動態(tài)幾何問題分類解析

關(guān)于動態(tài)幾何問題分類解析

圖形中的點(diǎn)、線的運(yùn)動，構(gòu)成了數(shù)學(xué)中的一個(gè)新問題——動態(tài)幾何。它通常分為三種類型：動點(diǎn)問題、動線問題、動形問題。這類試題以運(yùn)動的點(diǎn)、線段、變化的角、圖形的面積為基本的條件，給出一個(gè)或多個(gè)變量，要求確定變量與其它量之間的關(guān)系，或變量在一定條件下為定量時(shí)，進(jìn)行相關(guān)的幾何計(jì)算、證明或判斷。第2頁,共28頁，2024年2月25日，星期天．

，

在解這類題時(shí)，要充分發(fā)揮空間想象的能力，往往不要被“動”所迷惑，在運(yùn)動中尋求一般與特殊位置關(guān)系；在“動”中求“靜”，化“動”為“靜”，抓住它運(yùn)動中的某一瞬間，通過探索、歸納、猜想，正確分析變量與其它量之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立變量與其它量之間的數(shù)量關(guān)系。再充分利用直觀圖形，并建立方程、函數(shù)模型或不等式模型，結(jié)合分類討論等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解答。第3頁,共28頁，2024年2月25日，星期天1.如圖，A是半徑為12cm的⊙O上的定點(diǎn)，動點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P回到A地立即停止運(yùn)動．（1）如果，求點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間；（2）如果點(diǎn)B是OA延長線上的一點(diǎn)，AB=OA，那么當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為2s時(shí)，判斷直線BP與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．ＡＰＢＯ動點(diǎn)與分類討論相結(jié)合第4頁,共28頁，2024年2月25日，星期天解（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的或．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為周長的時(shí)，ＡＰＢＯ⊙O⊙O解得當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動的路程為周長的時(shí)，解得．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為或．

第5頁,共28頁，2024年2月25日，星期天⊙O連接OP、PA

．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為2s時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為時(shí)，直線與相切．

理由如下：

︵，第6頁,共28頁，2024年2月25日，星期天．

，P綜上：2S或者10S相切思維拓展：在運(yùn)動過程中，什么時(shí)間BP和圓也相切？第7頁,共28頁，2024年2月25日，星期天再體會：在“動”中求“靜”，化“動”為“靜”，抓住它運(yùn)動中的某一瞬間第8頁,共28頁，2024年2月25日，星期天例1：已知：如圖：△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，CB=4cm，兩個(gè)動點(diǎn)P、Q

分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)按順時(shí)針方向沿△ABC的邊運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動即停止，點(diǎn)P、Q的運(yùn)動速度分別為1cm/s、

2cm/s。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t(s)二、動點(diǎn)與列函數(shù)關(guān)系式相結(jié)合第9頁,共28頁，2024年2月25日，星期天(2).當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時(shí)，陰影部分的形狀隨之變化，設(shè)PQ與△ABC圍成陰影部分面積為S（cm2），求出S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；

（3）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動的過程中，陰影部分面積S有最大值嗎？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由。(1).當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，以P、

C、

Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積（圖中的陰影部分）等于2cm2；第10頁,共28頁，2024年2月25日，星期天解：（1）解得(1)當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，以P、

C、

Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積（圖中的陰影部分）等于2cm2；第11頁,共28頁，2024年2月25日，星期天找界點(diǎn)，分情況計(jì)算①當(dāng)0＜t≤2時(shí),即Q在BC上時(shí)②當(dāng)2＜t≤3時(shí)即Q在BA上時(shí)③當(dāng)3＜t≤4.5時(shí)第12頁,共28頁，2024年2月25日，星期天解：（2）(2).當(dāng)點(diǎn)P、

Q運(yùn)動時(shí)，陰影部分的形狀隨之變化，設(shè)PQ與△ABC圍成陰影部分面積為S（cm2），求出S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；①當(dāng)0＜t≤2時(shí),即Q在BC上時(shí)第13頁,共28頁，2024年2月25日，星期天②當(dāng)2＜t≤3時(shí)即P在AC上Q在BA上時(shí)第14頁,共28頁，2024年2月25日，星期天解：（2）③當(dāng)3＜t≤4.5時(shí)，P在BC上，Q在AB上第15頁,共28頁，2024年2月25日，星期天解：（3）有②在2＜t≤3時(shí)①在0＜t≤2時(shí)③在3＜t≤4.5時(shí)

（3）點(diǎn)P、

Q在運(yùn)動的過程中，陰影部分面積S有最大值嗎？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由。所以S有最大值是第16頁,共28頁，2024年2月25日，星期天

技巧點(diǎn)撥:由幾何條件確定函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵在于尋找兩個(gè)變量的等量關(guān)系，同時(shí)，確定自變量取值范圍也是完整解這類題不可忽視的步驟，求自變量的取值范圍一般采用結(jié)合圖形。直接確定其思維過程為：①x最大能“逼近”哪個(gè)點(diǎn)（數(shù)）？最小能“逼近”哪個(gè)點(diǎn)（數(shù)）？

能否等于這個(gè)數(shù)？②在變化過程中有無特殊點(diǎn)（數(shù)）③綜合以上兩點(diǎn)下結(jié)論，另外，此題還結(jié)合了動態(tài)問題和分類問題，這是代數(shù)幾何綜合題，也是今后發(fā)展的命題趨勢。第17頁,共28頁，2024年2月25日，星期天．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，動點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動，其中點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)兩動點(diǎn)秒時(shí)．過點(diǎn)運(yùn)動了（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為（

，

）（用含的代數(shù)式表示）．（2）記的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)

秒時(shí)，有最大值，最大值是

．（4）若點(diǎn)在軸上，當(dāng)有最大值且為等腰三角形時(shí)，求直線的解析式．OMxyCNP三、動點(diǎn)與坐標(biāo)幾何題相結(jié)合ABEF第18頁,共28頁，2024年2月25日，星期天．

解：（1）

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OMxyCNP．

EFPE=（）分析第19頁,共28頁，2024年2月25日，星期天．

解：

（2）在中，，邊上的高為．即．

OMxyCNP（3）．

EF當(dāng)，第20頁,共28頁，2024年2月25日，星期天．

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解：由（3）知，當(dāng)有最大值時(shí)，，此時(shí)

（4）若點(diǎn)Q在y軸上，當(dāng)s有最大值且△QAN為等腰三角形時(shí)，求直線AQ的解析式．則，.為等腰三角形，①若，則，此時(shí)方程無解．②若，即，解得．③若，即，解得．，．在的中點(diǎn)處，如下圖,設(shè)解：由（3）知，當(dāng)有最大值時(shí)，，此時(shí)在第21頁,共28頁，2024年2月25日，星期天．

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當(dāng)為時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將代入得．直線的解析式為

當(dāng)為時(shí)，，均在軸上，直線的解析式為（或直線為軸）．在同一直線上，不存在，舍去．故直線的解析式為，或．當(dāng)為時(shí)，第22頁,共28頁，2024年2月25日，星期天．

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這類試題的分類討論有固定的模式，它要求學(xué)生通過觀察、比較、分析圖形的變化，揭示圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，要能夠根據(jù)條件作出或畫出圖形，從而進(jìn)行分類。第23頁,共28頁，2024年2月25日，星期天1.如圖3，A是硬幣圓周上一點(diǎn)，硬幣與數(shù)軸相切于原點(diǎn)O﹙A與O點(diǎn)重合﹚，假設(shè)硬幣的直徑為1個(gè)單位長度，若將硬幣沿?cái)?shù)軸正方向滾動一周，點(diǎn)A恰好與數(shù)軸上點(diǎn)重合，則點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)是

．興趣拓展理解A到A′的距離是圓的周長，根據(jù)周長公式即可求解第24頁,共28頁，2024年2月25日，星期天．

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基于上述分析，可以發(fā)現(xiàn)動態(tài)幾何問題知識覆蓋面廣、形式多樣，其中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想豐富，同學(xué)們在考試中較好解決此類問題是有一定難度的。要想有效地提高數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的質(zhì)量和效益，使同學(xué)們能較好的應(yīng)對動態(tài)幾何型問題，必須做到：1.重視雙基和數(shù)學(xué)思想方法中考數(shù)學(xué)試題很多都來源于課本或同學(xué)們的生活實(shí)踐，從基本要求出發(fā)適當(dāng)加以拓展，因此，在具體學(xué)習(xí)中要探索和挖掘豐富、自然、詳盡的合情推理過程。第25頁,共28頁，2024年2月25日，星期天．

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．2.突出探究性活動，重視適度論證在學(xué)習(xí)時(shí)，要盡可能的通過豐富的實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，通過自主探索，認(rèn)識和掌握圖形性質(zhì)，積累經(jīng)驗(yàn)，操作數(shù)學(xué)的過程，同時(shí)不要放松推理和論證的要求。3.把握審題關(guān)、計(jì)算的準(zhǔn)確關(guān)和表達(dá)的規(guī)范關(guān)

動態(tài)幾何壓軸題往往文字閱讀量較大，因此