考研數(shù)學二(解答題)模擬試卷9(題后含答案及解析)

考研數(shù)學二（解答題）模擬試卷9(題后含答案及解析)題型有：1.1．正確答案：涉及知識點：高等數(shù)學2．設A為n階實對稱矩陣，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代數(shù)余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj．(1)記X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)寫成矩陣形式，并證明二次型f(X)的矩陣為A-1；(2)二次型g(x)=xTAX與f(X)的規(guī)范形是否相同?說明理由．正確答案：(1)f(X)=(x1，x2，…，xn)因秩(A)=n，故A可逆，且A-1=A*，從而(A-1)T=(AT)-1=A-1，故A-1也是實對稱矩陣，因此二次型f(X)的矩陣為(2)因為(A-1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，所以A與A-1合同，于是g(X)與f(x)有相同的規(guī)范形．涉及知識點：二次型3．設函數(shù)f(x)在x=2的某鄰域內可導，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，計算f(n)(2)．正確答案：由f’(x)=ef(x)兩邊求導數(shù)得f”(x)=ef(x)．f’(x)=e2f(x)，兩邊再求導數(shù)得f”‘(x)=e2f(x)2f’(x)=2e3f(x)，兩邊再求導數(shù)得f(4)(x)=2e3f(x)3f’(x)=3!e4f(x)，由以上規(guī)律可得n階導數(shù)f(n)(x)=(n一1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n—1)!en．涉及知識點：一元函數(shù)微分學4．求下列不定積分：(Ⅰ)∫secχdχ；正確答案：涉及知識點：一元函數(shù)積分概念、計算及應用5．設f(x)在[a，b]上可導，且f’+(a)＞0，f’-(b)＞0，f(a)≥f(b)，求證：f’(x)在(a，b)至少有兩個零點．正確答案：f(x)在[a，b]的連續(xù)性，保證在[a，b]上f(x)至少達到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，若f(x)的最大值在區(qū)間端點達到，則必在x=a達到．由f(x)的可導性，必有f’+(a)≤0，條件f’+(a)＞0表明f(x)的最大值不能在端點達到．同理可證f(x)的最小值也不能在端點x=a或x=b達到．因此，f(x)在[a，b]的最大值與最小值必在開區(qū)間(a，b)達到，于是最大值點與最小值點均為極值點．又f(x)在[a，b]可導，在極值點處f’(x)=0，所以f’(x)在(a，b)至少有兩個零點．涉及知識點：微分中值定理及其應用6．求｜z｜在約束條件下的最大值與最小值．正確答案：｜z｜的最值點與z2的最值點一致，用拉格朗日乘數(shù)法，作F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2一2x2)+μ(x+3y+3z一5)．令涉及知識點：多元函數(shù)微積分學7．設α1，α2，β1，β2為三維列向量組，且α1，α2與β1，β2都線性無關．(1)證明：至少存在一個非零向量可同時由α1，α2和β1，β2線性表不；(2)設α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由兩組向量同時線性表示的向量．正確答案：(1)因為α1，α2，β1，β2線性相關，所以存在不全為零的常數(shù)k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2．令γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2，因為α1，α2與β1，β2都線性無關，所以k1，k2及l(fā)1，l2都不全為零，所以γ≠0．(2)令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，A=(α1，α2，β1，β2)=所以γ=kα1-3kα2=-kβ1+0β2．涉及知識點：線性代數(shù)8．求正常數(shù)a、b，使正確答案：a=2，b=1涉及知識點：高等數(shù)學9．求y”一y=e|x|的通解．正確答案：自由項帶絕對值，為分段函數(shù)，所以應將該方程按區(qū)間(一∞，0)∪[0，+∞)分成兩個方程，分別求解．由于y”=y+e|x|在x=0處具有二階連續(xù)導數(shù)，所以求出解之后，在x=0處拼接成二階導數(shù)連續(xù)，便得原方程的通解．當x≥0時，方程為y”一y=ex，求得通解y=C1ex+C2e一x+xex．當x＜0時，方程為y”一y=e一x，求得通解y=C3ex+C4e一x一xe一x．因為原方程的解y(x)在x=0處連續(xù)且y’(x)也連續(xù)，據(jù)此，有其中C1，C1為任意常數(shù)．此y在x=0處連續(xù)且y’連續(xù)．又因y”=y+e|x|，所以在x=0處y”亦連續(xù)，即是通解．涉及知識點：微分方程10．設X1，X2分別為A的屬于不同特征值λ1，λ2的特征向量．證明：X1+X2不是A的特征向量．正確答案：反證法不妨設X1+X2是A的屬于特征值λ的特征向量，則有A(X1+X2)=λ(X1+X2)，因為AX1=λ1X1，AX2=λ1X2，所以(λ1-λ)X1+(λ2-λ)X2=0，而X1，X2線性無關，于是λ1=λ2=λ矛盾，故X1+X2不是A的特征向量．涉及知識點：線性代數(shù)部分11．設有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ(x)=試求在(一∞，+∞)內的連續(xù)函數(shù)y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)內都滿足所給方程，且滿足條件y(0)=0．正確答案：涉及知識點：高等數(shù)學12．An×n(α1，α2，…，αn)，Bn×n＝(α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1)，當r(A)＝n時，方程組BX＝0是否有非零解?正確答案：B＝(α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1)＝(α1，α2，…，αn)由r(A)＝n可知｜A｜≠0，而｜B｜＝｜A｜＝｜A｜[1＋(－1)n+1]，當n為奇數(shù)時，｜B｜≠0，方程組BX＝0只有零解；當n為偶數(shù)時，｜B｜＝0，方程組BX＝0有非零解．涉及知識點：線性方程組13．已知4階方陣A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均為4維列向量，其中α2，α3，α4線性無關，α1=2α2一α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求線性方程組AX=β的通解．正確答案：由α1=2α2一α3及α2，α3，α4線性無關知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，且對應齊次方程AX=0有通解k[1，一2，1，0]T，又β=α1+α2+α3+α4，即[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4=[α1，α2，α3，α4]故非齊次方程有特解η=[1，1，1，1]T，故方程組的通解為k[1，一2，1，0]T+[1，1，1，1]T．涉及知識點：線性代數(shù)14．已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩為2．(1)求a．(2)求作正交變換X=QY，把f(x1，x2，x3)化為標準形．(3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．正確答案：(1)此二次型的矩陣為則r(A)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=-8a，得a=0．(2)｜λE-A｜==λ(λ-2)2，得A的特征值為2，2，0．對特征值2求兩個正交的單位特征向量：得(A-2E)X=0的同解方程組x1-x2=0，求出基礎解系η1=(0，0，1)v，η2=(1，1，0)T．它們正交，單位化：α1=η1，α2=方程x1-x2=0的系數(shù)向量(1，-1，0)T和η1，η2都正交，是屬于特征值0的一個特征向量，單位化得α3=作正交矩陣Q=(α1，α2，α3)，則QTAQ=作正交變換X=QY，則f化為Y的二次型f=2y12+2y22．(3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32．于是f(x1，x2，x3)=0求得通解為：，c任意．涉及知識點：二次型15．設f’(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)≠0，求正確答案：由涉及知識點：函數(shù)、極限、連續(xù)16．求下列不定積分：正確答案：(1)令則x=1一t2，dx=一2tdt，于是(2)涉及知識點：一元函數(shù)積分學設X～b(25，p1)，Y～b