2024屆湖北省武漢市江岸區(qū)高三上學(xué)期1月調(diào)考數(shù)學(xué)試題及答案

2023~2024學(xué)年度高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.2xBx0A21x，則AB1.已知集合，（）1,2121D.A.B.C.Rpq）2.已知i是關(guān)于x的方程2x2pxq0（p，q）的一個根，則（）2A.0B.C.2D.14a,bc，則（a3.已知向量，b2，5555A.B.C.D.53105ax在區(qū)間f(x)x2a4.函數(shù)上遞增，則）2[2,)(2,)2]D.AB.C.n1an是數(shù)列是等差數(shù)列的（）anSn項和為，則a5.若數(shù)列“Sn”“”nn2A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件6.成語“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，意思是在小小的軍帳之內(nèi)作出正確的部署，決定了千里之外戰(zhàn)場上的勝利，說的是運籌的重要性.“帷幄”是古代打仗必備的帳篷，又稱“幄帳”，如圖是一種幄帳示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底面.若各斜坡面與底面所成二面角的正切值1均為，底面矩形的長與寬之比為2:1，則正脊與斜脊長度的比值為（）24335423A.B.C.D.4第1頁/共5頁x2y1上不同兩點，下列點中可為線段AB的中點的是（27.已知A，B為雙曲線）122,1A.B.C.D.(2,13CBAabsin（8.已知在中，，sinB，則sin）221010232D.AB.C.333二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.ABCD的棱長為1，則下列四個命題正確的是（19.如圖，正方體）1112ABCD的內(nèi)切球的半徑為1A.正方體1112πB.兩條異面直線C和BC所成的角為13π1DC.直線BC與平面所成的角等于143ACDD.點D到面的距離為1210.已知圓O:x2y21和圓C:(x2(y4)2r2(r0)，則（）A.兩圓可能無公共點B.若兩圓相切，則r4C.直線x=1可能為兩圓的公切線37kD.當(dāng)r4時，若ym為兩圓的公切線，則或，4241317P(A)P(B)P(AB)11.設(shè)A，B是一次隨機試驗中的兩個事件，且，，則（）4第2頁/共5頁5613PABPBAD.P(AB)PBAA.A，B相互獨立B.C.12.已知函數(shù)fxexgxkxx，k0，則（，）A.當(dāng)ke時，函數(shù)有兩個零點fxk，使得函數(shù)與零點個數(shù)不相同fxgxB.存在某個C.存在ke，使得fx與有相同的零點gxD.若函數(shù)有兩個零點，有兩個零點，，一定有xx2314fxx,xxx2gx3xxx412143三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知如下的兩組數(shù)據(jù)：第一組：10、11、12、15、14、13第二組：12、14、13、15、a、16a若兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則實數(shù)的值為_________.πfxsinxsinx14.若函數(shù)03πω的取值范圍是______________．15.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為32的正四棱柱構(gòu)成，如圖所示，則該“十字貫穿體”的體積為_______．x22y22x2y221ab0和C1有相同的焦點F1F，，離心率分別為216.如圖，橢圓1：：11222abab11212e1e2FPFPF1，B，P三點共線且垂足P在橢圓C，，B為橢圓1的上頂點，，的最大值212是______.第3頁/共5頁四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.2BCBC17.在中，角,B,C所對的邊分別是a,b,c．已知．bcabac（1）求A；DABA3C，求．（2）D為BC邊上一點，，且18.如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點，AB4，2.將VADE沿AE折起，使點D到達點P的位置，使平面APE平面ABCE.（1）求證：；（2）求平面與平面PBE夾角的余弦值.fxeaexaR.19.已知函數(shù)x（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；fx（2）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.fxaxa滿足：存在等比數(shù)列，使得集合元素個數(shù)不大于，則稱cnNkkN*xncnxn*20.若數(shù)列n數(shù)列具有性質(zhì).如數(shù)列x1n，存在等比數(shù)列n(，使得集合xcnN*0,2，則xP(k)nnnnn21數(shù)列具有滿足a性質(zhì).若數(shù)列，n1(nN*，記數(shù)列的前xP(2)10nan項nnn2S和為.證明：n（1）數(shù)列n(n為等比數(shù)列；（2）數(shù)列具有性質(zhì).SP(2)n21.已知一個盒子中裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外全部相同.每次從盒子中隨機取出1個球，第4頁/共5頁n并換入1個黑球，記以上取球換球活動為1次操作.設(shè)次操作后盒子中所剩黑球的個數(shù)為.（1）當(dāng)（2）當(dāng)n3時，求的分布列；nk(k時，求E).的分布列和數(shù)學(xué)期望22.已知拋物線1:x24y的焦點為F，M為拋物線C2:x24(y上一點，且在第一象限內(nèi).過M作拋物線1的兩條切線，，A，B是切點；射線交拋物線于D.C2（1）求直線AB的方程（用M點橫坐標0（2）求四邊形MADB面積的最小值.第5頁/共5頁2023~2024學(xué)年度高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.2xBx0A21x，則AB1.已知集合，（）1,2121D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)分式不等式求出集合B，再根據(jù)集合的交集運算即可求解．01x02x1x2x1x，0Bx2x1-2￡x<1，所以【詳解】由，即，解得A2，所以AB1．又故選：B．pxq0qRpq（2.已知i是關(guān)于x的方程2x2（p，）的一個根，則）2A.0B.C.2D.1【答案】C【解析】p,q【分析】把根代入方程，利用復(fù)數(shù)的相等求出即可【詳解】i是關(guān)于x的方程2xpxq0的一個根，22piq0pq2pq2.把i代入方程，有，則有，所以故選：C4aa,bc3.已知向量，b2，，則（）5555A.B.C.D.53105【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示及夾角公式求解即可.第1頁/共23頁4a【詳解】因為，b2，，所以a10，bc2，abc4bc22則，，abc455a,bc故．a(chǎn)bc1022故選：A．a(chǎn)x在區(qū)間f(x)x2a上遞增，則的取值范圍是（4.函數(shù)）2[2,)(2,)2]D.A.B.C.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.ayx2axx的對稱軸為：【詳解】二次函數(shù)，2ax在區(qū)間上遞增，f(x)x2因為函數(shù)2a1a22所以有，1a02故選：An1an的前項和為，則Sn是數(shù)列是等差數(shù)列的（）ana5.若數(shù)列“Sn”“”nn2A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件【答案】C【解析】D.既不充分也不必要條件【分析】an1n1an(n1(na1(n2)anSn，Sn1，得①，同理n122(n2)an21(nan1②，綜合①，②，得2n1nn2可得，充分性得證，即可得到本題答案.第2頁/共23頁【詳解】必要性顯然成立；下面來證明充分性，an1naa(n1Sn1n，所以當(dāng)…2時，Sn1若，222anaa(naa，化簡得(na1(n2)a①，n所以n1n1n1n1…3時，(n2)a1(nan1②，所以當(dāng)n2①②得，所以a，即數(shù)列是等差數(shù)列，充分性得n2(n2)a(n2)aan22n1nn2n1nn1anSn證，所以“故選：C.是等差數(shù)列的充要條件a”是“數(shù)列”.n2【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷與證明的問題，考查推理能力，屬于中等題.6.成語“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，意思是在小小的軍帳之內(nèi)作出正確的部署，決定了千里之外戰(zhàn)場上的勝利，說的是運籌的重要性.“帷幄”是古代打仗必備的帳篷，又稱“幄帳”，如圖是一種幄帳示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底面.若各斜坡面與底面所成二面角的正切值1均為，底面矩形的長與寬之比為2:1，則正脊與斜脊長度的比值為（）24335423A.B.C.D.4【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖形，多面體ABNM中，取AB的中點C，做CQ//BN交MN于Q，做DE底面ABNMEDHE、，于點，坡面與底面所成二面角的為1tantanDCE1，得斜脊ADAB4，設(shè)，因為矩形寬，長為8，得，可得答2案.【詳解】如圖，多面體ABNM中，取AB的中點C，做CQ//BN交MN于Q，做DE底面ABNM于E點，則E點在CQ上，且點到BN、AM的距離相等，即，做E2EHAB第3頁/共23頁于H點，連接，EHE，則AM平面，ECEDCE平面，所以所以，所以坡面與底面所成二面角為DHE，又，則，坡面與底面所成二面角為，1tantanDCE所以正切值，2不妨設(shè)1，CE2，可得斜脊AD1443，因為矩形寬AB4，4所以長為8，這樣正脊故選：B.8224，所以正脊與斜脊長度的比值為4:3即.3x2y21上不同兩點，下列點中可為線段AB7.已知A，B為雙曲線的中點的是（）122,1A.B.C.D.(2,【答案】B【解析】【分析】利用點差法結(jié)合選項得出AB方程，再與雙曲線方程聯(lián)立一一驗證是否有兩個不同交點即可.【詳解】設(shè)AB的中點，Cx,y,Ax,y,Bx,y2001121y2xx2x,yy2y,kAB所以易知，1201201221y112x，x22y212由點差法可得xxxxyyyy021212121yyyy2020001212kAB1kAB，xxx1x212若，此時l:yx1，C1k第4頁/共23頁yx1x2x11x1，x22與雙曲線聯(lián)立x2y12即l與雙曲線只有一個交點，故A錯誤；2253C3，則此時kl:yx若，ABAB333y2x59x294x20x252與雙曲線聯(lián)立x2y125454x25x22，5即l與雙曲線有兩個交點，故B正確；2,1，則此時若Ck2,lAB:y2x2，ABy2x12x212x222x1x20x2與雙曲線聯(lián)立，x2y12即l與雙曲線有一個交點，故C錯誤；123C，則此時klAB:y2x若，AB232y2x914x214x26x3x120，顯然無解，與雙曲線聯(lián)立4x2y12即l與雙曲線沒有交點，故D錯誤；故選：B13CBAabsin（8.已知在中，，sinB，則sin）221010232D.A.B.C.333【答案】A【解析】sinA基本關(guān)系式可求三角函數(shù)式的值.CBAABAB【詳解】sinsinsin2222第5頁/共23頁ABABABABsinsinsinsin22222222AABB2sinsin222π2且因為ab，故sinA2sinBB，Bπ23BB，且sinAsin0，故，故24222BBBB22故sinsin1sinB，，2223AπAAsin0，而，故22222AAAA253故故sinsinsinsin1sinA222CBA10223故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.ABCD的棱長為1，則下列四個命題正確的是（19.如圖，正方體）1112ABCD的內(nèi)切球的半徑為1A.正方體1112πB.兩條異面直線C和BC所成的角為13π1DC.直線BC與平面所成的角等于14第6頁/共23頁3ACDD.點D到面的距離為12【答案】BC【解析】AC,CDC和BC所1【分析】根據(jù)正方體和內(nèi)切球的幾何結(jié)構(gòu)特征，可判定A錯誤；連接為正三角形，可判定B正確；證得C和AD△ACDC1，把異面直線1成的角的大小即為直線所成的角，平面11DBC1D所成的角，可判定C正確；結(jié)合等體積法，得到1，進而求得直線與平面1DV，進而可判定D錯誤.11ABCDABCD的棱長的一1111【詳解】對于A中，正方體的內(nèi)切球的半徑即為正方體11111R半，所以內(nèi)切球的半徑對于B中，如圖所示，連接，所以A錯誤.2AC,CD，1AB//1D1D1D1//，1因為且，則四邊形為平行四邊形，所以111所以異面直線C和BC所成的角的大小即為直線C和ADC所成的角的大小，11又因為ACADDC2，則△ACD為正三角形，即C，所以B正確；1113BC1CCBC中，11對于C中，如圖所示，連接，在正方形.11CCBCCCC，所以.因為平面，平面11111I1B，AB平面1D11D平面，，又因為11π所以C平面1D，所以直線BC與平面1D1所成的角為，114所以C正確；第7頁/共23頁ACD△ACD為正三角形，1對于D中，如圖所示，設(shè)點D到面的距離為h，因為11π3所以Vsin1,232111ADCD，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：VDSV又因為，D221111133112hSACDSh3即，即1，解得h，所以D錯誤.1ACD332331故選：BC.10.已知圓O:x2y21和圓C:(x2(y4)2r2(r0)，則（）A.兩圓可能無公共點B.若兩圓相切，則r4C.直線x=1可能為兩圓的公切線37kD.當(dāng)r4時，若ym為兩圓的公切線，則或424【答案】ACD【解析】【分析】先根據(jù)題意求出圓O和圓C的圓心距為d5，當(dāng)d1r即可判斷A；分兩圓外切和內(nèi)切兩種情況即可判斷B；當(dāng)r2時即可判斷C；結(jié)合選項B可得，當(dāng)r圓心到直線的距離分別為1和4即可判斷D．4時，兩圓外切，再根據(jù)圓O和圓C的【詳解】由圓O的圓心為0，圓C的圓心為4，則圓的圓心距為dO和圓C2425，d1r0r4時，兩圓可能相離，即無公共點，故對于A，當(dāng)，即A正確；d1rr4rd1，得r6對于B，當(dāng)兩圓外切時，，得；當(dāng)兩圓內(nèi)切時，，故B錯誤；對于C，當(dāng)r2時，直線x=1可能為兩圓的公切線，故C正確；對于D，結(jié)合選項B可得，當(dāng)r4時，兩圓外切，第8頁/共23頁m11k2347kk，故D正確．則有，解得或km42441k2故選：ACD．1147P(A)P(B)P(AB)，11.設(shè)A，B是一次隨機試驗中的兩個事件，且，，則（）351PABPBAD.P(AB)PBAA.A，B相互獨立B.C.63【答案】ABD【解析】AB可判定C、D.234P()1PA,PB1PB【詳解】由題意可知，3AB,ABPPPA,PPPB事件所以互斥，且，7P(ABAB)PABPABPAPB2PAB，12217162PABPABPAPB，故A正確；即則3412P(AB)PAPBPPAPBPAPB1313343456，故B正確；1PABPA141362PBA由條件概率公式可知：，故C錯誤；311PBPABPAB13PAB461，即PBPB421PBAPAPAB34PBA362，故D正確.PABPBAPAPA3故選：ABD12.已知函數(shù)fxexgxkxx，k0，則（，）第9頁/共23頁A.當(dāng)ke時，函數(shù)有兩個零點fxk，使得函數(shù)與零點個數(shù)不相同fxgxB.存在某個C.存在ke，使得fx與有相同的零點gxD.若函數(shù)有兩個零點，有兩個零點，，一定有xx231fxx,xxx2gx3xxx4121434【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點存在性定理及同構(gòu)式一一判定選項即可.【詳解】由fxexfxekk0，x令fx0xk，令fxxk，0即在,lnk上單調(diào)遞減，在k,上單調(diào)遞增，fx即fk，fxfxfkk1k0，ke對于A項，當(dāng)時，則又易知f010exfx0，x，且時，根據(jù)零點存在性定理可知函數(shù)在k和k,內(nèi)各有一個零點，故A正確；fxfxf0，則fxke對于B項，當(dāng)時，此時有一個零點，fxfkk1k0fx無零點，0ke當(dāng)時，，則此時gxkxxexkxfx又易得，k，函數(shù)fxgx的零點個數(shù)相同，故B錯誤；則的零點個數(shù)與keyfxx,x,xkx對于C項，由A、B項結(jié)論可知：當(dāng)時，有兩個零點，1212同時有兩個零點，gxx3xx，4x34xxyx單調(diào)遞增可知，存在唯一的3,x31則根據(jù)滿足成立，442fx01fx02gxfx33有，gxfx44xxxe1，2若C正確，則只能有，即23第10頁/共23頁e1e22e2e2k由題意易知：，12222exx1exx0,1,0時，hx0，令hxhx，則xx2xhx0hx在,,0上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，，故且x0時，hx0，x0時，，hxh1exx1x，滿足hxhx，22所以222fx與gx有相同的零點，故C正確；kex2x3即存在，使得ke對于D項，由C項結(jié)論可知，此時，e13e1e23124kxxxx，故D正確.則由xe21214234綜上：ACD正確.故選：ACD【點睛】難點點睛：可以先利用導(dǎo)數(shù)含參討論函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點存在性定理判定零點個數(shù)，對于第二項，注意觀察兩個函數(shù)的解析式，利用同構(gòu)式判定可零點之間的聯(lián)系；第三項，構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性可判定同構(gòu)式是否有解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知如下的兩組數(shù)據(jù)：第一組：10、11、12、15、14、13第二組：12、14、13、15、a、16a若兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則實數(shù)的值為_________.【答案】11或17【解析】【分析】根據(jù)方差公式及其變形即可得到方程，解出即可.101112131415x12.5，【詳解】第一組的平均數(shù)61213141516aa70x第二組的平均數(shù)，66則第一組的方差為1012.521112.521212.521312.521412.521512.523512s2，6第11頁/共23頁則第二組的方差為a2082222a2a25a222s，66解得a11或17.故答案為：11或17.πfxsinxsinx14.若函數(shù)03πω的取值范圍是______________．2313,【答案】63【解析】π6fx3sinx【分析】先化簡函數(shù)式得，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用整體代換計算即可.π6fx3sinx【詳解】由三角恒等變換可得，ππ6πxπx,π時，有，66π9π2313634ππ,若要滿足題意則需：.622313,故答案為：6315.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為32的正四棱柱構(gòu)成，如圖所示，則該“十字貫穿體”的體積為_______．第12頁/共23頁5623【答案】【解析】【分析】根據(jù)總體積減去重疊部分的體積求解即可；【詳解】如圖，兩個正四棱柱的重疊部分為多面體CDGEST，取的中點I，則多面體CDGEST可以分成8個全等三棱錐CGEI，1S222,21322則C22,316235623則該“十字貫穿體”的體積為:V2122C242,562故答案為：.3x22y22x2y221ab0和C1有相同的焦點F1F，，離心率分別為216.如圖，橢圓1：：11222abab11212e1e2FPFPF1，B，P三點共線且垂足P在橢圓C，，B為橢圓1的上頂點，，的最大值212是______.第13頁/共23頁21【答案】【解析】21212【分析】將表示為三角函數(shù)的形式，然后根據(jù)三角恒等變換以及三角函數(shù)最值的知識求得的最大值.cc2c21e11e，2【詳解】由圖知1BFa22a2PF211PF2eπ11F,0，設(shè)12則則則，22BF21cPFPF2csin，BF112cose121cos212sincoscossincos2sin22π142sin，2ππ5ππ4,sin1，由于所以444e122π112sin.242221故答案為：2a,c【點睛】方法點睛：求解橢圓的離心率，方法有很多，如根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的離心率；a,ca,b的齊次式，先求得如根據(jù)已知條件求得的齊次式，從而求得橢圓的離心率；如根據(jù)已知條件求得bacc2a2b2ba2，然后利用e1求得橢圓的離心率.aa2a2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.2BCBC17.在中，角,B,C所對的邊分別是a,b,c．已知．bcabac（1）求A；BA3C，求．（2）D為BC邊上一點，，且2π【答案】（1）A3第14頁/共23頁71938（2）【解析】1）已知等式去分母，正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式化簡，可得角A；32cbaC，再結(jié)合余弦定理求和（2）由BA且，利用向量法求得.【小問1詳解】2BCBC已知，bcabac由BCπA，有BCA，2ABC所以，bcabac兩邊同乘以abc得：2aAcBbcosC．2sinAAsinCBcosCsinBsinBCsinA由正弦定理得：．122πAπ，A，sinA0A由，所以．3【小問2詳解】取、AC為平面向量的基底．因為D在BC邊上，且3，331434所以．4414340因為BA，所以ADAB0，則223A即AB3ACAB0，得，3cbc2cb2所以，．2不妨設(shè)b2，c3．2bc2c19497192bcA49619，所以a19．在中，由余弦定理：aa2b22C由余弦定理：．2ab21923818.如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點，AB4，2.將VADE沿AE折起，使點D到達點P的位置，使平面APE平面ABCE.第15頁/共23頁（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析13（2）13【解析】1）結(jié)合長度關(guān)系可整的AEB90，即⊥，應(yīng)用平面垂直于平面的性質(zhì)定理即可證明；POAEO作Oy//，,Oy,（2【小問1詳解】.ABCDE為CD的中點，因為四邊形為平行四邊形，由AB4，2，則VADE為等邊三角形，所以BCE120.則CECB，所以為等腰三角形，可得CEB30，AEB180AEDBCE90，ABCEAPE平面，即⊥，因為平面APE平面，平面平面ABCE，則平面，且AP平面，所以.【小問2詳解】POAE，過O作Oy//作，ABCEABCE面得面由面APE則,Oy,P3)，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系.0)E(1,0,0)，B(1,2,0)，C(3,0)，3m的一個法向量為x,y,z111設(shè)平面mPA0x3z11可取m(，由知mAC0y3x11第16頁/共23頁同理得平面的一個法向量n(3,.的夾角為.設(shè)平面與平面mn3113213cos則.|m||n|1313與面夾角的余弦值為面.13fxeaexaR.19.已知函數(shù)x（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；fx（2）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式【答案】（1）答案見解析.恒成立，求實數(shù)的取值范圍.fxaxa1,（2）e【解析】1）求導(dǎo)以后對導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)進行分類討論，根據(jù)不同的分類判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)第1問的結(jié)論，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大（?。┲祮栴}，構(gòu)造新函數(shù)，求出的范圍.【小問1詳解】fxeae函數(shù)xxaR，xRf(x)(ea)ex1，，則e0aef(x)0當(dāng)，即時，恒成立，即f(x)在R上單調(diào)遞增；aef(x)0xln(ae)ln(ae)當(dāng)ea0，即時，令，解得，(,ln(ae))(ln(ae),)xf(x)+0f(x)↗極大值↘ae綜上所述，當(dāng)是，f(x)在R上單調(diào)遞增；第17頁/共23頁ae(,ln(ae))(ln(ae),)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，f(x)在【小問2詳解】f(x)a(ea)exa0h(x)(ea)exaxx等價于，令，aeaeha)(eaa10h(x)≤不恒成立，不合題意.0當(dāng)當(dāng)時，，所以，f(x)aaf(a)時，等價于f(x)f(ln(ae))1ln(ae)由（1）可知，1ln(ae)a1ln(ae)aeae對有解，所以，對有解，所以a1ln(ae)ae因此原命題轉(zhuǎn)化為存在，使得.aln(ae)1令u(a)，ae，則u(a)，aaeln(ae)ln(ae)1aeae，u(a)a2a2a2e1e令(a)ln(ae)，則(a)0，aeae(a2e所以(a)在(e,)ea2e上單調(diào)遞增，又ln(2ee)0，(2e)2ee(a)0，u(a)0，故u(a)在(e,2e)所以當(dāng)時，上單調(diào)遞減，(a)0，u(a)0，故u(a)在(2e,+)上單調(diào)遞增，a時，當(dāng)11e所以u(a)u(2e)，所以，e1e即實數(shù)的取值范圍是,.1ln(ae)ae【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，問題化為存在，使得，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最小a值，即可得范圍.滿足：存在等比數(shù)列，使得集合元素個數(shù)不大于，則稱cnNkkN*xncnxn*20.若數(shù)列n數(shù)列具有性質(zhì).如數(shù)列x1n，存在等比數(shù)列n(，使得集合xcnN*2，則xP(k)nnnn第18頁/共23頁n21數(shù)列具有滿足a性質(zhì).若數(shù)列，n1(nN*，記數(shù)列的前xP(2)10nan項nnn2S和為.證明：n（1）數(shù)列n(n為等比數(shù)列；（2）數(shù)列具有性質(zhì).SP(2)n【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】1）設(shè)nn(，求出b和b，求出b和b的關(guān)系即可證明；1n1n1nnn2132aSrn（2）由（1）求出，求出，設(shè)數(shù)列即可證明.nn【小問1詳解】設(shè)nn(1，，則bn1a12a121n1an1(n1n(n(nn(bn.n222n11212n(n因此數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，且n(n；【小問2詳解】n11n1n11(n1(211(622132Snn由（1取數(shù)列ra(n1，所以，n1221n21是等比數(shù)列，rn，則n32112133SnN,Sr(n*并且，因此集合，nnnn62所以數(shù)列具有性質(zhì).SP(2)n21.已知一個盒子中裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外全部相同.每次從盒子中隨機取出1個球，n并換入1個黑球，記以上取球換球活動為1次操作.設(shè)次操作后盒子中所剩黑球的個數(shù)為.（1）當(dāng)n3時，求的分布列；第19頁/共23頁nk(k時，求E).（2）當(dāng)?shù)姆植剂泻蛿?shù)學(xué)期望【答案】（1）分布列見解析k2（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為323【解析】1）首先分析題意，列出再一次計算可能即可.n3，即3的可能取值為，，，次摸換球后123（2）利用（1）中題意，進行分析即可，最后算出答案.【小問1詳解】n3，即次摸換球后3的可能取值為1，，23.1當(dāng)，即3次摸球都摸到黑球，111P333271當(dāng)2，即3次摸球中有且僅有2次摸到黑球，1次白球，P2)PPP黑黑白黑白黑白黑黑11212222233333333314273當(dāng)，即3次摸球中有且僅有1次摸到黑球，2次白球，PPPP黑白白白白黑1212212113333333312.27分布列為122114271227P27nk(k次摸球換球后，黑球個