基本不等式 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

基本不等式2002年在北京舉行的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)ICM2002會(huì)標(biāo)會(huì)標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？探究1ab問2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它們的面積是S’=———問1：在正方形ABCD中,設(shè)AF=a,BF=b,則正方形的面積為S=————，問3：S與S’有什么樣的關(guān)系？從圖形中易得，s>s’,即探究1ABCDE(FGH)xyADBCEFGHxy問題1：那么它們有相等的情況嗎？何時(shí)相等？探究2變化的弦圖探究2問題1：那么它們有相等的情況嗎？何時(shí)相等？

圖片說明：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有

a=b形的角度數(shù)的角度

當(dāng)a=b時(shí)

a2+b2－2ab

=(a－b)2=0結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立此不等式稱為重要不等式探究2問題2：當(dāng)a,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，上式還成立嗎？思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）

類比聯(lián)想推理論證

（特別的）如果

也可寫成

a＞0,b＞0,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“＝”號(hào)成立

此不等式稱為基本不等式探究3概念算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)(1)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).(2)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).對(duì)基本不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究:如圖,AB是圓o的直徑，C是AB上任一點(diǎn)，AC=a,BＣ=b,過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DC，連AD,BD,則CD=____,半徑AO=_____問題：請(qǐng)比較半弦長(zhǎng)PQ與半徑AO的關(guān)系？幾何意義：圓的半徑不小于圓內(nèi)半弦長(zhǎng)探究4

AB

D

CabO動(dòng)態(tài)演示如何證明基本不等式?當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。綜合法（執(zhí)因索果）探究5證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),③中的等號(hào)成立.分析法證明方法3：適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式知識(shí)應(yīng)用，嘗試練習(xí)1、試根據(jù)基本不等式寫出下列變形形式，并注明所需條件（1）a2+b2

()（2）

（）（3）ab≤

（）

（4）＋

（）

2、（1）若的最小值為________,此時(shí)x=

____

(2)若a>0，b>0，a+b=2,則ab的最大值為____

,此時(shí)a=____,b=____。（3）已知x>0,y>0且xy=100,則x+y的最小值是_______,此時(shí)x=

,y=

。2、(1)若的最小值為________,此時(shí)x=________。

(2)若a>0，b>0，a+b=2,則ab的最大值為____,此時(shí)a=____,b=____。(3)已知x>0,y>0且xy=100,則x+y的最小值是_______,此時(shí)x=

,y=

。1、判斷下列推理是否正確：（1）的最小值為2.（）（2）的最小值是（）（3）的最小值為12（）領(lǐng)悟練習(xí)：總結(jié)：若兩正數(shù)的乘積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值；若兩正數(shù)的和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的乘積有最大值。簡(jiǎn)記為：“一正、二定、三相等”。小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？取得了哪些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)?還有哪些問題需要請(qǐng)教？一個(gè)不等式：若，則有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)