第1課時　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 高一數(shù)學

2.3

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式第1課時

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預習·新知導學一、一元二次不等式1.給出下面四個不等式:①x2-x-6>0;

②x2-x-6≤0;③x2-4x+4≥0; ④2x2+x+5<0.(1)以上四個不等式中,每個不等式含有幾個未知數(shù)?未知數(shù)的最高次數(shù)是多少?(2)在上述不等式①②中,對應方程x2-x-6=0的實數(shù)根是什么?提示:(1)含有一個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是2.(2)x1=-2,x2=3.2.(1)一般地,我們把只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均為常數(shù),a≠0.(3)一般地,對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點.3.二次函數(shù)y=x2-4x+4的零點是x=2.二、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系1.函數(shù)y=x2-x-6的圖象及部分對應值表如圖所示.根據(jù)圖表,你能說出方程x2-x-6=0的解嗎?你能說出不等式x2-x-6>0的解集嗎?x2-x-6<0呢?提示:x=-2或x=3;{x|x<-2,或x>3};{x|-2<x<3}.2.

3.(1)不等式x2≤1的解集是(

)A.{x|x≤1} B.{x|x≤±1}C.{x|-1≤x≤1} D.{x|x≤-1}(2)不等式2x≤x2+1的解集為(

)A.?

B.RC.{x|x≠1} D.{x|x>1,或x<-1}解析:(1)令x2-1=0,其兩根分別為x1=-1,x2=1,故x2≤1的解集為{x|-1≤x≤1}.(2)∵2x≤x2+1,∴x2-2x+1≥0,即(x-1)2≥0,故2x≤x2+1的解集為R.答案:(1)C

(2)B【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.

合作探究·釋疑解惑探究一

解一元二次不等式【例1】

解不等式:(1)2x2-3x-2>0;

(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0.圖①

解:(1)對于方程2x2-3x-2=0,因為Δ>0,所以它有兩個不相等的實數(shù)根.(2)原不等式可化為3x2-6x+2<0.對于方程3x2-6x+2=0,因為Δ=36-4×3×2=12>0,所以它有兩個不相等的實數(shù)根,圖②

圖③(4)對于方程x2-2x+2=0,因為Δ<0,所以方程x2-2x+2=0無實數(shù)根.畫出二次函數(shù)y=x2-2x+2的圖象(圖④),結合圖象得不等式x2-2x+2>0的解集為R.圖④反思感悟1.在解一元二次不等式時,需求出所對應的一元二次方程的根,可借用求根公式法或因式分解法求解,并根據(jù)數(shù)形結合寫出解集.2.解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟:(1)通過對不等式的變形,使不等式右側為0,使二次項系數(shù)為正;(2)對不等式左側因式分解,若不易分解,則計算對應方程的判別式;(3)求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程無實數(shù)根;(4)根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)圖象的草圖;(5)根據(jù)圖象寫出不等式的解集.【變式訓練1】

求下列一元二次不等式的解集.(1)x2-5x>6;(2)x2-6x+9≤0;(3)-x2+2x+8>0.解:(1)由x2-5x>6,得x2-5x-6>0.對于方程x2-5x-6=0,因為Δ>0,所以它有兩個不相等的實數(shù)根,解得x1=-1,x2=6,所以原不等式的解集為{x|x<-1,或x>6}.(2)由x2-6x+9≤0,得(x-3)2≤0,故原不等式的解集為{x|x=3}.(3)原不等式可化為x2-2x-8<0,由于Δ>0,則方程x2-2x-8=0有兩個不等實根,即x1=-2,x2=4,故原不等式的解集為{x|-2<x<4}.探究二

簡單分式不等式的解法分析:(1)轉化為一次項系數(shù)為正值時的整式不等式求解.(2)移項通分,轉化為(1)的形式求解.反思感悟分式不等式的同解變形(設y1,y2分別是關于x的整式)探究三

解含參數(shù)的一元二次不等式【例3】

解關于x的不等式x2-2ax-8a2<0.解:不等式x2-2ax-8a2<0可化為(x+2a)(x-4a)<0,方程x2-2ax-8a2=0的兩根為x1=-2a,x2=4a.當-2a=4a,即a=0時,不等式即為x2<0,解集為?;當-2a>4a,即a<0時,得4a<x<-2a;當-2a<4a,即a>0時,得-2a<x<4a.綜上所述,當a=0時,原不等式的解集為?;當a<0時,原不等式的解集為{x|4a<x<-2a};當a>0時,原不等式的解集為{x|-2a<x<4a}.將本例不等式改為“x2-(a+1)x≥-a”,求此不等式的解集.解:原不等式化為(x-1)(x-a)≥0,相應方程的兩根為x1=1,x2=a,故應比較1與a的大小.故應比較1與a的大小.當a>1時,原不等式的解集為{x|x≤1,或x≥a}.當a=1時,原不等式的解集為R.當a<1時,原不等式的解集為{x|x≤a,或x≥1}.反思感悟1.本例中不等式對應的方程有實根,只是兩根的大小由參數(shù)的取值范圍決定,故按根的大小討論參數(shù).2.解含參數(shù)的一元二次不等式時的討論原則:(1)若二次項系數(shù)含有參數(shù),則需先對二次項系數(shù)等于0與不等于0討論,當二次項系數(shù)不為0時,再按大于0或小于0討論.(2)若不等式對應的一元二次方程根的情況不確定,則需對其判別式Δ進行討論.(3)若求出的根中含有參數(shù),則應對兩根的大小進行討論.【變式訓練3】

解關于x的不等式ax2-x>0.易

錯

辨

析忽視對參數(shù)的分類討論致錯【典例】

解關于x的不等式x2-2ax+3≥0(a∈R).以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你