2020年8月自考02199復變函數(shù)與積分變換試題含答案及評分標準

絕密★啟用前

2020年8月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

復變函數(shù)與積分變換試題答案及評分參考

（課程代碼02199）

一、單項選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分。

1．D

2．A

3．C

4．C

5．B

6．A

7．B

8．B

9．D

10．C

11．A

12．D

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。

13．?64

14．0

絕密★啟用前

2020年8月高等教育自學考試全國統(tǒng)一命題考試

復變函數(shù)與積分變換試題答案及評分參考

（課程代碼02199）

一、單項選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分。

1．D2．A3．C4．C5．B6．A

7．B8．B9．D10．C11．A12．D

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。

13．?6414．015．e?π

16．2πi17．1

三、計算題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

eeiizz+?

18．解：由cosz=3，得=3

2

或e2izz?6ei+=10……2分

解得eiz=3±22或iz=Ln(3±22)……4分

即z=?±iLn(322)……5分

1

19．解：分別以z=0和z=1為中心，為半徑，作正向圓周C和C，則

312

1fz()1fz()1fz()

dddzzz……2分

222

2πiCCzz(1)2πi12zz(1)2πiCzz(1)

′

fz()fz()

=+

?2

(zz1)z=0

z=1

=+?fff(0)′(1)(1)……5分

?2u?2u

20．解：因為=0，=0，

?x2?y2

??22uu

所以+=0，即u(,xy)為調(diào)和函數(shù).……1分

??xy22

復變函數(shù)與積分變換試題答案及評分參考第1頁（共3頁）

??vu

由C-R條件，=?=?x，

??xy

x2

因此v(,xy)=?+φ()y，其中φ()y是與x無關的可微函數(shù).……3分

2

??vu

再由C-R條件，φ′()yy===，

??yx

y2

所以φ()yC=+，其中C為任意實數(shù).

2

所求解析函數(shù)為

xy22?z2

f()z=+=?uvixyi+iC=?+iiC.……5分

22

cn+2

21．解：由limn+1=lim=1，知級數(shù)在z<1內(nèi)收斂.……1分

nn→∞→∞

cnn+1

在z<1內(nèi)，取0到任意點z的光滑曲線C，積分

z

(nn1)nnd(1)d

C0

nn00

∞z

=zn+1=……3分

∑?

n=01z

∞z′1

求導+=n=……分

∑(nz1)25

n=01??zz(1)

zz+11

22．解：因為=+

zz222(???1)zz(1)zz(1)

11

=+……2分

2311

zz11??

zz

11111

當<<+∞時，=++++

1z2345

21zzzz

z1?

z

1111

=+++……分

3454

31zzz

z1?

z

所以當1<z<+∞時

z+112∞1

=+.……分

223∑n5

zz(?1)zzn=0z

復變函數(shù)與積分變換試題答案及評分參考第2頁（共3頁）

z5

23．解：函數(shù)fz()=在z<2內(nèi)有六個一階極點zzk=(=1,2,,6)……1分

z6+1k

由求留數(shù)的規(guī)則

55

zz1，……分

Res;zk==(k=1,2,,6)3

66′

z+16(z+1)

zz=k

556

zz

由留數(shù)定理d2zzπiRes;k2πi……5分

C66

zz11k1

四、綜合題：本大題共3小題，共19分。

24．（本題6分）

解：（）有兩個一階極點和……分

1fz()z1=?+2iz2=??2i2

iz??12i

（）ee……分

2Res[fz();z1]==4

2′

(zz++45)2i

zz=1

1

（3）由于在實軸上沒有奇點，分母次數(shù)比分子次數(shù)高兩次，所

zz2++45

以可用留數(shù)計算實積分

iz

cosxe

dxzRe2πiRes;1

22

xx45zz45

e12i

1……分

Re2πiπecos26

2i

25．（本題6分）

解：ft()可寫成f()t=ut()cost??ut(2π)cos(t?2π)……2分

p

因為L[ut()cost]=，

1+p2

pe?2πp

由延遲性質(zhì)L[ut(2?π)cos(t?=2π)]，……4分

1+p2

于是LL[f()t]=[ut()cost]??L[ut(2π)cos(t?2π)]

p(1?e?2π