2018-2019學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2018-2019學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分，每小題給出4個選項，其中只有一

個是正確的）

2.（3分）下列所給各點(diǎn)中，反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過的是（）

A.(-2,4)B.(-1,-8)C.(-4,2)D.(3,5)

3.（3分）某時刻，測得身高1.8米的人在陽光下的影長是1.5米，同一時刻，測得某旗桿

的影長為12米，則該旗桿的高度是（）

A.10米B.12米C.14.4米D.15米

4.（3分）已知尤=1是一元二次方程/+加?2=0的一個解，則機(jī)的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.（3分）如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的高之比為1：3,則兩三角形的面積比為（）

A.2：3B.1：3C.1：9D.1：73

6.（3分）甲袋里有紅、白兩球，乙袋里有紅、紅、白三球，兩袋的球除顏色不同外都相同,

分別往兩袋里任摸一球，則同時摸到紅球的概率是（）

A.LB.1C.LD.工

3456

7.（3分）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)

34

8.(3分)如圖，lA//h//lv直線a，6與11、b、七分別相交于A、B、C和點(diǎn)。、E、F,

若空_=2,DE=6,則EF的長是()

9.(3分)已知關(guān)于x的方程a?+2x-2=0有實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.心_工B.a^-1-C.心-1且*0D.a>-L且aWO

2222

10.(3分)某商品原價為100元，第一次漲價40%,第二次在第一次的基礎(chǔ)上又漲價10%,

設(shè)平均每次增長的百分?jǐn)?shù)為x,那么尤應(yīng)滿足的方程是()

Ax=40%+10%_

,2-

B.100(1+40%)(1+10%)=(1+無)2

C.(1+40%)(1+10%)=(l+.r)2

D.(100+40%)(100+10%)=100(1+x)2

11.(3分)如圖是二次函數(shù)y="2+bx+c(aWO)的圖象，根據(jù)圖象信息，下列結(jié)論錯誤的

是()

A.abc<0B.2?+/?=0C.4a-2b+c>0D.9G+3Z?+C=0

12.(3分)如圖，A、C是反比例函數(shù)y=±-(%>0)圖象上的兩點(diǎn)，B、。是反比例函數(shù)

x

y=—(x>0)圖象上的兩點(diǎn)，已知A8〃C0〃y軸，直線A3、分別交了軸于E、F,

x

根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論正確的有()

①②2一今<4嚕端

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）

13.（3分）二次函數(shù)y=/-4x+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

14.（3分）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形0ABe的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,4）,頂點(diǎn)C在x軸

的正半軸上，則NA0C的角平分線所在直線的函數(shù)關(guān)系式為.

15.（3分）如圖，大樓底右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一棟小樓。E,在小樓的頂端

D處測得障礙物邊緣點(diǎn)C的俯角為30°,測得大樓頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B,C,E

在同一水平直線上）.已知A8=40m,DE=10m,則障礙物B,C兩點(diǎn)間的距離為

m.（結(jié)果保留根號）

□

□

□

□

□

□

□

□

16.（3分）如圖，點(diǎn)E是矩形A8CQ的一邊的中點(diǎn)，BfUCE于F,連接AF；若A8

=4,AD=6,則sin/A戶E=

B

三、解答題（本題共7小題，其中第17題5分，第18題6分，第19題7分，第20題8

分，第21題8分，第22題9分，第23題9分，共52分）

17.（5分）計算：tan45°-tan%。。+sin30°-J5cos30°.

18.（6分）解方程：2（x-3）2=尤-3.

19.（7分）如圖，四張正面分別寫有1、2、3、4的不透明卡片，它們的背面完全相同，現(xiàn)

把它們洗勻，背面朝上放置后，開始游戲.游戲規(guī)則如下：

連摸三次，每次隨機(jī)摸出一張卡片，并翻開記下卡片上的數(shù)字，每次摸出后不放回，如

果第三次摸出的卡片上的數(shù)字，正好介于第一、二次摸出的卡片上的數(shù)字之間，則游戲

勝出，否則，游戲失敗.問：

（1）若已知小明第一次摸出的數(shù)字是4,第二次摸出的數(shù)字是2,在這種情況下，小明

繼續(xù)游戲，可以獲勝的概率為.

（2）若已知小明第一次摸出的數(shù)字是3,求在這種情況下，小明繼續(xù)游戲，可以獲勝的

概率（要求列表或用樹狀圖求）

0000

20.（8分）如圖，E、歹是正方形ABC。對角線AC上的兩點(diǎn)，且連接8￡、

DE、BF、DF.

（1）求證：四邊形8瓦不是菱形:

（2）求tan/AFZ）的值.

21.（8分）某商場購進(jìn)一種每件價格為90元的新商品，在商場試銷時發(fā)現(xiàn)：銷售單價元

/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關(guān)系.

（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出售價定為多少時，每

天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

22.（9分）如圖，點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=-邁（尤＜0）圖象上的一動點(diǎn)，出，無軸于點(diǎn)A,

X

在直線y=A/不上截取。2=小（點(diǎn)2在第一象限），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,2/牛，連接

AC、BC、OC.

（1）填空：0C=，/BOC=；

（2）求證：△AOCs/iCOB；

（3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，/ACB的大小是否會發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變,

則求出它的大小.

23.（9分）如圖，拋物線交無軸于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C,直線

y=-馬+3經(jīng)過點(diǎn)C與x軸交于點(diǎn)。，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）.

4

（1）請你直接寫出CD的長及拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求點(diǎn)8到直線CD的距離；

（3）若點(diǎn)尸是拋物線位于第一象限部分上的一個動點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至何處時，恰好使

ZPDC=45°?請你求出此時的P點(diǎn)坐標(biāo).

2018-2019學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)九年級（上）期末數(shù)

學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分，每小題給出4個選項，其中只有一

個是正確的）

1.（3分）如圖，墨水瓶的瓶蓋和瓶身都是圓柱形，則它的俯視圖是（）

【考點(diǎn)】U2：簡單組合體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】直接利用俯視圖即從物體的上面往下看，進(jìn)而得出視圖.

【解答】解：墨水瓶的瓶蓋和瓶身都是圓柱形，則它的俯視圖是:

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了簡單組合體的三視圖，注意觀察角度是解題關(guān)鍵.

2.（3分）下列所給各點(diǎn)中，反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過的是（）

x

A.（-2,4）B.（-1,-8）C.（-4,2）D.（3,5）

【考點(diǎn)】G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行判斷.

【解答】解：V-2X4=-8,-4X2=-8,3X5=15,-IX（-8）=8,

.?.點(diǎn)（-1,-8）在反比例函數(shù)■的圖象經(jīng)上.

X

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=k（k為常數(shù)，k

x

WO）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（了,y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值公即沖="

3.（3分）某時刻，測得身高1.8米的人在陽光下的影長是1.5米，同一時刻，測得某旗桿

的影長為12米，則該旗桿的高度是（）

A.10米B.12米C.14.4米D.15米

【考點(diǎn)】SA：相似三角形的應(yīng)用；U5：平行投影.

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答.

【解答】解：：同一時刻物高與影長成正比例.

.M.8：1.5=旗桿的高度：12

旗桿的高度為14.4米

故選：C.

【點(diǎn)評】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出

方程，通過解方程求出旗桿的高度，體現(xiàn)了方程的思想.

4.（3分）已知x=l是一元二次方程2=0的一個解，則根的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

【考點(diǎn)】A3：一元二次方程的解.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】把x=l代入方程無2+7加-2=0得到關(guān)于m的一元一次方程，解之即可.

【解答】解：把x=l代入方程-2=0得：

1+m-2=0,

解得：m=l,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解，正確掌握代入法是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的高之比為1：3,則兩三角形的面積比為（）

A.2：3B.1：3C.1：9D.1：73

【考點(diǎn)】S7：相似三角形的性質(zhì).

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】根據(jù)對應(yīng)高的比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方解答.

【解答】解：???相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，

，兩三角形的相似比為1：3,

兩三角形的面積比為1：9.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解，相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.

6.（3分）甲袋里有紅、白兩球，乙袋里有紅、紅、白三球，兩袋的球除顏色不同外都相同,

分別往兩袋里任摸一球，則同時摸到紅球的概率是（）

A.1B.1C.LD.L

3456

【考點(diǎn)】X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】先求出任摸一球的組合情況總數(shù)，再求出同時摸到紅球的數(shù)目，利用概率公式

計算即可.

【解答】解：分別往兩袋里任摸一球的組合有6種：紅紅，紅紅，紅白，白紅，白紅，

白白；其中紅紅的有2種，

所以同時摸到紅球的概率是2=1.

63

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用

到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.（3分）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)

34

【考點(diǎn)】T1：銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】在直角三角形AC。中，根據(jù)正切的意義可求解.

CD3

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義.將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中是解答的關(guān)鍵.

8.（3分）如圖，/1〃/2〃屈直線a，b與11、h、七分別相交于A、B、C和點(diǎn)。、E、F,

A.9B.10C.2D.15

【考點(diǎn)】S4：平行線分線段成比例.

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得膽=理，代入計算即可解答.

ACDF

【解答】解：

?AB-DEpn2一6

ACDF5DF

解得：DF=15,

：.EF^15-6=9.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是

解題的關(guān)鍵.

9.（3分）已知關(guān)于x的方程a/+2x-2=0有實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.-—B.aW-LC.”2-上且4/0D.a>-__S.a^O

2222

【考點(diǎn)】AA：根的判別式.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】當(dāng)時，是一元二次方程，根據(jù)根的判別式的意義得△=22-4OX(-2)

=4(1+2。)20,然后解不等式；當(dāng)a=0時，是一元一次方程有實數(shù)根，由此得出答案

即可.

【解答】解：當(dāng)時，是一元二次方程，

???原方程有實數(shù)根，

.?.△=22-4aX(-2)=4(l+2a)20,

--；

2

當(dāng)〃=0時，2x-2=0是一元一次方程，有實數(shù)根.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程a?+bx+c=O(a#0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式

A=b2-4ac.當(dāng)△>(),方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個相等的實數(shù)

根；當(dāng)△<(),方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.進(jìn)行分類討論是解題的

關(guān)鍵.

10.(3分)某商品原價為100元，第一次漲價40%,第二次在第一次的基礎(chǔ)上又漲價10%,

設(shè)平均每次增長的百分?jǐn)?shù)為x,那么x應(yīng)滿足的方程是()

Ar=40%+10%

,2-

B.100(1+40%)(1+10%)=(1+無)2

C.(1+40%)(1+10%)=(1+x)2

D.(100+40%)(100+10%)=100(1+x)2

【考點(diǎn)】1G：有理數(shù)的混合運(yùn)算；AC：由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】設(shè)平均每次增長的百分?jǐn)?shù)為x,根據(jù)“某商品原價為100元，第一次漲價40%,

第二次在第一次的基礎(chǔ)上又漲價10%”，得到商品現(xiàn)在的價格，根據(jù)“某商品原價為100

元，經(jīng)過兩次漲價，平均每次增長的百分?jǐn)?shù)為x”，得到商品現(xiàn)在關(guān)于x的價格，整理后

即可得到答案.

【解答】解：設(shè)平均每次增長的百分?jǐn)?shù)為尤，

:某商品原價為100元，第一次漲價40%,第二次在第一次的基礎(chǔ)上又漲價10%,

，商品現(xiàn)在的價格為：100(1+40%)(1+10%),

.某商品原價為100元，經(jīng)過兩次漲價，平均每次增長的百分?jǐn)?shù)為尤，

商品現(xiàn)在的價格為：100(1+龍)2,

：.100(1+40%)(1+10%)=100(1+無)2,

整理得：(1+40%)(1+10%)=(1+x)2,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程和有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確找出等

量關(guān)系，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

11.(3分)如圖是二次函數(shù)>="2+法+。QW0)的圖象，根據(jù)圖象信息，下列結(jié)論錯誤的

A.abc<0B.2a+b=0C.4a-2b+c>0D.9a+3b+c=0

【考點(diǎn)】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：(A)由圖象可知：a<0,c>Q,

對稱軸x=_L>0,

2a

：.b>0,

abc<0,故A正確；

(B)由對稱軸可知：—L=l,

2a

.?.2〃+b=0,故正確；

(C)當(dāng)％=-2時，y<0,

???4〃-20+cV0,故C錯誤；

(D)(-1,0)與(3,0)關(guān)于直線x=l對稱，

???9〃+3b+c=0,故。正確；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于中

等題型.

12.（3分）如圖，A、C是反比例函數(shù)＞=紅（尤＞0）圖象上的兩點(diǎn)，B、。是反比例函數(shù)

X

＞=絲（尤＞0）圖象上的兩點(diǎn)，已知AB〃C￡）〃y軸，直線A3、CD分別交x軸于￡、F,

x

根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點(diǎn)】G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【專題】532：函數(shù)及其圖像.

【分析】設(shè)EQ,0）,F（6,0）,由A、B、C縱橫坐標(biāo)積等于4可確定a,b的數(shù)量關(guān)

系，從而說明各個結(jié)論的正誤.

【解答】解：設(shè)￡（a,0）,F（b,0）,則3。=6=心，-4a=-DF，b=kz，

：.DF=1,上=_二故①②正確；

3k24

1+-^-

??CD=CF+DF二，J

?-=7虧

...③正確；

..AE^_CF_1__3

'EB^4'DF^T^

~3

...④正確，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解運(yùn)用人的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）

13.（3分）二次函數(shù)-4.r+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,0）

【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】先把一般式配成頂點(diǎn)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

【解答】解：'.'y—x2-4x+4=（x-2）2,

.,?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）.

故答案為（2,0）.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，對稱軸方程

和二次函數(shù)的增減性.

14.（3分）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形。4BC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,4）,頂點(diǎn)C在無軸

的正半軸上，則/AOC的角平分線所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=L工.

【考點(diǎn)】FA：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；L8：菱形的性質(zhì).

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】延長A4交y軸于則BD±y^,依據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,4）,即可得出B（8,

4）,再根據(jù)/AOC的角平分線所在直線經(jīng)過點(diǎn)8,即可得到函數(shù)關(guān)系式.

【解答】解：如圖所示，延長A4交y軸于則mL軸，

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,4）,

.,.AD=3fOD=4f

：.AO=AB=5f

???5。=3+5=8,

：.B（8,4）,

設(shè)NAOC的角平分線所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx,

??,菱形048。中，NAOC的角平分線所在直線經(jīng)過點(diǎn)'

，4=8怎即k=—,

2

???ZAOC的角平分線所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=L,

2

【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，正確得

出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

15.（3分）如圖，大樓底右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一棟小樓。E,在小樓的頂端

D處測得障礙物邊緣點(diǎn)C的俯角為30°,測得大樓頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B,C,E

在同一水平直線上）.已知AB=40機(jī)，DE=10m,則障礙物8,C兩點(diǎn)間的距離為（30

-10Vj）m.（結(jié)果保留根號）

□

□

□

□

□

□

□

□

【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】過點(diǎn)。作DF1AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CHLDF于點(diǎn)H,則DE=BF=CH=10m,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出DF的長，在RtZkCAE中，利用銳角三角函數(shù)的定義得出CE

的長，根據(jù)CE即可得出結(jié)論.

【解答】解：過點(diǎn)D作DFLAB于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CHA.DF于點(diǎn)H.

A

在RtZXA。尸中，AF=AB-BF=30m,NA。/=45°,

：.DF=AF=30m.

在RtZkCDE中，DE=10m,ZDCE=30°,

：.CE=DE=A￡_=IO7S(m),

tan300V3_、

3

：.BC=BE-CE=(30-10-73)m.

答：障礙物8,C兩點(diǎn)間的距離為(30-10?)m.

【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)

造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

16.(3分)如圖，點(diǎn)￡是矩形ABC。的一邊的中點(diǎn)，BFLCE于F,連接AF；若AB

=4,AD=6,貝Isin/AFE=芻.

一5一

【考點(diǎn)】LB：矩形的性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【專題】553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角三角形；556：矩形菱形正方形；

55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】延長CE交54的延長線于點(diǎn)G,由題意可證可得AG=CD=

4,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得由勾股定理可求CG=10,即可求sinN

AEE的值.

【解答】解：延長CE交3A的延長線于點(diǎn)G,

???四邊形A5CD是矩形，

J.AB//CD,AB=CD=4,AD=BC=6f

：.ZG=ZGCD,SLAE=DEA,ZAEG=ZDEC

：.AAGE^ADCE(A4S)

：.AG=CD=4,

：.AG=ABf_aBFLGF,

：.AF=AG=AB=4

：.ZAFE=ZAGF,

,：BG=AG^-AB=8,BC=6

???GC=V^?no

sinNAFE=sinNAGF=區(qū)=旦

GC5

故答案為：2

5

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角

三角函數(shù)等知識，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共7小題，其中第17題5分，第18題6分，第19題7分，第20題8

分，第21題8分，第22題9分，第23題9分，共52分）

17.（5分）計算：tan45°-tan260°+sin30°-J5cos30°.

【考點(diǎn)】2C：實數(shù)的運(yùn)算；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】11：計算題.

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可

【解答】解：原式=1-2+1-73-^

=i-3+上-A

22

=-3

【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.

18.（6分）解方程：2（無-3）2=x-3.

【考點(diǎn)】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【專題】11：計算題.

【分析】方程移項后，利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：方程移項得：2（x-3）2-（x-3）=0,

分解因式得：（x-3）（2x-7）=0,

可得尤-3=0或2元-7=0,

解得：xi—3,X2—3.5.

【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題

的關(guān)鍵.

19.（7分）如圖，四張正面分別寫有1、2、3、4的不透明卡片，它們的背面完全相同，現(xiàn)

把它們洗勻，背面朝上放置后，開始游戲.游戲規(guī)則如下：

連摸三次，每次隨機(jī)摸出一張卡片，并翻開記下卡片上的數(shù)字，每次摸出后不放回，如

果第三次摸出的卡片上的數(shù)字，正好介于第一、二次摸出的卡片上的數(shù)字之間，則游戲

勝出，否則，游戲失敗.問：

（1）若已知小明第一次摸出的數(shù)字是4,第二次摸出的數(shù)字是2,在這種情況下，小明

繼續(xù)游戲，可以獲勝的概率為1.

—2—

（2）若已知小明第一次摸出的數(shù)字是3,求在這種情況下，小明繼續(xù)游戲，可以獲勝的

概率（要求列表或用樹狀圖求）

0000

【考點(diǎn)】X3：概率的意義；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】（1）依據(jù)第三次摸出的卡片上的數(shù)字可能是1或3,其中摸到3能獲勝，即可得

到小明繼續(xù)游戲可以獲勝的概率；

(2)依據(jù)小明第一次摸出的數(shù)字是3,畫出樹狀圖，即可得到6種等可能的情況，其中

第三次摸到的數(shù)介于前兩個數(shù)之間的只有一種情況，進(jìn)而得出小明獲勝的概率.

【解答】解：(1)小明第一次摸出的數(shù)字是4,第二次摸出的數(shù)字是2,在這種情況下，

小明繼續(xù)游戲，第三次摸出的卡片上的數(shù)字可能是1或3,其中摸到3能獲勝，

可以獲勝的概率為上，

2

故答案為：1；

2

(2)畫樹狀圖如下:

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果

(3,1,2)

(3,1,4)

(3,2,1)

(3,2,4)

(3,4,1)

(3,4,2)

共有6種等可能的情況，其中第三次摸到的數(shù)介于前兩個數(shù)之間的只有一種情況：(3,1,

2),

則P(小明能獲勝)=1.

6

【點(diǎn)評】此題主要考查了概率的意義以及樹狀圖法與列表法的運(yùn)用，當(dāng)有兩個元素時，

可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.利用樹狀圖或者列表法列舉出所有可能是解題關(guān)鍵.

20.(8分)如圖，E、P是正方形ABC。對角線AC上的兩點(diǎn)，且連接BE、

DE、BF、DF.

(1)求證：四邊形BEDF是菱形：

(2)求tan/AfD的值.

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LA：菱形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì);

T7：解直角三角形.

【專題】556：矩形菱形正方形；55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】（1）連接3。交AC于點(diǎn)。，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OA=OC,OB=OD,AC

LBD,證明0E=。凡得到四邊形8EZ小是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理證明；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到0D=30R根據(jù)正切的定義計算，得到答案.

【解答】（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)。，

?..四邊形ABC。是正方形，

：.OA=OC,OB=OD,SLACLBD,

'：AE^CF,

：.OA-AE^OC-CF,即OE=OF,

又,：OB=OD,

四邊形BEQP是平行四邊形，

XVAC±BD,

平行四邊形3即尸是菱形；

（2）解：'：EF^20F,EF=CF,

：.CF=2OF,

：.OC=3OF,XOD=OC,

：.0D=30F,

在正方形ABCD中，AC±BD,

：.ZDOF=90°,

在RtZV）O尸中，tanNAF￡）=毀=3.

OF

【點(diǎn)評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、菱形的判定、正切的定義，掌握正方形的四條邊

相等、四個角相等是解題的關(guān)鍵.

21.（8分）某商場購進(jìn)一種每件價格為90元的新商品，在商場試銷時發(fā)現(xiàn)：銷售單價x（元

/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關(guān)系.

(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出售價定為多少時，每

天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；

(2)用每件的利潤乘以銷售量得到每天的利潤W,即W=(x-90)(-x+170),然后根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

【解答】解：(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為>=依+6,

根據(jù)題意得「20k+b=50,解得(k=-l,

ll40k+b=30lb=170

與尤之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+170；

(2)W=(x-90)(-x+170)

2

=-x+260x-1530,

??,W=-X2+260X-1530=-(x-130)2+1600,

而a--l<0,

當(dāng)尤=130時，W有最大值1600.

答：售價定為130元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是1600元.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用二次函數(shù)解決利潤問題，先利用利潤=沒件

的利潤乘以銷售量構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，

一定要注意自變量x的取值范圍.

22.(9分)如圖，點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=-工殳(x<0)圖象上的一動點(diǎn)，朋_Lx軸于點(diǎn)A,

x

在直線y=心上截取0B=B4(點(diǎn)B在第一象限)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,2?),連接

AC、BC、OC.

(1)填空：0C=4,ZBOC=60°；

(2)求證：△AOCs/XcOB；

(3)隨著點(diǎn)尸的運(yùn)動，NAC2的大小是否會發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變,

則求出它的大小.

【考點(diǎn)】GB：反比例函數(shù)綜合題.

【專題】537：函數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(1)過點(diǎn)C作CE±x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BFLx軸于點(diǎn)F,由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得

出OE,CE的長度，進(jìn)而可求出OC的長度及/AOC的度數(shù)，由直線OB的解析式可得

出/BOB的度數(shù)，再利用/BOC=180°-NAOC-/BOF即可求出/BOC的度數(shù)；

(2)由(1)可知/AOC=/BOC,由點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=-弛(x<0)圖象上的一

X

動點(diǎn)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出B4?OA=16,結(jié)合OB=PAROC=4f

可得出處=里，結(jié)合NAOC=ZBOC即可證出△AOCs△COB；

0COB

(3)由△AOCS/^COB利用相似三角形的性質(zhì)可得出NCAO=/BC。，在△AOC中，

利用三角形內(nèi)角和定理可求出NCAO+/OCA=120°,進(jìn)而可得出N2CO+NOC4=

120°,BPZACB=120°.

【解答】(1)解：過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作BFLx軸于點(diǎn)R如圖所示.

?..點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,2丘)，

：.OE=2,CE=2痣

.*.OC=^OE2+CE2=4,

tanNAOC=_2?_=

0E

/.ZAOC=60°.

,/直線OB的解析式為y=歷，

ZBOF=6Q°,

...NBOC=180°-ZAOC-ZBOF=60°.

故答案為：4；60°.

(2)證明：VZAOC=60°,ZBOC=60°,

/AOC=ZBOC.

:點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=--(x<0)圖象上的一動點(diǎn),

x

：.PA-OA^16.

'JPA^OB,

，。比04=16=0(?,

即處=里，

OC0B

...AAOC^ACOB.

(3)解：/ACB的大小不會發(fā)生變化，理由如下：

△AOCsMOB,

J.ZCAO^ZBCO.

在△AOC中，ZAOC=6Q°,

：.ZCAO+ZOCA=120°,

：.ZBC0+Z0CA^12Q°,

BPZACB=120".

【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、

相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：（1）利用勾股定理及

角的計算，找出OC的長及/30C的度數(shù)；（2）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、

OC=4及OB=PA,找出毀=匹；（3）利用相似三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，

OC0B

找出/8CO+/OCA=120°.

23.（9分）如圖，拋物線交x軸于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左邊），交y軸于點(diǎn)C,直線

y=-當(dāng)+3經(jīng)過點(diǎn)C與x軸交于點(diǎn)。，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）.

4

（1）請你直接寫出的長及拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求點(diǎn)B到直線CO的距離；

(3)若點(diǎn)尸是拋物線位于第一象限部分上的一個動點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至何處時，恰好使

ZPDC=45°?請你求出此時的尸點(diǎn)坐標(biāo).

【專題】16：壓軸題.

【分析】(1)求出點(diǎn)C,。的坐標(biāo)，再用勾股定理求得CD的長；設(shè)拋物線為y=a(x-

2)2+4,將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求得m即可得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)B直線CD的垂線，垂足為H,在RSDH中，利用銳角三角函數(shù)即可求得

點(diǎn)B到直線CD的距離；

(3)把點(diǎn)C(0,3)向上平移4個單位，向右平移3個單位得到點(diǎn)E(3,7),可得△

OCD義AFEC,則為等腰直角三角形，且NEDC—45°,所以直線與拋物線

的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.

【解答】解：(1),/尸_1_x+3，

：.C(0,3),D(4,0),

VZCOD=90°,

CD=y]32+42=5-

設(shè)拋物線為y=a(x-2)2+4,將點(diǎn)C(0,3)代入拋物線，

得3=4<7+4,

-1

a='

,拋物線的函數(shù)關(guān)系式為產(chǎn))2+4；

(2)解：過點(diǎn)8作BH_LCD于H,

由)2+4=0,

可得12,、2=6,

?,?點(diǎn)5的坐標(biāo)為(6,0),

V0C=3,00=4,CD=5,

「?O8=6,從而BD=2,

在RtADHB中，

'：BH=BD-sinZBDH=孫sin/CD。=2X2上，

5-5

.?.點(diǎn)8到直線C￡?的距離為g.

5

(3)把點(diǎn)C(0,3)向上平移4個單位，向右平移3個單位得到點(diǎn)E(3,7),

VCF=O￡)=4,EF=0C=3,ZCFE=ZDOC=90°,

:.△OCD會AFEC,

；*NFCE=N0DC,EC=DC,

：.Z￡CD=180°-CZFCE+ZOCD)=180°-(NODC+/OCD)=180°-90°=

90°,

...△DEC為等腰直角三角形，且/EDC=45°,

因而，ED與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.

由E(3,7),D(4,0),可得直線ED的解析式為：y=-7尤+28,

'y=-7x+28

由《19

y=—(x-2)+4

得］x=16一圣而(另一組解不合題意，已舍去.)

尸14俗-84

所以，此時尸點(diǎn)坐標(biāo)為(16-2每，14739-84).

【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力

考點(diǎn)卡片

1.有理數(shù)的混合運(yùn)算

（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右

的順序進(jìn)行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算.

（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時，注意各個運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通

常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計算.

2.湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的

兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計算.

4.巧用運(yùn)算律：在計算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計算更簡便.

2.實數(shù)的運(yùn)算

（1）實數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、

乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進(jìn)行實數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到有的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運(yùn)算的“三個關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、幕的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根

式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從

左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

3.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這X1，X2是一元二次方程ax+bx+c

=0QW0)的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

22

axi+bxi+c=0(aWO),ax2~+bx2^~c=0(aWO).

4.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因

式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程

的解.

5.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△="-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程4X2+6X+C=0(aWO)的根與-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當(dāng)△<()時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

6.由實際問題抽象出一元二次方程

在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地申清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找

出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，

即列出一元二次方程.

7.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：

(1)先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)y=fcv+6；

(2)將自變量尤的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的

方程或方程組；

（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式.

注意：求正比例函數(shù)，只要一對x,y的值就可以，因為它只有一個待定系數(shù)；而求一次函

數(shù)>=區(qū)+"則需要兩組無，y的值.

8.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

反比例函數(shù)無（左為常數(shù)，左W0）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點(diǎn)（x,y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值%,即孫=%；

②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，兩個分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對稱；

③在尤圖象中任取■點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形

的面積是定值因.

9.反比例函數(shù)綜合題

（1）應(yīng)用類綜合題

能夠從實際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實際問題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了

學(xué)生的建模能力和從實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力.在解決這些問題的時候我們還用到了

反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識.

（2）數(shù)形結(jié)合類綜合題

利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在.已知點(diǎn)在圖象上，那么點(diǎn)

一定滿足這個函數(shù)解析式，反過來如果這點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，那么這個點(diǎn)也一定在函數(shù)圖

象上.還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問

題的一種好方法.

10.二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)y=Q，+bx+c（〃70）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-上二，）,對稱軸直線兀=-上

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二次函數(shù)（〃#0）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)〃>0時，拋物線>=〃，+加計。（〃wo）的開口向上，xV-上-時，y隨％的增大而減小;

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