2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（甘肅卷）（全解全析）

年中考第一次模擬考試（甘肅卷）數(shù)學(xué)·全解全析一．選擇題1．下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)3÷a＝a3 C．a(chǎn)﹣（b﹣a）＝2a﹣b D．（﹣a）3＝﹣a3【解答】解：A、a2?a3＝a5，故A錯(cuò)誤；B、a3÷a＝a2，故B錯(cuò)誤；C、a﹣（b﹣a）＝2a﹣b，故C正確；D、（﹣a）3＝﹣a3，故D錯(cuò)誤．故選：C．2．在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形；B、不是軸對(duì)稱圖形；C、是軸對(duì)稱圖形；D、不是軸對(duì)稱圖形；故選：C．3．沒(méi)有穩(wěn)固的國(guó)防，就沒(méi)有人民的安寧，2023年，中國(guó)國(guó)防預(yù)算約為15537億元，將15537億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.5537×1012 B．15.537×1011 C．1.5537×1013 D．0.15537×1013【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：因?yàn)?5537億＝1553700000000，所以15537億＝1.5537×1012．故選：A．4．用配方法解方程x2﹣4x﹣22＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）A．（x﹣2）2＝24 B．（x+2）2＝25 C．（x﹣2）2＝26 D．（x﹣2）2＝27【分析】把常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：x2﹣4x﹣22＝0，移項(xiàng)得：x2﹣4x＝22，配方得：x2﹣4x+4＝22+4，整理得：（x﹣2）2＝26，故選：C．5．實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）A．|b|＞|a| B．a(chǎn)+c＞0 C．a(chǎn)c＞0 D．b﹣c＞0【解答】解：觀察數(shù)軸可知：c＜b＜0＜a，且|b|＜|a|＜|c|；所以|b|＞|a|，a+c＞0，ac＞0錯(cuò)誤；b﹣c＞0正確；故選：D．6．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．27° B．108° C．116° D．128°【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故選：B．7．如圖，△OAB與△OA′B′位似，其中A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，A′，B′均在圖中正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，若線段AB上有一點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P在A′B′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（）A．（） B．（m，n） C．（2m，2n） D．（2n，2m）【解答】解：∵△ABO擴(kuò)大后變?yōu)椤鰽′B′O，其中A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′點(diǎn)A、B、A′、B′均在圖中在格點(diǎn)上，即A點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，2），A′點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4），∴線段AB上有一點(diǎn)P（m，n），則點(diǎn)P在A′B′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為：（2m，2n）．故選：C．8．已知反比例函數(shù)y＝（k≠0），且在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則下列點(diǎn)可能在這個(gè)函數(shù)圖象上的為（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y＝（k≠0），且在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，所以k＜0，A．2×3＝6＞0，故本選項(xiàng)不符合題意；B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本選項(xiàng)符合題意；C．3×0＝0，故本選項(xiàng)不符合題意；D．﹣3×0＝0，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．9．下面的三個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量：①正方形的周長(zhǎng)y與邊長(zhǎng)x；②汽車以30千米/時(shí)的速度行駛，它的路程y與時(shí)間x；③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y與放水時(shí)間x．其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】（1）根據(jù)正方形的周長(zhǎng)公式判斷即可；（2）根據(jù)“路程＝速度×?xí)r間”判斷即可；（3）根據(jù)“水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x”判斷即可．【解答】解：正方形的周長(zhǎng)y與邊長(zhǎng)x的關(guān)系式為y＝4x，故①符合題意；汽車以30千米/時(shí)的速度行駛，它的路程y與時(shí)間x的關(guān)系式為y＝30x，故②符合題意；水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y與放水時(shí)間d關(guān)系式為：水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x，故③不符合題意；所以變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是①②．故選：A．10．如圖，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→D→C方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A→B→C方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△APQ的面積為S（cm2），下列能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：由題意得：AP＝t，AQ＝2t，①當(dāng)0≤t≤4時(shí)，Q在邊AB上，P在邊AD上，如圖1，S△APQ＝AP?AQ＝＝t2，故選項(xiàng)C、D不正確；②當(dāng)4＜t≤6時(shí)，Q在邊BC上，P在邊AD上，如圖2，S△APQ＝AP?AB＝＝4t，故選項(xiàng)B不正確；故選：A．二．填空題11．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x＞y，則k的取值范圍為．【解答】解：∵，∴，∵x＞y，∴2k+3＞﹣k﹣2，解得k＞﹣，故答案為：k＞﹣．12．因式分解：4a2b﹣b＝．【解答】解：4a2b﹣b＝b（4a2﹣1）＝b（2a+1）（2a﹣1），故答案為：b（2a+1）（2a﹣1）．13．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)＝﹣2b．【分析】首先根據(jù)數(shù)軸確定a和b的符號(hào)以及a+b的符號(hào)，然后利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，則a+b＜0．則原式＝﹣b﹣（a+b）+a＝﹣b﹣a﹣b+a＝﹣2b．故答案是：﹣2b．14．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則sin∠ACB的值是．【分析】連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，由圓周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案為：．15．如圖，將長(zhǎng)方形紙片按如圖所示折疊，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為70°．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，∠1＝∠3＝55°，∵長(zhǎng)方形的上下對(duì)應(yīng)的邊平行，∴∠2+（∠1+∠3）＝180°，∴∠2＝70°，故答案為：70．16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．【解答】解：連接CE，∵∠A＝30°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，∵CE＝CB，∴△CBE為等邊三角形，∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，∴S扇形CBE＝＝π，∵S△BCE＝BC2＝，∴陰影部分的面積為π﹣．故答案為：π﹣．∴陰影部分的面積＝S△ABC﹣S扇形CDE﹣S△BCE＝×2×2﹣﹣××2＝﹣，故答案為：﹣．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點(diǎn)E在邊BC上，DF⊥AE，垂足為F．若DF＝6，則線段EF的長(zhǎng)為．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴AF＝＝＝8，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3，故答案為：3．18．觀察下列關(guān)于x的單項(xiàng)式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，按照上述規(guī)律，第2021個(gè)單項(xiàng)式是4041x2021．【分析】根據(jù)題目中的單項(xiàng)式，可以發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式的系數(shù)是從1開(kāi)始的一些連續(xù)的奇數(shù)，字母的指數(shù)冪是從1開(kāi)始的一些連續(xù)的整數(shù)，從而可以寫(xiě)出第n個(gè)單項(xiàng)式，然后即可得到第2021個(gè)單項(xiàng)式．【解答】解：∵關(guān)于x的單項(xiàng)式為：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，∴第n個(gè)單項(xiàng)式為（2n﹣1）xn，∴當(dāng)n＝2021時(shí)，這個(gè)單項(xiàng)式是（2×2021﹣1）x2021＝4041x2021，故答案為：4041x2021．解答題19.計(jì)算：【解答】解：（1）＝﹣3+1﹣4×+2＝﹣3+1﹣2+2＝﹣2；20．先化簡(jiǎn)：，再給x在﹣2，0，2，4中取一個(gè)合適的值代入求值．【解答】解：原式＝[﹣]?＝?＝，∵x（x﹣2）≠0且x﹣4≠0且x≠0，∴x≠0且x≠2且x≠4，則x＝﹣2，∴原式＝＝．21．【本小題滿分8分】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC，且AC＝2AB．請(qǐng)用尺規(guī)完成基本作圖：作出∠BAC的角平分線與BC交于點(diǎn)E．連接BD交AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，猜想線段BF和線段DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（尺規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【解答】解：如圖：猜想：DF＝3BF，證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AC＝2AB，∴AO＝AB．∵∠BAC的角平分線與BO交于點(diǎn)F，∴點(diǎn)F是BO的中點(diǎn)，即BF＝FO，∴OB＝OD＝2BF，∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．22．【本小題滿分8分】為測(cè)量圖中的鐵塔EF的高度，小明利用自制的測(cè)角儀在C點(diǎn)測(cè)得塔頂E的仰角為45°，從點(diǎn)A向正前方行進(jìn)20米到B處，再用測(cè)角儀在D點(diǎn)測(cè)得塔頂E的仰角為60°．已知測(cè)角儀AC的高度為1.5米，求鐵塔EF的高度（結(jié)果精確到1米，≈1.73）．【解答】解：如圖，作CG⊥EF于點(diǎn)G，則D在CG上，四邊形ACGF為矩形，GF＝AC＝1.5米．設(shè)EG＝x米，則CG＝x米，DG＝（x﹣20）米，在Rt△EDG中，＝tan60°，∴＝，解得x＝30+10，∴EF＝EG+GF＝30+10+1.5≈49（米）．答：鐵塔EF的高度約為49米．23．依據(jù)闖關(guān)游戲規(guī)則，請(qǐng)你探究“闖關(guān)游戲”的奧秘．闖關(guān)游戲規(guī)則：如圖所示的面板上，有左右兩組開(kāi)關(guān)按鈕，每組中的兩個(gè)按鈕均分別控制一個(gè)燈泡和一個(gè)發(fā)音裝置，同時(shí)按下兩組中各一個(gè)按鈕，當(dāng)兩個(gè)燈泡都亮?xí)r闖關(guān)成功；當(dāng)按錯(cuò)一個(gè)按鈕時(shí)，發(fā)音裝置就會(huì)發(fā)出“闖關(guān)失敗”的聲音．（1）請(qǐng)寫(xiě)出所有可能闖關(guān)情況；（2）求出闖關(guān)成功的可能性．【分析】用列舉法列舉出可能闖關(guān)的所有情況，再進(jìn)行比較即可．【解答】解：（1）所有可能闖關(guān)的情況列表如下：121（1，1）（1，2）2（2，1）（2，2）因此，共有4種等可能情況．（2）闖關(guān)成功的可能性為．因此，共有4種等可能情況．（2）闖關(guān)成功的可能性為．因此，共有4種等可能情況．（2）闖關(guān)成功的可能性為．因此，共有4種等可能情況．（2）闖關(guān)成功的可能性為．24．某校為了解七、八年級(jí)學(xué)生對(duì)“防新冠疫情”安全知識(shí)的掌握情況，從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并對(duì)成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析．部分信息如下：a七年級(jí)成績(jī)頻數(shù)分布直方圖年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)七76.9m八79.279.5b．七年級(jí)成績(jī)?cè)?0≤x＜80這一組的是：7072747576767777777879c．七、八年級(jí)成績(jī)平均數(shù)、中位數(shù)如表：根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）在這次測(cè)試中，七年級(jí)在80分以上（含80分）的人數(shù)有多少？（2）表中m的值為多少？（3）在這次測(cè)試中，七年級(jí)學(xué)生甲與八年級(jí)學(xué)生乙的成績(jī)都是78分，請(qǐng)判斷兩位學(xué)生在各自年級(jí)的排名誰(shuí)更靠前，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得七年級(jí)在80分以上（含80分）的人數(shù)；（2）根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可；（3）根據(jù)中位數(shù)的意義求解即可．【解答】解：（1）在這次測(cè)試中，七年級(jí)在80分以上（含80分）的人數(shù)有15+8＝23（人）；（2）七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)m＝＝77.5（分）；（3）七年級(jí)學(xué)生甲的成績(jī)更靠前，因?yàn)槠吣昙?jí)學(xué)生甲的成績(jī)大于其中位數(shù)．25．一次函數(shù)y＝﹣x﹣2的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A（﹣3，m），B（n，﹣3）兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出使一次函數(shù)值不大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍．（3）若動(dòng)點(diǎn)E在y軸上，且S△EBA＝6，求動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線表達(dá)式，求出m，得到具體坐標(biāo)，再將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式，求出k值可；（2）求出點(diǎn)B坐標(biāo)，結(jié)合圖像可得結(jié)果；（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，a），求出直線AB與y軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)S△EBA＝6，列出方程，解之可得．【解答】解：（1）將A（﹣3，m）代入y＝﹣x﹣2得：m＝﹣（﹣3）﹣2＝1，∴A（﹣3，1），代入中，得：k＝（﹣3）×1＝﹣3，∴；（2）將B（n，﹣3）代入y＝﹣x﹣2中，得﹣3＝﹣n﹣2，解得：n＝1，∴B（1，﹣3），由圖像可知：當(dāng)一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像下方時(shí)，對(duì)應(yīng)的x為﹣3≤x＜0或x＞1，∴使一次函數(shù)值不大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍是﹣3≤x＜0或x≥1．（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，a），直線AB與y軸交于點(diǎn)F，在y＝﹣x﹣2中，令x＝0，則y＝﹣2，∴F（0，﹣2），∵S△EBA＝6，∴，即，解得：a＝﹣5或a＝1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣5）或（0，1）．26．【本小題滿分10分】如圖，AB是⊙O的直徑，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接OP，CD．（1）求證：OP⊥CD；（2）連接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的長(zhǎng)．【解答】解：（1）連接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切線，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL），∴∠DOP＝∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD；（2）如圖，連接OD，OC，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠OCB＝∠CBA＝70°，∠ODA＝∠OAD＝50°，∴∠BOC＝40°，∠AOD＝80°，∴∠COD＝180°﹣∠BOC﹣∠AOD＝60°，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，∵OD＝OC，∴△COD是等邊三角形，由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．27．【本小題滿分10分】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對(duì)角線AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE，若AB＝3，BD＝6，求OE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠CAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∴CD＝AB，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AD＝AB，∴?ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝BD＝3，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝OA＝OC，在Rt△AOB中，AB＝3，OB＝3，∴OA＝＝＝6，∴OE＝OA＝6．28．(12分)如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），連接AB，BC，對(duì)稱軸PD交AB與點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，試探究：線段BC上是否存在點(diǎn)M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸PD上一點(diǎn)，若以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q縱坐標(biāo)n的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求出A（4，0），可得拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝，證明∠ACB＝∠ABC，△MCO∽△EBM，可得MC?BM＝BE?CO，求出MC，即可求解；（3）當(dāng)∠BAQ為直角時(shí)，求出直線BQ的表達(dá)式為y＝x+3，得到n＝5；當(dāng)∠BQA為直角時(shí)，利用解直角三角形的方法求出n＝；當(dāng)∠BAQ為直角時(shí)，同理可得，n＝﹣，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）由題意得：，解得，