距離為C.平面與平面的夾角為 D.直線與平面所成的角為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法逐項(xiàng)分析即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，由，可知與不平行，故A錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角為，故C正確；設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角為，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量來(lái)解決線面角，面面角和點(diǎn)到直線的距離.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與互相垂直，則____________.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出.【詳解】由題意得，解得.故答案為：14.已知空間向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)是____________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量投影向量公式計(jì)算出答案.【詳解】，，，故在上的投影向量的坐標(biāo).故答案為：15.已知橢圓的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，則的斜率為_(kāi)___________.【答案】##0.25【解析】【分析】根據(jù)橢圓的離心率可得，設(shè)，利用點(diǎn)差法，結(jié)合直線與的交點(diǎn)恰好為線段AB的中點(diǎn)，即可求得答案.【詳解】由題意知橢圓離心率為，故，，設(shè)，由題意知l的斜率存在，則，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為，直線的斜率，由，兩式相減得，即得，即，故，故答案為：16.已知數(shù)列中，，若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則____________.【答案】64【解析】【分析】降次作商得到，并驗(yàn)證時(shí)的情況，設(shè)，則，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，最后代入數(shù)據(jù)即可.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)橐矟M足，所以.令，則，，所以.故答案為：64.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而得解.四、解答題:本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的值;（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切，求的方程.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求出，即可求出切線方程.【小問(wèn)1詳解】由題可得，由的斜率為1，得，即.小問(wèn)2詳解】由(1)知，，設(shè)切點(diǎn)為，則，又直線過(guò)點(diǎn)，整理得，，直線的方程為，即.18.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由等比數(shù)列性質(zhì)以及基本量的計(jì)算即可求解.（2）由等比數(shù)列求和公式以及錯(cuò)位相減法即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為.由,得,,解得,由,得,解得,的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】,，①，②①②得，，.19.已知以點(diǎn)為圓心的圓與圓相外切.（1）求圓方程;（2）若直線與圓相交于，求的最小值及此時(shí)的方程.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)兩圓外切求出圓的半徑可得答案；（2）判斷出點(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)弦最小，利用求出，再由求出直線的方程.【小問(wèn)1詳解】由已知得圓的圓心坐標(biāo)為,半徑，圓的半徑，圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】由已知得直線過(guò)定點(diǎn)，，在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，弦最小，此時(shí)，又，，當(dāng)最小時(shí)，，，直線的方程為，即.20.如圖，在直三棱柱中，是AB的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）在線段上找一點(diǎn)，使得平面;（2）在（1）的條件下，求PQ與平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）首先以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，并求平面的法向量，并利用參數(shù)表示向量，利用向量，即可證明線面平行；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用點(diǎn)到平面的距離的向量公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)，則，若平面，則，從而，即，解得，，當(dāng)為線段上靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，平面;【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，到平面的距離為.21.已知為等差數(shù)列，，記分別為數(shù)列的前