函數概念與基本初等函數Ⅰ

第二章函數概念與基本初等函數I

考綱導讀

（-）函數

1.了解構成函數的要素，了解映射的概念，會求一些簡單函數的定義域和值域。

2.理解函數的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據不同的要求選擇恰當的方法表示簡單的函數。

3.了解分段函數，能用分段函數來解決一些簡單的數學問題。

4.理解函數的單調性，會討論和證明一些簡單的函數的單調性；理解函數奇偶性的含義，會判斷簡單的函數奇偶性。

5.理解函數的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x，并能求出一些簡單的函數的最大（?。┲怠?/p>

6.會運用函數圖像理解和研究函數的性質。

（二）指數函數

1.了解指數函數模型的實際背景。

2.理解有理指數基的含義，了解實數指數箱的意義，掌握暴的運算。

3.理解指數函數的概念，會求與指數函數性質有關的問題。

4.知道指數函數是一類重要的函數模型。

（三）對數函數

1.理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中

的作用。

2.理解對數函數的概念；會求與對數函數性質有關的問題。

3.知道對數函數是一類重要的函數模型。

4.了解指數函數與對數函數互為反函數（）。

（四）塞函數

1.了解幕函數的概念。

2.結合函數的圖像，了解它們的變化情況。

（五）函數與方程

1.了解函數零點的概念，結合二次函數的圖像，了解函數的零點與方程根的聯(lián)系。

2.理解并掌握連續(xù)函數在某個區(qū)間上存在零點的判定方法。能利用函數的圖象和性質判別函數零點的個數。

（六）函數模型及其應用

1.了解指數函數、對數函數以及累函數的增長特征。知道直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義。

2.了解函數模型（如指數函數、對數函數、幕函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型）的廣泛應用。

3.能利用給定的函數模型解決簡單的實際問題。

知識網絡

——元二次函數

定一一元二次不等式

義

值域

根式一分數指數

映

射指數方程

對數方程

函

「奇偶性

數

r對數的性質

性

單調性

質

積、商、幕與

L

周期性根的對數

對數

反

互為反函數的對對數恒等式

函

函數圖像關系數和不等式

數函

數常用對數

自然對數

對數函數的圖像和性質

高考導航

'根據考試大綱的要求，結合2009年高考的命題情況，我們可以預測2010年集合部分在選擇、填空和解答題中都

有涉及，高考命題熱點有以下兩個方面：一是集合的運算、集合的有關述語和符號、集合的簡單應用等作基礎性的考

查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表

現(xiàn)形式，結合簡易邏輯知識考查學生的數學思想、數學方法和數學能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn)。

函數是高考數學的重點內容之一，函數的觀點和思想方法貫穿整個高中數學的全過程，包括解決幾何問題.在近幾

年的高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數試題，而且常考常新.以基本函數為模型的應用題

和綜合題是高考命題的新趨勢.

考試熱點：①考查函數的表示法、定義域、值域、單調性、奇偶性、反函數和函數的圖象.②函數與方程、不等式、

數列是相互關聯(lián)的概念，通過對實際問題的抽象分析，建立相應的函數模型并用來解決問題，是考試的熱點.③考查運

用函數的思想來觀察問題、分析問題和解決問題，滲透數形結合和分類討論的基本數學思想.

第1課時函數及其表示

基礎過關

一、映射

1.HW：設A、B是兩個集合，如果按照某種對應關系f,對于集合A中的元素，在集合B中都有元

素和它對應，這樣的對應叫做到的映射，記作.

2.象與原象：如果f:A-B是一個A到B的映射，那么和A中的元素a對應的叫做象，叫做原象。

二、函數

1.定義：設A、B是,/:A-B是從A到B的一個映射，則映射/:A-B叫做A到B的,記

作.

2.函數的三要素為、、,兩個函數當且僅當分別相同時，二者才能稱為同一函數。

3.函數的表示法有、、。

典型例題

例L下列各組函數中，表示同一函數的是().

A.y=l,y=—B.y=y/x-1Jx+1,y=\lx2-1

X

C.y=x,y=\[x^D.y=1xI,y=(Vx)2

解：C

變式訓練L下列函數中，與函數尸x相同的函數是()

A.y=—B.y=(V7)2C.y=lglOxD.y=2log2X

X

解：C

例2.給出下列兩個條件：(1)f(4+D=x+24;(2)f(x)為二次函數且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,試分別求出f(x)的解木

式.

解：(1)令t=V7+l,.,.tNl,x=(t-1)\

則f?)=(1)2+2(1)=/-1,即f(x)=x'-l,x￡[1,+8).

(2)設f(x)=ax,bx+c(a關0),

f(x+2)=a(x+2)'+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.

/.14a=4，=1,又f(0)=3=c=3,；.f(x)=x2-x+3.

+2b=2[b=-1

變式訓練2：(1)已知f(-+1)=lgx,求f(x)；

x

(2)已知f(x)是一次函數，且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)；

(3)已知f(x)滿足2f(x)+f(—)=3x,求f(x).

x

解：(i)令2+i=t,則x=2,

Xt-\

/.f(t)=lg^-,.\f(x)=lg^—,(1,+°°).

t-\x-1

(2)設f(x)=ax+b,則

3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,

Aa=2,b=7,故f(x)=2x+7.

(3)2f(x)+f(—)=3x,①

x

把①中的X換成,，得2f(')+f(x)=2②

XXX

①X2-②得3f(x)=6x--,/.f(x)=2x~—.

XX

例3.等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a,BC=a,ZBAD=45°,作直線MN_LAD交AD于M,交折線ABCD于N,記AM=x,試*

梯形ABCD位于直線MN左側的面積y表示為x的函數,

解：作BHJ_AD,H為垂足，CG±AD,G為垂足，

依題意，則有AH=巴，AG=-a.

22

(1)當M位于點H的左側時，NeAB,

2

由于AM=x,ZBAD=45°.MN=x.Y=SAAMN=—x(0WxW@).

22

(2)當M位于HG之間時，由于AM=x,AMN=-,BN=x--.

22

y=S[x+(x--)]=—ax--(—<x<—6z).

2222822

(3)當M位于點G的右側時，由于AM=x,MN=MD=2a-x.

2222

y=SABCD-SAMDN=——(2a+a)-—(2a-x)=----(4a-4ax+x)=---x+2ax-^—(—a<x<2a).

22242242

綜上:尸*

x2,x>0,

變式訓練3：己知函數f(x)="''

—,x<0.

、X

(1)畫出函數的圖象；(2)求f(l),的值.

解：(1)分別作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的圖象，如圖所示，作法略.

(2)f(l)=l2=l,f(-l)=--=l,f[/(-l)]=f(D=l.

------------一]

小結歸納

1.了解映射的概念，應緊扣定義，抓住任意性和唯一性.

2.函數的解析式常用求法有：待定系數法、換元法(或湊配法)、解方程組法.使用換元法時，要注意研究定義域的

變化.

3.在簡單實際問題中建立函數式，首先要選定變量，然后尋找等量關系，求得函數的解析式，還要注意定義域.若函

數在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用分段函數來表示.

第2課時函數的定義域和值域

基礎過關

一、定義域：

1.函數的定義域就是使函數式的集合.

2.常見的三種題型確定定義域：

①已知函數的解析式，就是.

②復合函數/■[g(x)]的有關定義域，就要保證內函數g(x)的域是外函數/?(*)的域.

③實際應用問題的定義域，就是要使得有意義的自變量的取值集合.

二、值域：

1.函數尸/■(%)中，與自變量x的值的集合.

2.常見函數的值域求法，就是優(yōu)先考慮，取決于，常用的方法有：①觀察法；②配方法；

③反函數法；④不等式法；⑤單調性法；⑥數形法；⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法(又分為法和—

法)

例如：①形如尸—L-,可采用_________法②尸,可采用_______法或_______法③尸a[f(x)產

2+x23X+23

+bf(x)+c,可采用法；④y=x—Vl-x,可采用法；⑤y=x—,可采用法；

⑥y=二—可采用________法等.

2-cosx

典型例題

例1.求下列函數的定義域：

⑴y字：”；⑵丫二丁二+石二7;(3)y=Jx+l-Jx-l

y]\x\-xVx2-3

解：⑴由題意得[：：以二化簡得

[IxI-x>0\\x\>x

即卜故函數的定義域為{x|x<0且xWT}.

x<0

"±右

(2)由題意可得解得

-45<X<y/5

故函數的定義域為{x1石WxW石且xW±6}.

(3)要使函數有意義，必須有

尸+120即卜2-1》故函數的定義域為[1,+8).

[x-120[x>l

變式訓練1:求下列函數的定義域：

⑴產意含+(1)、⑵『而片+(5、-4)。;(3)y=,25-+lgcosx;

f2-x>0x<2

解：(1)由12+x—/>0,得一3cx<4,所以一3VxV2且xWl.

[x-1^0[xwl

故所求函數的定義域為(-3,1)U(l,2).

3

x>——

4x+3>04

X-L函數的定義域為，a,_Uu(-L3u(±+oo).

(2)由,4x+3工1,得

2I42)255

5工一4004

XH——

5

-5<x<5

⑶由[257支0,得

[cosx>02k冗-—<x<2k兀eZ)’

22

借助于數軸，解這個不等式組，得函數的定義域為-5.-^|u(--,-)U|—,5

_2)22V2

例2.設函數y=f(x)的定義域為[0,1],求下列函數的定義域.

(1)y=f(3x);(2)y=fJ);

X

(3)y=f(x+g)+/(x-g);(4)y=f(x+a)+f(x-a).

解：⑴0W3xWl,故OWxWLy=f(3x)的定義域為[0,1].

33

(2)仿(1)解得定義域為[1,+8).

(3)由條件，y的定義域是f(x+§與(x-g)定義域的交集.

12

0<^+-<1一<x<-

332

列出不等式組3==>—<x<-,

433

O<x--<1—<x<—

333

故y=f(x+g)+/(xq)的定義域為.

(4)由條件得=討論：

[0<x-a<l[t/<x<l+a

①當卜G-a,即OWaWL時，定義域為[a,1-a];

<\+a,2

②當/‘-a,即__LwaWO時，定義域為[-a,1+a].

[-a<1+67,2

綜上所述：當OWaW，時，定義域為[a,1-a]；當-』WaW0時，定義域為[-a,1+a].

22

變式訓練2：若函數f(x)的定義域是[0,1],則f(x+a)?f(x-a)(0<a<l)的定義域是()A.

2

1-a]C.[-a,1+a]D.[0,1]

解：B

例3.求下列函數的值域：

(1)y=—;(2)y=x-Jl-2x;(3)y=.

x-x+1e'+1

解：(1)方法一(配方法)

??—111/I、23、3

?y-1_--------,rnjx~—x+1=(x—)*H—N一,

r-x+l244

/.0<—?—<-,.?.值域為H

x'-x+\333J

方法二(判別式法)

由y二xf，得(yT)x-+(i-y)x+v=o.

X--x+1

Vy=l時,又,:xwR,???必須A=(l-y”—4y(yT)20.

??.-夫二].；)，*1,...函數的值域為-9)」2)方法一(單調性法)

定義域卜IxV：｝,函數y=x,y=-Jl-2x均在1-8,g上遞增，

故-2x1=1.

2V22

函數的值域為(-8,/.

方法二(換元法)

令Jl-2x=t,則t20,且乂=1二y=--(t+1)2+1^-(t20),

222

?'?yW(-8,1].

2

(3)由y二一得,e、二上工???eX>0,即上Z>0,解得TVyVL

e*+11-y1-y

函數的值域為｛y|TVy〈l｝.

變式訓練3：求下列函數的值域：

(1)y=?；(2)y=IxIVl-x2.

2x+5

解：(1)(分離常數法)y=-?!■+」一，???」一會(),

22(2x+5)2(2x+5)

...y#-L故函數的值域是｛y|yGR,且y#-』｝.

22

⑵方法一(換元法)

Vl-x2>0,令x=sina,則有y=|sinacosa|=—Isin2a|,

2

故函數值域為［o,-3.

2

方法二y=|x|-7T7=V-x4+r=J-(x2--)2+1,

V24

???0〈丫〈，,即函數的值域為［0」.

22

例4.若函數f(x)二"!~x'-x+a的定義域和值域均為［1,b］(b>l),求a、b的值.

2

解：Vf(x)=—(x-l)2+a-—.

22

???其對稱軸為x=l,即［1,b］為f(x)的單調遞增區(qū)間.

.,.f(X)min=f(1)=3--=1①

2

f(x)max=f(b)=-b2-b+a=b②

2

_3

由①②解得"=5'

b=3.

變式訓練4：已知函數f(x)=x：-4ax+2a+6(xGR).

(1)求函數的值域為［0,+8)時的a的值；

(2)若函數的值均為非負值，求函數f(a)=2-a|a+3|的值域.

解：(1)???函數的值域為［0,+8),

△=16aJ4(2a+6)=0n2a2-a-3=0；.a=-l或a=2.

2

(2)對一切x￡R,函數值均非負，A=8(2a2-a-3)W0=-lWaWa,，a+3>0,

2

_=___

f(a)=2a(a+3)a"3a+2=(a+—)*+—(ae—12).

24L2_

?.?二次函數f(a)在「I,當上單調遞減，(a)mi?=f(-)=--^,f(a)ef(-1)=4,

,2j24

???f(a)的值域為12,4.

_4_

小結歸納

1.求函數的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例1）,應抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給

出解析式（如例2）,就應抓住內函數的值域就是外函數的定義域；三是實際問題，此時函數的定義域除使解析式有意

義外，還應使實際問題或幾何問題有意義.

2.求函數的值域沒有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、單調性法、有界性法、配方法、換元法、

判別式法、不等式法、圖象法)外，應根據問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法.

第3課時函數的單調性

基礎過關

一、單調性

1.定義：如果函數尸f(x)對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值松、如當孔<加時,①都有,

則稱/1(X)在這個區(qū)間上是增函數，而這個區(qū)間稱函數的一個；②都有,則稱/1(*)在這個

區(qū)間上是減函數，而這個區(qū)間稱函數的一個.

若函數/Xx)在整個定義域1內只有唯一的一個單調區(qū)間，則/"(X)稱為.

2.判斷單調性的方法：

(1)定義法，其步驟為：①;②;③.

(2)導數法，若函數y=f(x)在定義域內的某個區(qū)間上可導，①若，則/"(_?)在這個區(qū)間上是增函數;

②若，則f(x)在這個區(qū)間上是減函數.

二、單調性的有關結論

1.若/'(x),g(x)均為增(減)函數，則/1(x)+g(x)函數；

2.若/'(x)為增(減)函數，則一f5)為；

3.互為反函數的兩個函數有的單調性；

4.復合函數y=f[g(x)]是定義在M上的函數，若/1(x)與g(x)的單調相同，則f[g(x)]為，若/'(x),g(x)

的單調性相反，則f[g(x)]為.

5.奇函數在其對稱區(qū)間上的單調性，偶函數在其對稱區(qū)間上的單調性.

典型例題

例1.已知函數f(x)=a*+=(a>l),證明：函數f(x)在(T,+8)上為增函數.

X+1

證明方法一任取Xi,X2^(T,+8),

不妨設X1<X2,則X2-X1>O,a',,>1且a”>0,

/.d一4=優(yōu),(。"一1)>0，XVxi+l>0,x2+l>0,

?工-2_X2_(——2)(4+1)-(％―2)(蒼+1)_3(工-％)>0

x2+1X,+1(X,+l)(x2+1)(Xj+1)(占+1)

于是f(x2)-f(Xi)=a*-a"+>0,

x2+1X,+1

故函數f(x)在(T,+8)上為增函數.

方法二f(x)=a+l-—(a>l),

x+\

求導數得廣(x)=a'lna+―-—,：a>l,.,.當x>-l時，axlna>0,―-—>0,

(x+l>(x+1尸

;(x)>0在(-1,+8)上恒成立,則f(x)在(-1,4-0°)上為增函數.

方法三：a>l,，y=a*為增函數，

又y===l+E,在(-1,+8)上也是增函數.

X+\X4-1

.?.y=a'+=在(-1,+8)上為增函數.

X+1

變式訓練1：討論函數f(x)=x+N(a>0)的單調性.

X

解：方法一顯然f(x)為奇函數，所以先討論函數f(X)在(0,+8)上的單調性，

設xi>X2>0,則

+

f(xi)-f(X2)-(Xi+—)一(X2—)=(X-X2),(1--^-).

占W中2

,當OVxzVxW/r時，—>1,

X占

則f(Xi)-f(x2)<0,即f(X1)<f(x2),故f(x)在(0,y［a］上是減函數.

當Xi>X22后時，則f(xi-f(X2)>0,即f(Xi)>fa)，

X4

故f(x)在［而，+8)上是增函數.?；f(x)是奇函數，

Af(X)分別在(-8,一八］、［后，+8)上為增函數；

f(x)分別在［-〃■,())、(0,而］上為減函數.

方法二由:(幻二1-二=0可得x=土4a

x-

當x>〃■或X<-而時，f'(x)>o.,.f(x)分別在(幾，+翦、(-8,-而］上是增函數.

同理0<x<〃'或'<x<0時，f'(x)<0

即f(x)分別在(0,石］、［-石，0)上是減函數.

例2.判斷函數f(x)="［在定義域上的單調性.

解：函數的定義域為{xlxWT或x》l},

則f(x)=y/x2-l,

可分解成兩個簡單函數.

f(x)=Ju(x),u(x)=x2-l的形式.當x2l時，u(x)為增函數，“(X)為增函數.

.?.f(x)=77二I在［1,+8)上為增函數.當xWT時，u(x)為減函數，質為減函數，

.?.f(x)=J/-1在(-8,-1］上為減函數.

變式訓練2：求函數y=log,(4x-x?)的單調區(qū)間.

2

解:由4x-x'>0,得函數的定義域是(0,4),令t=4x-x)則y=log」t.

Vt=4x-x2=-(x-2)2+4,??.t=4x-x2的單調減區(qū)間是［2,4),增區(qū)間是(0,2］.

又y=logj在(0,+°°)上是減函數，

2

函數y=log,(4x-x?)的單調減區(qū)間是(0,2］,單調增區(qū)間是［2,4).

2

例3.求下列函數的最值與值域：

(1)y=4-y/3+2x-x2；(2)y=x+-;(3)y=y/x2+l+J(2-x)2+4.

x

解：(1)由3+2x-x2》0得函數定義域為［-1,3］,又t=3+2x-xM-(x-l)2.

???t￡[0,4],4t￡[0,2],

從而,當x=l時,ymin=2,當x=T或x=3時，丫皿=4.故值域為[2,4].

(2)方法一函數y=x+l是定義域為｛x|x￥0｝上的奇函數，故其圖象關于原點對稱，故只討論

X

x>0時，即可知x<0時的最值.

...當x>0時,y=x+g22G：=4,等號當且僅當x=2時取得.當xVO時，yW-4,

等號當且僅當x=-2時取得.綜上函數的值域為(-8,-4]U[4,+8),無最值.

方法二任取X1,X2,且X1<X2,

因為f(Xi)-f(X2)=Xi+W-(X2+&)=^fe^,

X,占XR

所以當xW-2或x22時，f(x)遞增，當-2<xV0或0<xV2時，f(x)遞減.

故x=-2時，f(x)且大值=f(-2)=-4,x=2時,f(x)城小他=f(2)=4,

所以所求函數的值域為(-8,-4]U[4,+8),無最大(小)值.

(3)將函數式變形為y=-Of+(0-1>+J(x-2r+(0+2)’,

可視為動點M(x,O)與定點A(0,1)、B(2,-2)距離之和，連結AB,則直線AB與x軸的交點(橫坐標)即為所工

的最小值點.

y?in=!AB|=^/(0-2):+(1+2)2=Vl3,可求得x=|■時，y“in=后.

顯然無最大值.故值域為[而，+8).

變式訓練3：在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生產100臺報警;

統(tǒng)裝置，生產x(x>0)臺的收入函數為R(x)=3000x-20x2(單位：元)，其成本函數為C(x)=500x+4000(單位：元),

利潤是收入與成本之差.

(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x)；

(2)利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)是否具有相同的最大值？

解：(l)P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=~20x2+2500x~4000

(xe[I,1001且xGN,)

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)

=2480-40x(x￡El,100]且xGN).

(2)P(x)=-20(x-—)2+74125,當x=62或63時，P(x)鶴=74120(元).

2

因為MP(x)=2480-40x是減函數,所以當x=l時，MP(x),*=2440(元).

因此，利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)不具有相同的最大值.

例4.(2009?廣西河池模擬)已知定義在區(qū)間(0,+8)上的函數f(x)滿足f(')=f(x)-f(x2),且當x>l時，f(x)<0.

占

(1)求f⑴的值；

(2)判斷f(x)的單調性；

(3)若f(3)=-l,解不等式f(1x|)<-2.

解：(1)令xi=X2>0,代入得f(l)=f(xj-f(xJ=O,故f⑴=0.

(2)任取xi,x?G(0,+8),且xi>x〃則%>1,由于當x>l時，f(x)<0,

占

所以f(A)<0,即f(xi)-f(x2)<0,因此f(xi)<f(x2),

所以函數f(x)在區(qū)間(0,+8)上是單調遞減函數.

(3)由f(')=f(xj-f(x2)得f(2)=f(9)-f(3),而f(3)=-l,所以f(9)=-2.

占3

由于函數f(x)在區(qū)間(0,+8)上是單調遞減函數，

由f(|x|)<f⑼，得|x|>9,；.x>9或x<-9.因此不等式的解集為{x|x>9或x<-9}.

變式訓練4：函數f(x)對任意的a、b￡R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-l,并且當x>0時，f(x)>l.

(1)求證：f(x)是R上的增函數；

(2)若f(4)=5,解不等式f(3mJm-2)<3.

解：(1)設Xi,X2GR,且X1VX2,

則x2-Xi>0,/.f(x2-xi)>1.

f(x2)-f(X1)=f((X2-X|)+Xi)-f(Xi)=f(X2-X1)+f(Xi)-l-f(Xi)=f(X2-X1)-1>O.

f(X2)>f(XI).

即f(x)是R上的增函數.

(2)Vf(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,

；.f(2)=3,

.,.原不等式可化為f(3m2-m-2)<f(2),

???f(x)是R上的增函數，2V2,

解得故解集為(-1,.

------------33

小結歸納

1.證明一個函數在區(qū)間D上是增(減)函數的方法有：(1)定義法.其過程是：作差一一變形一一判斷符號，而最常用

的變形是將和、差形式的結構變?yōu)榉e的形式的結構；(2)求導法.其過程是：求導一一判斷導函數的符號一一下結論.

2.確定函數單調區(qū)間的常用方法有：(1)觀察法；(2)圖象法(即通過畫出函數圖象，觀察圖象，確定單調區(qū)間)；(3)

定義法；(4)求導法.注意：單調區(qū)間一定要在定義域內.

3.含有參量的函數的單調性問題，可分為兩類：一類是由參數的范圍判定其單調性；一類是給定單調性求參數范圍，

其解法是由定義或導數法得到恒成立的不等式，結合定義域求出參數的取值范圍.

第4課時函數的奇偶性

基礎過關

1.奇偶性：

①定義：如果對于函數『(X)定義域內的任意X都有，則稱f(x)為奇函數；若,則稱/"(X)

為偶函數.如果函數/1(X)不具有上述性質，則/'(X)不具有.如果函數同時具有上述兩條性質，則f

(X).

②簡單性質：

1)圖象的對稱性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于對稱；一個函數是偶函數的充要條件是它

的圖象關于對稱.

2)函數f{x}具有奇偶性的必要條件是其定義域關于對稱.

2.與函數周期有關的結論：

①已知條件中如果出現(xiàn)/(x+a)=-/(X)、或/'(x+a)/(x)=機(a、機均為非零常數，。>())，都可以得出f(x)

的周期為；

②了二/(x)的圖象關于點(a,O),(b,O)中心對稱或y=/(x)的圖象關于直線x==b軸對稱，均可以得到

f(x)周期__________________

典型例題

例1.判斷下列函數的奇偶性.

(1)f(x)=-I-J1-);

2

(2)f(x)=log2(x+7x+l)(xGR);

(3)f(x)=lg|x-2|.

解：(1),.?x"-：!川且l-x,NO,，x=±l,即f(x)的定義域是{T,1}.

Vf(1)=0,f(-1)=0,.,.f(l)=f(-1),f(-l)=-f(1),

故f(x)既是奇函數又是偶函數.

(2)方法一易知f(x)的定義域為R,

X*.'f(-x)=log2E-X+J(-x)2+\]=log2-----=_]og2(x+&+1)=_f(x),

...f(x)是奇函數.

方法二易知f(x)的定義域為R,

又；f(-X)+f(x)=log2[-x+J(-Xp+l]+log2(X+Vx：+1)=log21=0,即f(-x)=-f(x),

???f(x)為奇函數.

(3)由|x-2|>0,得x#2.

...f(x)的定義域｛x|xW2｝關于原點不對稱,故f(x)為非奇非偶函數.

變式訓練1：判斷下列各函數的奇偶性：

(1)f(x)=(x-2)、臣^；

V2-x

(2)f(X)=?躍匕a

lx!-2l-2

x+2U<-1),

(3)f(x)=,0

-x+2(x>1).

解:(1)由馬得定義域為［-2,2),關于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數.

2-x

⑵由值;得定義域為I°)U。D.

這時f(x)=」g(l-x“)..=-聯(lián)「/)

-(x:-2)-2d

Vf(-x)=-lg[l-(-x)']=-lg(l-x2)=〃x),.-.f(X)為偶函數.

(-X)'/

(3)x<-l時，f(x)=x+2,-x>l,f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).

x>l時,f(x)=-x+2,-x<-l,f(-x)=x+2=f(x).

TWxWl時，f(x)=0,TW-xWl,f(-x)=0=f(x).

???對定義域內的每個x都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函數.

例2已知函數f(x),當x,yGR時,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求證：f(x)是奇函數；

(2)如果xGR',f(x)V0,并且f(1)=-L試求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最值.

2

(D證明：..?函數定義域為R,其定義域關于原點對稱.

Vf(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,.?.￡?(())=f(x)+f(-x).令x=y=O,

；.f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.；.f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),

.?.f(x)為奇函數.

(2)解：方法一設x,yCR,Vf(x+y)=f(x)+f(y),

.'.f(x+y)-f(x)=f(y).xeR',f(x)<0,

f(x+y)-f(x)<0,/.f(x+y)<f(x).

Vx+y>x,；.f(x)在(0,+8)上是減函數.又Tf(x)為奇函數，f(0)=0,

Af(x)在S,+8)上是減函數.(-2)為最大值，f(6)為最小值.

Vf(1f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.

2

???所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.

方法二設X1<X2,且Xi,X2@R.

則f(X2-Xi)=f[X2+(-XI)[=f(X2)+f(-Xi)=f(X2)-f(Xi).

Vx2-Xi>0,Af(X2-X1)<0./.f(X2)_f(xi)<0.即f(x)在R上單調遞減.

Af(-2)為最大值,f(6)為最小值.；f⑴=-L

2

：.f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f⑵]=-3.

所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.

變式訓練2：已知f(x)是R上的奇函數，且當xG(-8,0)時,f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.

解：Tf(x)是奇函數，可得f(0)=-f(0),."(0)=0.

當x>0時,-xVO,由已知f(-x)=xlg(2+x),...-f(x)=xlg(2+x),

即f(x)=-xlg(2+x)(x>0)..,.f(x)=Hlg(2~X)(x<0)，

l-xlg(2+x)(x>0).

即f(x)=-xlg(2+|x|)(xSR).

例3已知函數f(x)的定義域為R,且滿足f(x+2)=-f(x).

(1)求證：f(x)是周期函數；

(2)若f(x)為奇函數，且當OWxWl時，f(x)=1x,求使f(x)=-，在[0,2009]上的所有x的個數.

22

(1)證明：Vf(x+2)=-f(x),

：.f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),

Af(x)是以4為周期的周期函數.

(2)解：當OWxWl時，f(x)二』x,

2

設一1WxWO,則OW-xWl,?,.￡(-x)=—(-x)=--x.

22

?；f(x)是奇函數，/.f(-x)=-f(x),

A-f(x)=~—x,即f(x)=—x.

22

故f(x)二—x(-Kx^l)

2

又設1VxV3,則TVx-2V1,

/?f(x-2)=-(x-2),

2

又(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-[-f(-x)]=-f(x),

A-f(x)=—(x-2),

2

：.f(x)(x-2)(l<x<3).

2

-x(-I<x<l)

：.f(x)=2

-；(x-2)(1<x<3)

由f(x)=-L,解得x=T.

2

(x)是以4為周期的周期函數.故f(x)=-L的所有x=4nT(neZ).

2

令0W4nTW2009,則些，

42

XVneZ,，lWnW502(n￡Z),

...在［0,2009］上共有502個x使f(x)=-L

2

變式訓練3：已知函數f(x)=x2+|x-a|+l,a￡R.

(1)試判斷f(x)的奇偶性；

(2)若--,求f(x)的最小值.

22

解:(1)當a=0時,函數f(-x)=(-x)、|-x|+l=f(x),

此時,f(x)為偶函數.當aWO時，f(a)=a2+l,f(-a)=a2+2|a|+l,

f(a)Wf(-a),f(a)W-f(-a),此時，f(x)為非奇非偶函數.

3

(2)當xWa時，f(x)=x2-x+a+1=(x--)2+a+—,

24

???aWL故函數f(x)在(-8,a］上單調遞減,

2

從而函數f(x)在(-8,a］上的最小值為f(a)=a'l.

當x2a時，函數f(x)=x2+x-a+1=(x+—)2-a+—,

24

???ae-',故函數f(x)在［a,+8)上單調遞增，從而函數f(x)在［a,+8)上的

2

最小值為f(a)=d+l.

綜上得，當-LwaWl時，函數f(x)的最小值為a?+l.

22

小結歸納

1.奇偶性是某些函數具有的一種重要性質，對一個函數首先應判斷它是否具有這種性質.判