2021屆浙江省高考數(shù)學模擬試卷（一）（3月份）附答案詳解

2021屆浙江省高考數(shù)學模擬試卷（一）（3月份）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.已知全集U={2,3,5,7,11,13,17,19),集合2={2,7,11},集合8={5,11,13},則(CM)。8=()

A.⑸B.{13}C.{5,13]D.[11,13)

。后知4帶繆

2.復數(shù)-----二=()

A.R-篇B.蠹c.-I一篇D.T-篇

1產(chǎn)？

，之o下當3<

3,在約束條件\x+y<s「，33一s45時，目標函數(shù)z二=3x+2y的最大值的變化范圍是（）

Ly+2x<4

A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]

4,下列說法不正確的是（）

A.圓柱的側面展開圖是矩形

B.球面可以看作一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉180。所形成的曲面

C.直角梯形繞它的一腰所在直線旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓臺

D.圓柱、圓錐、圓臺中，平行于底面的截面都是圓面

5.同一直角坐標中，函數(shù)f（x）=產(chǎn)和函數(shù)g（x）=1。g0+》（口>0且a71）的圖象可能是（）

a4

6."9=1”是“曲線y=sin。+"）關于y軸對稱”的（）

A.充要條件B.充分且不必要條件

C.必要且不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.等差數(shù)列中（公差不為零），的,a2,以恰好成等比數(shù)，則言的值是（）

A.1B.2C.3D.4

29

8.雙曲線器—卷=1的一條漸近線方程是（）

A.3%—4y=0B.4%—3y=0C.9%—16y=0D.

9.函數(shù)，歸的定義域為開區(qū)間￡琢用，導函數(shù)感在施1，建內(nèi)的圖

象如圖所示，則函數(shù)翼磁在開區(qū)間觸讖:內(nèi)有極小值點（）

A.：1個

B.2個

C.整個

D.4個

10.下列關系中，正確的有（）

A.0u{0}B.|eQC.Q=ZD.0e{0}

二、單空題（本大題共7小題，共36.0分）

13.如圖，△ABC中，AB=AC2,BC=2g，點。在BC邊上，zADC=45°,則4。的長度等

于.

A

BDC

14.設直線ax-y+3=0與圓（久一iy+（y—2）2=4有兩個不同的交點2,B,且弦4B的長為2百，

貝必等于.

15.高二（6）班4位同學從周一到周五值日，其中甲同學值日兩天，其余人各值日一天.若要求甲值

日的兩天不能相連，且乙同學不值周五，則不同的值日種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

16,已知0<a<2，0<b<|,隨機變量X的分布列是：

X012

1

Pab

2

7

若E(X)=w，則。=；D(3X-1)=.

17.已知a>1,b>1,且;Ina,Inb成等比數(shù)列，則ab的最小值為.

44

三、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

18.已知函數(shù)八。=2sinGXCCiSGT+2#sin2Gx-W0>。)的最小正周期為".

(1)求函數(shù)"])的單調(diào)增區(qū)間；

萬

(2)將函數(shù)"X)的圖象向左平移原個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)了=冢用的圖象;若>=冢埴

在0句3>°)上至少含有10個零點，求b的最小值.

19.如圖所示，已知四棱錐P—/lBCD中，P4，平面4BCD,底面4BCD是直角梯形,4B〃CD,AB_L4D,

AB=2AD=2AP=2CD=2,E是棱PC上一點，且CE=2PE.

(1)求證：4E1平面PBC；

(2)求二面角4-PC-。的大小.

20.已知函數(shù)/'0)=7^,g(x)=a(久一1).

(1)當x>1時，/(x)<g(X)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)求證：歷(2幾+1)《告三+'^+……+T-.

kJk、4xl2-l4x22-14xn2-l

21.已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點尸(2,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是2.

(1)求曲線C的方程；

(2)求曲線C上的點P(x,y)到直線/：x-y+3=0距離的最小值及此時點P的坐標.

22.已知函數(shù)F(%)=§+In(p%)(其中p>0).

⑴當］<P<京時，求F(%)零點的個數(shù)k的值；

(2)在(1)的條件下，記這些零點分別為修。=1,2,…,k),求證：+----1-^->2Ve.

xix2xk

參考答案及解析

1.答案：C

解析：解：；u=[2,3,5,7,11,13,17,19},A=[2,7,11],B={5,11,13},

ZUA=[3,5,13,17,19},(CM)CB={5,13].

故選：C.

進行補集、交集的運算即可.

本題考查了列舉法的定義，補集、交集的運算，考查了計算能力，屬于基礎題.

2.答案：B

解析：試題分析：根據(jù)題意，由于-----=------冰——=------=,1普富，故答案為8。

考點：復數(shù)的運算

點評：主要是考查了復數(shù)的除法運算的運用，屬于基礎題。

3.答案：D

fx>0

解析：解：由約束條件作可行域如圖,

Ix?y、o

Vy+2%<4

聯(lián)立解得：B(l，2).

當s=3時，可行域為四邊形。4BC及內(nèi)部區(qū)域，

當直線z=3久+2y過3()時,z有最大值,等于3xl+2x2=7；

當s=5時，可行域為三角形。及內(nèi)部區(qū)域，

當直線z=3x+2y過D(0,4)時，z有最大值，等于3x0+2x4=8.

???當3WsW5時，目標函數(shù)z=3x+2y的最大值的變化范圍是[7,8].

故選：D.

由線性約束條件作出可行域，化目標函數(shù)z=3x+2y為直線方程斜截式，得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解

的點的坐標，代入目標函數(shù)得答案.

本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題.

4.答案:C

解析：解：對于4圓柱的側面展開圖是矩形，正確；

對于B,球面可以看作一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉180。所形成的曲面，正確;

對于C,直角梯形繞它的直角腰所在直線旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是圓臺，

繞它的非直角腰所在直線旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體不是圓臺，C錯誤；

對于圓柱、圓錐、圓臺中，平行于底面的截面都是圓面，正確.

故選：C.

根據(jù)旋轉體的定義與性質(zhì)，對選項中的命題分析、判斷正誤即可.

本題考查了旋轉體的定義與性質(zhì)應用問題，是基礎題.

5.答案：D

111

解析：解：由％+刁>0得］>—5,即g(%)的定義域為(一萬,+8),排除A,B,C,

故選：D.

求出函數(shù)的定義域，結合9(%)的定義域，進行排除即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，結合函數(shù)的定義域，利用排除法是解決本題的關鍵，是基礎

題.

6.答案：B

解析：解：若丫=sin(%+R)關于y軸對稱，

則9巧+k冗,fcGZ,

故"0=鏟是“曲線y=sin。+9)關于y軸對稱”的充分不必要條件，

故選：B.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合三角函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關鍵.

7.答案：D

解析：解：設等差數(shù)列｛%｝的公差為dr0,

???,g，@4恰好成等比數(shù)，

(2,2=。49

???(。1+d)?=。式的+3d),

化達—d.

嘴嘴=電

故選：D.

設等差數(shù)列｛%｝的公差為dW0,由于由，a2,。屋恰好成等比數(shù)，可得匿=即(%+d)2=。式的+

3d),解出的=d.即可得出.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

8.答案：A

解析:解：由雙曲線的方程可得=16,b2=9,焦點在x軸上,所以漸近線的方程為:y=±/=%,

CL4

即3x±4y=0,

故選：A.

直接由雙曲線的漸近線的定義可得漸近線的方程.

本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬于基礎題.

9.答案：A

解析：試題分析：在“駐點”左右兩側，導數(shù)值由正變負，此為極大值點，由負變正，此為極小值

點。觀察導函數(shù)的圖象可知，最左邊一個是極大值點，接下來是極小值點，非極值點，極大值點。

即函數(shù)翼礴在開區(qū)間獺讖:內(nèi)有極小值點只有一個，選A。

考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的極值

點評：簡單題，求函數(shù)的極值，遵循“求導數(shù)，求駐點，確定單調(diào)性，明確極大(極小)值”。在“駐

點”左右兩側，導數(shù)值由正變負，此為極大值點，由負變正，此為極小值點。

10.答案:B

解析：解：元素與集合的關系是屬于與不屬于的關系，集合與集合的關系是子集、真子集和相等的

關系進行判斷.

a選項是集合的計算，c選項ZUQ,。選項。呈｛0｝,

故選：B.

根據(jù)元素與集合，集合與集合的關系進行判斷即可.

本題主要考查元素與集合、集合與集合的關系，屬于基礎題.

1L答案：2+上更允

2

解析：

本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀.

三視圖復原可知幾何體是圓錐的一半，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)，求出幾何體的表面積.

解：由題目所給三視圖可得，該幾何體為圓錐的一半，

那么該幾何體的表面積為該圓錐表面積的一半與軸截面面積的和.

又該半圓錐的側面展開圖為扇形，所以側面積為工X7TX1X4=在兀，底面積為：?兀，

222

觀察三視圖可知，軸截面是腰為遮，底為為2的等腰三角形，

所以軸截面面積為稱x2x2=2,

則該幾何體的表面積為：2+二匹兀.

2

故答案為：2+上更兀.

2

12.答案:15

解析：解：令x=l可得，其展開式中中所有項的系數(shù)之和2",

根據(jù)題意，有2n=64,解可得律=6,

可得其二項展開式的通項為圖+1=墨?（全廠，

分析可得，r=2時，有方=Cl.（專產(chǎn)=15^

故答案為15.

令x=l可得，其展開式中所有項的系數(shù)之和2”,根據(jù)題意計算可得n=6,進而可得其二項展開式

的通項為「+1=/?《）『，分析可得，令r=2,計算可得答案.

本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，要牢記展開式中中各項的系數(shù)和與二項系數(shù)和的不同意義與各自的求

法.

13.答案：72

Ar*2iJ4+12—4E

解析:在小ABC中，由余弦定理得：cosC=+配一也=---------,==叱，NC=30。.

2AC-BC2x2x2的2

AD_2

在△ADC中由正弦定理，得：二一上=―——，.:丁=耳,故4D=.啦.

sinCsin乙42cT—

14.答案：0

解析：解：圓(%—1)2+(y-2)2=4的圓心C(l,2),半徑丁=2B

弦的中點為。，則|4。|=B，由圓的性質(zhì)得圓心到直線的距離d=l,

■.C到直線的距離為與署=1\/

Va2+1、/

即|a+1|=Va2+1>

平方得a?+2a+1=a2+1,

即2a=0,

解得：a=0,

故答案為：0.

先確定圓心和半徑，然后利用圓中的垂徑定理求得圓心到直線的距離，從而建立關于a的方程，即可

求得a的值.

本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，注意圓中的直角三角形的應用，避免聯(lián)立直線與圓的方程，利用

半徑，半弦，圓心距之間的關系是解決本題的關鍵.

15.答案:30

解析：解：甲同學值日兩天，分其中的一天在周五時，和兩天都不在周五時兩類，

第一類，其中的一天在周五時，另一天，則需要在周一、周二、周三中任選一天，有3種，剩下的三

天任意派給其它三位同學，共有3a=18種，

第二類，兩天都不在周五時，則甲只能在周一、周三，周二、周四，周一、周四，也有3種，乙同學

不值周五，只能從周一到周四中剩下的兩天去選擇，最后排另外兩個人，共有3心?彩=12,

根據(jù)分類計數(shù)原理得，不同的值日種數(shù)為18+12=30.

故答案為：30.

先根據(jù)甲進行分類，然后再分布計算，注意特殊的元素的要求.進而由分步和分類計數(shù)原理，計算

可得答案

本題考查排列、組合的綜合應用，注意分步討論時，優(yōu)先分析受到限制的元素，本題先分析甲，再

分析乙.

16.答案：|5

-1-1O

解析：解：0<b<l，E(X)=I，

???由隨機變量X的分布列知:

往+a+b=1

2

2

<E(X)=a+2h=|,

0<a<1

VO<<1

解得a=i,b=：,

36

???D(3X-1)=9D(X)=9x|=5.

故答案為：I，5.

利用隨機變量的分布列的性質(zhì)、數(shù)學期望列出方程組，求出a,b,從而求出方差，進而能求出結果.

本題考查概率、方差的求法，考查隨機變量的分布列的性質(zhì)、數(shù)學期望等基礎知識，考查運算求解

能力，是中檔題.

17.答案：e

解析：

本題考查基本不等式在求最值中的應用，對數(shù)的運算性質(zhì)，以及等比中項的性質(zhì)，考查化簡、變形

能力.

由題意和等比中項的性質(zhì)列出方程，由條件和基本不等式列出不等式，由對數(shù)的運算性質(zhì)化簡后求ab

的最小值.

解：???仇b成等比數(shù)列，

44

(令2=i/na-Inb,則》a-Inb=%

va>1,b>1,Ina>0,Inb>0,

??.Ina+Inb>2y1Ina-Inb=1,

當且僅當"a=Mb時取等號，

則ln(ab)>1=Ine,即ab>e,

???ab的最小值是e,

故答案為：e.

,萬~,5萬,「411牙59萬

18.答案：(i)^--<X<kir+—,keZ(2*+五=77

解析：試題分析：本題考查三角函數(shù)的倍角公式，輔助角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，以及圖像的平

移，函數(shù)的零點(1)首先利用倍角公式，輔助角公式，把函數(shù)解析式化簡，再根據(jù)周期為萬得。=1；

寫出函數(shù)的增區(qū)間;(2)通過圖像的平移得出函數(shù)解析式g(*)=2sin2x+l,再令g(x)=°得出零點的個

數(shù)，從而求出b的最小值.

(1)由題意得：“垃=2sintuxCOSOJX+2忑sin?cox--j3

=sin2iUK-忑cos2tux=2si?2(yx-y)

由周期為萬，得0=1,得"x)=2s以2x-*,

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：2上"->〃-了2碗+9,

整理得k”-24x4氏"+茬，氏eZ,

所以函數(shù)fO)的單調(diào)增區(qū)間是由"_.，無彳+含內(nèi)eZ

(2)將函數(shù)f⑶的圖象向左平移?個單位，再向上平移單位，得到了=2sin2x+l的圖象,

所以81)=2sin2x+l,

7萬［［牙

令g(x)=°,得1=兀"+看或》=無"+皆(兀｛2)

所以在［°團上恰好有兩個零點，

若，=g。)在［。,句上有I。個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可，即b的最小值為

11"59萬

4萬H--------------

1212

考點：三角函數(shù)公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，圖像的平移，函數(shù)的零點

19.答案：證明：(1)???PA1平面4BCD,BCu平面4BCD,二BC1

PA,

?.?底面4BCD是直角梯形,皿/。。,48LAD,AB=2AD=2AP=

2CD=2,

???AC=BC=Vl2+l2=V2,

：.AC2+BC2=AB2,.-.ACIBC,

■.ACCiPA=A,BC1平面PAC,.-.AE1BC,

PC=vm=vs.

??,E是棱PC上一點，且CE=2PE,

p,V32-\/3

?n??PE=—,CE--，

33

???PA2-PE2=AC2-CE2,：.AE1PC,

BCCPC=C,AE_L平面PBC.(4分)

解：(2)設AC中點為0,CE中點為M,連D。，0M,DM,

則。M//4E,。。_L平面PAC,由(1)知AE_LPC,0M1PC,

由三垂線逆定理知DM1PC,NOMD為二面角2-PC-。的平面角,

DO=—,OM=-AE=—tan^OMD=絲=百，

226OM

.-.乙OMD=60°,

???二面角A-PC-D的大小60。,(12分)

解析：⑴先證8cl平面P2C,可得4E18C,再用勾股定理的逆定理證4E，PC,由此能證明AE，

平面PBC.

(2)設AC中點為。，CE中點為M,連D。，OM,DM,由三垂線逆定理知DM，PC,NOMD為二面角

A-PC-。的平面角，由此能求出二面角a-PC-D的大小.

本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思

維能力的培養(yǎng).

20.答案：解：(1)???當x>1時，/(%)<g(x)恒成立，普WaQ—1),

Inx<a(x—i),設h(X)=a(x—：)—21),則"(x)=a(l+*)—§,

??,h(l)=0,h(x)>0對%>1恒成立，???h'(l)>0,???a>-,

1__,、、

令a——%+a=0,又a>.??△=1—4a2<0,ax2—%+a>0恒成立，

???九'(%)20,???九(%)在[1,+8)上單調(diào)遞增,X^(l)=0,A/i(x)>0,

a>I；

(2)證明：由(1)可知，ln(2九+l)—ln(2/i—1)

2n+112n+12n—1

=ln(---------)<-(----------------------)

v2n-l7-2v2n-12n+V

_4n

4n2-l?

ln(2n+1)=[ln(2n+1)—ln(2n—1)]+[ln(2n—1)—ln(2n—3)]+—F(Zn3—Znl)+Ini

4n4(n—1)4

<------------1---------------------1------1----------------p0

-4n2-14(n-l)2-14-l2-1

4X1,4X2,,4n，

=-4-X-1-2;---1--1--4--X-2-;2---1--r........H---4-X--7;1—2-1

??.得證.

-1

解析：(1)/0)<0(%)等價于九(%)=-Inx>0,求導判斷單調(diào)性求解；(2)利用ln(2n+1)-

ln(2n—1)W1("—")，累加法即可證明.

ZZ71—1Z71+1

本題考查了導數(shù)中恒成立和數(shù)列放縮的內(nèi)容，難度一般，需要學生擅于觀察題目的條件，屬于中檔

題.

21.答案：解：(1)設：曲線C(x,y),C上每一點到點尸(2,0)的距離減去它至如軸距離的差都是2.

可得J(久-2尸+產(chǎn)—x=2,

化簡整理可得：y2=8x.

y2

(八a=|x-y+3|=『y+3|=I(y-4)2+8|.

1J-V2-V2-8V2

??.y=4,即P(2,4)時，dmin^.

解析：Q)利用已知條件轉化求解軌跡方程即可.

(2)利用點到直線的距離公式，求出表達式，然后求解最小值即可.

本題考查拋物線方程的求法，考查點到直線的距離的求法，考查計算能力，是中檔題.

22.答案：解：(1