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文檔簡介
數(shù)學(xué)課教案
課題初三暑假數(shù)學(xué)教案組名教師
時間暑假班級年級新初三課型新授課
1.一元二次方程
教學(xué)
2.圓
目標(biāo)
3.二次函數(shù)
課前作業(yè)完成情況優(yōu)口良口中口差口
檢查建議:
1.1一元二次方程
一'創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新知
思考以下問題如何解決:
問題1:正方形的面積是2爺;,求它的邊長。
問題2:如圖矩形花圃一面靠墻,.另外三面所圍的柵欄的總長度是19m,如果花圃的面積是24加2,求花
教
圃的長和寬.
學(xué)
問題3:如.圖梯子斜靠在墻上,梯子的底端與墻的距離是3m,如果梯子底端向右滑動的距離與梯子頂端向
下滑動的距離相等,求梯子滑.動的距離.
過
程
二、觀察歸納:
觀察上面所列的方程,討論它們與我們所學(xué)的一元一次方程有什么異同?
一元二次方程的概念:只含有_____未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是.______的______方程叫一元二
次方程。
注意:認(rèn)識一元二次方程必須抓住下面幾個條件:
(1)方程是整式方程;(2)只含有一個未知數(shù);(3)未知數(shù)最高次數(shù)2;
(4)有的方程要整理后才能判斷是否是一元二次方程。
三、一元二次方程的一般形式
任何一個關(guān)于X的一元二次方程都可以化成如2+公+°=0(八b、C是常數(shù).)的形式,這種形式
叫一元二次方程的一般形式,其中如2、法、C分別叫、和,。、人分別叫做
和o
注意:(1)二次項系數(shù)ao();
(2)方程化為一般形式后才能確定二次項.、一次項、常數(shù)項。指明一元二次方程各項系數(shù)時注意
不要漏掉前面的性質(zhì)符號。
思考:(1)當(dāng)〃=0,c=0時,方程ar?+bx+c=0(a#0)的形式為__-________;
(2)當(dāng)b=0,c#0時,方程+bx+c=0(a#0)的形式為。
(3)當(dāng)b*0,c=0時,方程戲一二:的形式為。
它們是一元二次方程嗎?
四、一元二次方程的解
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.
注意:判斷一個方程是否為一元二次方程時,首先觀察其是否是整式方程,否則一定不是一元二次方程;
其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0,看是否具備另兩個條件:①一個未知數(shù);②未知數(shù)的最高
次數(shù)為2.
對有關(guān)一元二次方程定義的題目,要充分考慮定義的三個特點(diǎn),不要忽視二次項系數(shù)不為0.
五、典型例題
例1、辨別下列各式是否為一元二次方程?
x2+x+19x2-6x=0—y2-0
2
5x2-+4=0f+孫-3y2=0(x+l)(x-l)=x2
2x
例2、已知方程(加-&)£'「-(m+3)x=4,n。
(1)當(dāng)m為何值時,此方程為一元一次方程;
(2)當(dāng)m為何值時,此方程為一元二次方程。
例3、把下列關(guān)于x的一元二次方程化為一般形式,寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項
2
(1)8/=3X+5(2)3x(x—2)=2(x—2)(3)Xx+1)=2x+1
23
例4、方程+x+a-2=0的一個解為1,求a的值.
例5、如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x,=2,x2=1,那么p,q的值分別是()
A.-3,2B.3,-2C.2,-3D.2,3
延伸:如果非零實(shí)數(shù)a、b、。滿足a+b+c=。,則關(guān)于x的一元二次方程"2+"+c=。必有一根
如果非零實(shí)數(shù)a、b、C滿足a-6+c=0,則關(guān)于x的一元二次方程ar?+bx+c=O必有一根
如果非零實(shí)數(shù)a、b、c中滿足c=。,則關(guān)于X的一元二次方程辦2+以+C=()必有一根
六、課堂小結(jié)
1、判斷一個方程是否是一元二次方程的關(guān)鍵是什么?
2、要確定一元二次的項及系數(shù),首先要把方程化成一元二次方程的一般形式是什么?;
七'鞏固復(fù)習(xí)
一、選擇題
1.若'2一3%+〃2一〃=0是關(guān)于X的一元二次方程,則()
A.p=#1B.pWO且pH10.p^OD.p#=0且p#=1
2.已知x=-1是關(guān)于x的方程x'-x+mR的一個根,則m的值為()
A.-2B.-1C.0D.2
二、填空題
3.方程(2x+1)(x-3)=x?+1化成一般形式為,二次項系數(shù)是.一次項系數(shù)是
常數(shù)項是一.
4.(1)關(guān)于x的方程(m2-4)x2-(m-2)x-1=°是一元二次方程,則m;
(2)關(guān)于x的方程(m2-4)x2-(m-2)x-l=°是一元一次方程,則m,
5.下列關(guān)于x的方程中是一元二次方程的是(只填序號).
(1)x2+1=0;(3)x2+y+l=0;
(4)x3-x2-x+1=0;(5)2x(3x-5)=6犬+4;(6)(x-2)(x-3)=5.
6.下列哪些數(shù)是方程》2一6》+8=0的根?答案:.
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
7.方程2x-4:0的解也是關(guān)于x的方程r+nix+ZR的一個解,則m的值為.
三'解答題
8.教材或資料會出現(xiàn)這樣的題目:把方程1/_x=2化為一元二次方程的一般形式,并寫出它的二次項
系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.現(xiàn)把上面的題目改編為下面的兩個小題,請解答:
⑴下列式子中,有哪幾個是方程-x=2所化的一元二次方程的一般形式?(答案只寫序
2
?-x2-x-2=0;③f-2x=4;
2
@-x2+2x+4=0;⑤底2一2瓜-46二0.
⑵方程L/-x=2化為一元二次方程的一般形式后,它的二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項之間
2
具有什么關(guān)系?
9,若關(guān)于x的一元二次方程4/一2公-利-2?-6=0常數(shù)項為4,則一次項系數(shù).
10、已知3+2行是關(guān)于x的方程/一6x=機(jī)的一個根,則加=。
11、根據(jù)題意,列出方程:
(1)剪出一張面積是240。/的長方形彩紙,使它的長比寬多8c帆,這張彩紙的長是多少?
(2)某廠經(jīng)過兩年時間將某種產(chǎn)品的產(chǎn)量從每年14400臺提高到16900臺,平均每年增長的百分率是多
少?
9、關(guān)于x的方程q2x2-2x(2x-l)=ax+l,在什么條件下它是一元二次方程?在什么條件下它是一元
一次方程?
1.2一元二次方程的解法
(1)直接開平方法
一、知識回顧,復(fù)習(xí)導(dǎo)入
1、把下列方程化為一般形式,并說出各項及其系數(shù)。
(1)5=4x-x2(2)5=3/(3)j;2-(y+1)2=(j+2Xy-2)
2、我們曾學(xué)習(xí)過平方根的意義及其性質(zhì),現(xiàn)在來回憶一下:什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)?
平方根有下列性質(zhì):(1)一個正數(shù)有兩個平方根,這兩個平方根是互為相反數(shù)的;
(2)零的平方根是零;
(3)負(fù)數(shù)沒有平方根。
3、填空:4的平方根是25的平方根是100的平方根是
二、提出問題,探索歸納
思考:如何解方程X2=2呢?
根據(jù)平方根的意義,—是—的平方根,所以,X=。即這個一元二次方程的兩個根為
結(jié)論:1、根據(jù)平方根的意義,X就是2的平方根,.*=±行,這種直接通過求平方根來解一元二次方程
的方法叫做直接開平方法。
2、形如方程/-左=°僅2°)可變形為/=燈左3°)的形式,用直接開平方法求解。
三,例題講解
例1.解方程(1)/一4=0;(2)4X2-1=0;
例2.解方程(x+1)2—2=0(這兩題和上面兩題有什么異同點(diǎn)?解法上有什么聯(lián)系?)
分析:如果把(x+1)看成是一個整體,就可以用直接開平方法求解。
例3.已知直角三角形兩邊長是方程9-(x-8)2=0的兩根,求直角三角形第三邊長。
小結(jié):如果一個一元二次方程具有(x+h)Jk(h、k為常數(shù),k》0)的形式,那么就可以用直接開平方
法求解。
三'拓展延伸:
1、若=36,求/+>2的值。
2、已知a=1+V20
(1)寫一個一元二次方程,使得x=a是該方程的一個解;
(2)試證明x=a是方程x2—2%—1=0的一個解;
(3)求a?-4a2+3&+11的值。
四、課堂小結(jié)
1、用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟
2、任意一個一元二次方程都可以用直接開平方法解嗎?
形如(x+6)2=k(h、k為常數(shù)k,0)的方程。
說明:G)解形如J+力)2=火(h、k為常數(shù)k'O)的方程時,可把(x+力)看成整體,然后直接開平方
(2)注意對方程進(jìn)行變形,方程左邊變?yōu)橐淮问降钠椒?,右邊是非?fù)常數(shù),
(3)如果變形后形如G+M'=人中的K是負(fù)數(shù),不能直接開平方,說明方程無實(shí)數(shù)根。
(4)如果變形后形如(l+=&中的k=0這時可得方程兩根』相等。
五'鞏固復(fù)習(xí)
1、方程x?-36=0的解為;方程(X+4)?-2=0的解為o
2、用直接開平方法解方程(x+2>=機(jī)-4,方程必須滿足的條件是。
r2-3
3、當(dāng)*=_______時,分式:一的值為0.
W-3
4、若最簡二次根式J"+28與J7/??+4是同類二次根式,則加=。
5、關(guān)于x的方程2/+36-2。=0有一根是2,則關(guān)于),的方程V+。=7的解為。
6、若--12y2=0,則x:y=。
7、某小店今年七月份營業(yè)額為500元,九月份上升到7200元,平均每月增長的百分率為?
8、解下列方程:
(1)》=169;(2)45-x=0;(3)12y-25=0;(4)4?+16=0;
(5)(2x+l)2-3=0(6)i(3x+l)2-15=0(7)4(%+3)2=25(%-2)2
4
9、已知y>x>0,x+y-2y/xy=2,求五-4的值。
配方法
一、知識回顧,復(fù)習(xí)導(dǎo)入
、請寫出完全平方公式:(a+6)2='
?、用直接開平方法解下列方程:(1)(X+3)2=5(2)(x—5-+4=13
人將下列各式進(jìn)行配方:
2z、2
(l)x-+2x+=(X+)
2/、2
_(2)片8x+_____=(A)_________________________________________________
2
(3)J+5J+——=(y+丫
.21Z\2
(5)x2+bx+=(x+)
、提出問題,探索歸納
思考:想一想如何解方程Y+6X+9=5?
想一想如何解方程X2+6X+4=0?
兩個方程之間有什么聯(lián)系?
提示:能否將方程/+6“+4=()轉(zhuǎn)化為(x+%三〃的形式呢?
定義:把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式,然后用開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫
做配方法.
目的:把左邊轉(zhuǎn)化成()Jk的形式,右邊的k是一個非負(fù)數(shù)。
思考:觀察方程,+2x—8=0和2%2+4%-16=0,請比較這兩個方程的區(qū)別與聯(lián)系。
提示:對于二次項系數(shù)不為1的一元二次議程,可以先將兩邊同時除以二次項系數(shù),再利用配方法將方乘
2》2+4x-16=0轉(zhuǎn)化為(x+萬)三〃的形式。
歸納總結(jié):將關(guān)于x的方程々/+bx+c=0(aw0)化為=〃的形式,再利用直接開平方法求解,
這種解一元二次方程的方法叫做配方法.
用配方法解一元二次方程的步驟:
①把原方程化為=°)的形式;
②移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;
③二次項系數(shù)化為1:方程兩邊同時除以二次項的系數(shù),將二次項系數(shù)化為1;
④配方:方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方;
⑤把方程左邊配成一個完全平方式,右邊化為一個常數(shù);
⑥開方:根據(jù)平方根意義,若方程右邊是非負(fù)數(shù),則兩邊直接開平方,求出方程的解;若右邊是一個負(fù)數(shù),
則判定此方程無實(shí)數(shù)解。
注意:
(1)配方法解一元二次方程的口訣:一除二移三配四開方;
(2)配方法關(guān)鍵的一步是“配方”,即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.
(3)配方法的理論依據(jù)是完全平方公式/±2ab+/=(〃±勿2.
例1、解下列方程:
(1),_4X+3=0(2)/+3x=l(3)x2=O
63
口答:
(1)X2-2X+=(x--)2(2)x2+8x+=(x+—)2
3
(3)x2-5x+=(x-___)2(4)X2+~x+=(x+___)2
板演練習(xí):
(1)X2+2X-3=0(2)x2+10x+20=0(3)x2-x=l(4)x2+2A/2X-4=0
例2、(1)利用配方法證明:無論x為何值,二次三項式-/—2x—2恒為負(fù);
(2)根據(jù)(1)中配方結(jié)果,二次三項式-1一2%一2有最大值還是最小值?最值是多少?
練習(xí):求代數(shù)式6x+10的最值。
例3、用配方法解方程:
(1)2x2-5x+2=0(2)-3x2+4%+1=0
小結(jié):二次項系數(shù)不為1的一元二次方程的解法步驟為:(1)(2)
(3)(4)(5)
板演練習(xí):
(1)2%2-8%+1=0(2)-x2+2x-l=0(3)2x2+3x=0(4)3x2-l=6x
2
例4、體會轉(zhuǎn)化思想:解方程2)=5
2
例5、你能用配方法求代數(shù)式3/+6x—5的最小值嗎?
三、拓展與延伸
1、如圖,在aABC中,AB=AC=4,NA=36°,BD平分NABC,求BC的長。
2、把關(guān)于x的方程a/+法+。=0(。工0)化為(x+Q2=/?的形式,當(dāng)〃、8、c滿足什么關(guān)系時,方
程有實(shí)數(shù)根?你能解出這個方程嗎?
三、課堂小結(jié)
用配方法解一元二次方程的一般步驟
、鞏固復(fù)習(xí)
22
填空:(1)X+6X+()=()(2)x—8x+()=()
222
(3)V+x+()=()~(4)4X—6x+()=4()
2、用配方法解下列方程:
22
(1)*+2x=5;(2)x—4x+3=0;(3)%+8x-2=0;
2
(4)x+7=-6x.(5)x2-x=1;(6)X2-7X+12=0
(.7)lx2-5%+2=0.(8)-3/+4X+1=0(9)2/-8x+l=0
(10)-x2+2x-l=0(11)2/+3X=O(12)3/-1=6X
2
3、若代數(shù)式M=10/+〃一7a+8,N=a2+b2+5a+l,則M-N的值()
A.一定是負(fù)數(shù)B.一定是正數(shù)C.一定不是負(fù)數(shù)D.一定不是正數(shù)
4,用配方法證明:二次三項式-8x?+12x-5的值一定小于0.
5.已知直角三角形的三邊a、b、c,且兩直角邊。、人滿足等式(1+〃>一2(/+〃)-15=0,求
斜邊,的值。
6.把方程—一3x+p=0配方,得到(x+根丫=g。
(1)求常數(shù)〃與加的值;(2)求此方程的解。
公式法
—?知識回顧,復(fù)習(xí)導(dǎo)入
1、用配方法解一元二次方程的步驟是什么?
2、用配方法解下例方程(1)2X2-7X-2=0(2)2X2-4X+5=0
二、提出問題,探索歸納
請嘗試用配方法解一元二次方程:a^+bx+c=0(a/0)
示范:ax2+bx+c=0
因?yàn)楦视?,所以方程兩邊都除以a,得
aa
移項,得
2,
x+—bx=—c—
aa
配方,得
/+紇+(A)2=,+(2)2
a2aa2a
,b.b--4ac
x+——)2=-------
2a4a
因?yàn)閍^O,所以4aA
當(dāng)t/-4ac,O時,
.bylb2-4ac
X+———±---------
2a2a
—b±ylb2-4ac
x=----------------
2a
歸納總結(jié):一般地,對于一元二次方程a/+6x+c=0(a豐0)的根是由方程的各項系數(shù)a,b,c確定的
當(dāng)時,它的實(shí)數(shù)根是o這個公式叫做一元二次方程的,利月
這個公式解一元二次方程的方法叫做。
三'例題講解
例1、請你利用求根公式解下列方程:
F+3X+2=0(2)2x-7x=4(3)0.2x2-1.2x+0.55=0
板演練習(xí):
(1)2x2+x-l=0(2)x(x-6)=6(3)-2x2+3x-4=0
例2、用公式法解關(guān)于x的方程:x2-3/m+(2m2-mn-n2)=0o
拓展延伸:
用公式法解關(guān)于x的方程:x2+px+q=0(p2—4acN0)。設(shè)此方程的兩根為玉、x2,
試求:(1)/+/;(2)尤「々。你有什么發(fā)現(xiàn)?
、課堂小結(jié)
1、用公式法解一元二次方程時要注意什么?
2、任何一個一元二次方程都能用公式法求解嗎?
3、若解一個一元二次方程時,d2-4ac<0,那么方程有實(shí)數(shù)根嗎?為什么?
五'鞏固復(fù)習(xí)
1、把方程4-X2=3X化為ax,bx+c=O(a手0)形式為,b2-4ac=
2、把關(guān)于x的方程(2x-l)(x+3)=/+1化成"2+云+。=。的形式,b2-4ac=,
方程的根是o
3、關(guān)于x的方程-+4x—m=0的一個根是否一2,則機(jī)=方程的另一個根是
4、當(dāng)工=時,H2一二與二!相等。
324
5、根據(jù)“拓展于延伸“中你探究的結(jié)論,方程1=0的兩根之積為,兩根之和為
Q
6、用公式法解下列方程:
(1)x-2x-8=0(2)X2+2X-4=0(3)2x-3x-2=0
2
(4)3x(3x-2)+1=0(5)2x+x-6=0⑹+4x=2
7、已知等腰三角形的底邊長為9,腰是方程/一10了+24=0的一個根,求這個三角形的周長。
8.兩個連續(xù)正偶數(shù)的積等于168,求這兩個偶數(shù)。
9,用公式法解關(guān)于x的方程mox?-(/7i2+n2)x+mn=0(/w?豐0,m2>n2)
根的判別式
一、知識回顧,復(fù)習(xí)導(dǎo)入
1、運(yùn)用公式法解下例方程:
(1)X2-4x+4=0(2)2x2-3x-4=0(3)x2+3x+5=0
一、提出問題,探究新知
思考:對于a-+bx+c=0的根=-〃土歷二4ac中,若出現(xiàn)〃一4。0<0怎么辦呢?
2a
例如:解方程3x2-4X+4=0
舉例:判斷下列方程根的情況(1)3x2-4x+1=0(2)X2-4x+4=0(3)3x2-4x+7=0
解:(1)4ac=16-12=4>0
此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
(2)VZ?2-4ac=16-16=0
,此方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根
(3)VZJ2-4?C=16-84=-68<0
,此方程沒有實(shí)數(shù)根
歸納總結(jié):
(1)一元二次方程根的判別式:L=b^-Aac-
①當(dāng)A=/一4數(shù)>0時,原方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根再,%=一。工"一皿
2a
②當(dāng)△=/-4明=0時,原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根須=馬=-色;
2a
③當(dāng)&=/-4加<0時,原方程沒有實(shí)數(shù)根.
(2)用公式法解x的一元二次方程+8x+c=0(。W0)的步驟:
①把一元二次方程化為一般形式;
②確定a、b、c的值(要注意符號);
③求出/一4四的值;
④若/-4的之0,則利用公式x=一8±'2一4奴求出原方程的解;若/一4ac<0,則原方
2a
程無實(shí)根.
注意:
(1)雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解,但它往往并非最簡單的,一定要注意方法的選
擇.
b-A/7<,
(2)一元二次方程0?+裊+。=0(。70),用配方法將其變形為:(》+二)2=:^_;
2a4礦
—卜+J
①當(dāng)△=〃-4改>()時,右端是正數(shù).因此,方程有兩個不相等的實(shí)根:石2=4^------
2a
卜
②當(dāng)A=〃—4。。=0時,右端是零.因此,方程有兩個相等的實(shí)根:x19=-—
③當(dāng)^=尸一44。<0時,右端是負(fù)數(shù).因此,方程沒有實(shí)根.
三'課堂小結(jié)
如何利用根的判別式來判斷一元二次方程根的情況?
例1、不解方程,判別方程根的情況:
(1)F+3x7=0(2)x2-6x+9=0(3)2y2-3y+4=0(4)x?+5=2瓜
變式:求證:不論x取何值時,關(guān)于x的一元二次方程,一點(diǎn)—1=0總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。
例2、女取什么值時,關(guān)于x的方程2/一伏+2)%+2左-2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根?有兩個不等的實(shí)
數(shù)根?無實(shí)數(shù)根?
變式1:已知關(guān)于了2-3%+左一2=0有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍。
例3、已知關(guān)于x的方程質(zhì)2+Ji=八-2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍。
四、拓展延伸
關(guān)于x的方程(A-2)/一2(女一1?+4+1=0有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍。
(友情提示:此方程不一定是一元二次方程哦!)
四、鞏固復(fù)習(xí)
1、不解方程,判斷方程根的情況
X2+3x-4=02x2-^x+7=05x2-6x-4=0x2-2j^x+5=0
2、已知方程x2+kx-4=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根,求k的值。
變式1、有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍;
變式2、沒有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍;
變式3、有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍;
變式4、若方程變?yōu)閗x2+3x-4=0有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍。
提公因式法
一、知識回顧,復(fù)習(xí)導(dǎo)入
到目前為此,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的幾種解法?
1、直接開平方法x2=a(a'O)
2、配方法(x+h)2=k(k>0)
r______
c八3、*.______、-h±\h2-4ac/.、八、
3、公式法'------Yr-(/?24ac>0)
2a
J
練習(xí):解方程X2=3X.
解法1:配方法解法2:公式法
二'探求新知,歸納總結(jié)
(建模)我們知道,若aXb=O,則有a=0或b=0
(應(yīng)用)解方程:X2=3X
由d=3x.可知,x(x—3)=0
x=0或x—3=0
.1.x,=0或x2=3.
(拓展延伸)用上面的方法解下列方程
5x2+3x=0x2-25=0(x+2)(x-5)=02(x-4)+x(x-4)=0
歸納總結(jié):
(1)當(dāng)一個一元二次方程的一邊是0,另一邊能分解成兩個一次因式的乘積時,就可以把解這樣的一元
二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程,這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
(2)用因式分解法解一元二次方程的步驟:
①將方程右邊化為0;
②將方程左邊分解為兩個一次式的積;
③令這兩個一次式分別為0,得到兩個一元一次方程;
④解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解.
(3)常用的因式分解法
提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式),十字相乘法等.
注意:
①能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn):方程的一邊是0,另一邊可以分解成兩個一次因
式的積;
②用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù):兩個因式的積為0,那么這兩個因式中至少有一個等
于0;
③用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn):①必須將方程的右邊化為0;②方程兩邊不能同時除以
含有未知數(shù)的代數(shù)式.
三、例題講解
用因式分解法解下列方程:
(1)x2--4x(2)x+3—x(x+3)=O(3)(2x-1)2-x2=0
板演練習(xí):
(1)(x+2)(x—l)=0(2)3x2=x(3)4x(2x—l)=3(2x—l)(4)(2x-1)2=(3x+2)2
3、觀察與思考:
小明解方程(x+2)2=4(x+2)方程兩邊都除以(x+2),得x+2=4,于是解得x=2。小明的解法
正確嗎?為什么?
4、思考:
請你觀察下列方程的特征,說出用什么方法解方程比較簡便,并解答。
(1)(21)2=5(2)x2+2x^0(3)x(x-3)=4
(4)x(x—4)=165(5)(2x-1)=x2
注:在選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠虝r,先觀察方程的特征,看能否用因式分解法或用直接開平方法
求解,若不能再考慮用公式法或配方法求解。
板演練習(xí):用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>
(1)A:2-5X-6=0(2)(X+2)2=3X+6(3)X(X—3)=1O
(4)2(x-2)2=x2-4(5)(2x—l)(x+3)=4(6)x2-4V2x+8=0
四、課堂小結(jié)
什么情況下會選擇因式分解法來解一元二次方程?
五、鞏固復(fù)習(xí)
1、解下列一元二次方程:
(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0(2)(3x-l)(x-1)=(4x+
(3)(x+8)Z-5(X+8)+6=0(4)3x(2x+l)=4x4-2
2、探究下表中的奧秘,并完成填空:
一元二次方程兩個根二次三項式因式分解
X2-2X+1=0Xi=1,X2=1X2-2X+1=(x-1)(x-1)
x2-3x+2=0Xi=1,X2=2x2-3x+2=(x-1)(x-2)
2
3X+X-2=0XI=2,X=-12
23X+X-2=3(x-2)(x+1)
33
2
2X+5X+2=0X1=-A,X2=-22x?+5x+2=2(x+1)(x+2)
22
2
4X+13X+3=0Xi-_____,X2—4x?+13x+3=4(x+____)(x+____)
將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一般化,并寫出來.
1.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
一、探索發(fā)現(xiàn)
探索發(fā)現(xiàn):觀一察下表,你能發(fā)現(xiàn)下列一元二次方程的根與系數(shù)有什么關(guān)系嗎?
XlX2
ax2+法+c=0
12
X2-3X+2=0
-1-2
x2+3X+2=0
23
x2-5x+6=0
-2-3
x2+5x+6=0
03
X2-3X=0
解釋規(guī)律:你能解釋剛才的發(fā)現(xiàn)嗎?一元二次方程aF+6x+c=0(a豐0),若6—4〃20,它的兩個根
分別是必、*2.
總結(jié)發(fā)現(xiàn):一元二次方程3X+bx+0=0(日于0),如果4ac?0,它的兩個根分別是必、x2.則有
bC
=
+%2=-------9Xj,一.
a-a
二、例題講解
例1、求下列方程兩根的和與兩根的積:(1),+2*—5=0;(2)2f+x=1.需要解方程.嗎?
例2、小明在一本課外讀物中讀到如下一段文字:
“一元二次方程X?一**°的兩根是2+6和2—百”,你能寫出這個方程中被墨
跡.污染的一次項系數(shù)和常數(shù)項嗎?
三、歸納總結(jié)
1)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系:
如果一元二次方程ax?+Ax+c=O(awO)的兩個實(shí)數(shù)根是X],x,那么內(nèi)+/=——,xx=—.
2Clt2Cl
注意:它的使用條件為a*0,△》0.也就是說,對于任何一個有實(shí)數(shù)根的一元二次方程,兩根之和等于
方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的
商.
(2)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用
(1)驗(yàn)根.不解方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根;
(2)已知方程的一個根,求方程的另一根及未知系數(shù);
(3)不解方程,可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于X”xz的對稱式的值.此時,常常涉及代數(shù)式的一些重
要變形;如:
①X;+X;=(玉+々)2;<2)—+—-=A'+A?;③玉々?+¥%2=玉%2(芯+%2);
X[x2X1?x2
2
④”+2二3Ltd=(內(nèi)+//―2?/;⑤(王一々)2=(X,+X2)-4x,x2;
x}x2x}x2x}x2
22
⑥(3+攵)(工2+攵)=x]x2+w)+/;⑦I%—x2|=A/(XJ-X2)+X2)-4XJX2;
@-T+-4="*=(%、,2~~;⑨%-X,=±?x「xj2=±J('+-2)2―4百工2;
玉X2Xjx2(x1x2)
⑩|x/+1%21=J(lx|+|%21)2=舊+考+2|%?Ei=J(X|+々)2-2X/2+21X|.9I?
(4)已知方程的兩根,求作一個一元二次方程;以兩個數(shù)勺'為為根的一元二次方程是
32_區(qū)+叼〃+*2=0.
(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系,確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍;
(6)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號.
設(shè)一元二次方程ax?+bx+c=O(a7O)的兩根為*、x2,則
①當(dāng)△》()且不々時,兩根同號.
當(dāng)△》()且王々>0,%+々>0時,兩根同為正數(shù);
當(dāng)△》()且與々>0,%+々<0時,兩根同為負(fù)數(shù).
②當(dāng)△>()且斗々<0時,兩根異號.
當(dāng)△>?且玉々<0,%+工2〉0時,兩根異號且正根的絕對值較大;
當(dāng)△>0且X/2<0,玉+々<0時,兩根異號且負(fù)根的絕對值較大.
注意:
(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后,一定要驗(yàn)證方程的△.一些考試中,往往
利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱;
(2)若有理系數(shù)一元二次方程有一根〃+惠,則必有一根。-筋(*6為有理數(shù)).
四、課堂小結(jié)
1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是什么.?
2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時,要特別注意,方程有實(shí).根的條件,即當(dāng)且僅當(dāng)6-4ac20
時,才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.
五'鞏固復(fù)習(xí)
1、不解方程,判別方程根的情況:x2-ox+a2+1=0
2、不解方程,求方程2/+3x-l=0的兩個根的(1)平方和;(2)倒數(shù)和.
3、已知方程5f+履—6=0的一個根是2,求另一個根及k的值.
4、已知關(guān)于x的一元二次方程mx、(m+2)x+2=0.
(1)證明:不論m為何值時,方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)m為何整數(shù)時,方程有兩個不相等的正整數(shù)根.
1.4用一元二次方程解決問題
一、復(fù)習(xí)
二、知識點(diǎn)梳理
1.構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型,常見的模型如下:
⑴與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用:如幾何圖形面積模型、勾股定理等;
⑵有關(guān)增長率的應(yīng)用:此類問題是在某個數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長(降低兩次得到新數(shù)據(jù),常見的
等量關(guān)系是a(1±x2=b,其中a表示增長(降低前的數(shù)據(jù),x表示增長率(降低率,b表示
后來的數(shù)據(jù)。注意:所得解中,增長率不為負(fù),降低率不超過1o
⑶經(jīng)濟(jì)利潤問題:總利潤=(單件銷售顫-單件成本③銷售數(shù)量;或者,總利潤=總銷售額-總成本。
題干中已知量為進(jìn)價a元,原售價b元,銷量m件,銷量隨售價每提高(B每低)d元而減少(增加)c件,獲
得利潤n元.
①若設(shè)售價x元,則列式為②若設(shè)提(降)價x元,則列式為:
「提價減銷量:(提價減銷量:
x—dex
(x-a)m-c-n+x—a)m
降價提銷量:降價提銷量:
b-x
(x-a)m+c(.b-x-a)tn+—
(4)動點(diǎn)問題:此類問題是一般幾何問題的延伸,根據(jù)條件設(shè)出未知數(shù)后,要想辦法把圖中變化的線
段用未知數(shù)表示出來,再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程。
5)用列一元二次方程的方法解決有關(guān)贈賀卡、握手問題.
握手總次數(shù)、單循環(huán)賽的場次=門加-1)/2;送禮物總份數(shù)=n(n—1).
★2.注重解法的選擇與驗(yàn)根:在具體問題中要注意恰當(dāng)?shù)倪x擇解法,以保證解題過程簡潔流暢,特別要對
方程的解注意檢驗(yàn),根據(jù)實(shí)際做出正確取舍,以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性.
三、典型例題(重點(diǎn))
考點(diǎn)一、與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用
例1某旅行社的一則廣告如下:我社組團(tuán)去龍灣風(fēng)景區(qū)旅游,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:如果人數(shù)不超過30人,人
均旅游費(fèi)用為800元;如果人數(shù)多于30人,那么每增加1人,人均旅游費(fèi)用降低10元,但人均旅游費(fèi)
用不得低于500元,甲公司分批組織員工到龍灣風(fēng)景區(qū)旅游,現(xiàn)計劃用28000元組織第一批員工去旅游,
問這次旅游可以安排多少人參加?
變式訓(xùn)練:某旅行社的一則廣告如下:我社組團(tuán)去龍灣風(fēng)景區(qū)旅游,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:如果人數(shù)不超過30人,
人均旅游費(fèi)用為800元;如果人數(shù)多于30人,那么每增加1人,人均旅游費(fèi)用降低10元,但人均旅游
費(fèi)用不得低于500元,甲公司組織員工到龍灣風(fēng)景區(qū)旅游,并支付給旅行社29250元。求該公司第二批
參加旅游的員工人數(shù)。
例2如圖,一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍,四角各截去一個正方形,制成高是5cm,容積是500cm3的
無蓋長方體容器。求這塊鐵皮的長和寬。
變式訓(xùn)練1:一塊邊長為10cm的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形,再折成一個無蓋的
長方體盒子,若要求長方體的底面積為81cm?,則剪去的正方形邊長為多少?
變式訓(xùn)練2:一塊正方形鐵皮的4個角各剪去一個邊長為4cm的小正方形,做成一個無蓋的盒子。已知盒
子的容積是400cm3,求原鐵皮的邊長。
練習(xí):(1)一塊長方形菜地的面積是150cm2。如果它的長減少5m,那么菜地就變成正方形,求原菜地的
長和寬。
(2)在一塊長70m、寬50m的長方形綠地的四周有一條寬度相等的人行道,這條人行道的面積是130(^,
求這條人行道的寬度。
考點(diǎn)二:列一元二次方程解“數(shù)字問題”和“平均增長率”
例1一個三位數(shù),十位上的數(shù)字比它個位上的數(shù)字大3,百位上的數(shù)字等于個位上的數(shù)字的平方。已知這
個三位數(shù)比它的個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的積的25倍大202,求這個三位數(shù)。
練習(xí):(1)有一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大6,把這個兩位數(shù)個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào),
再與原數(shù)相乘,積為3627,求這個兩位數(shù)。
(2)一個直角三角形的三邊長是連續(xù)整數(shù),求這三邊長。
例2某商店6月份的利潤是2500元,要使8月份的利潤達(dá)到3600元,平均每月增長的百分率是多少?
練習(xí):(1)兩個數(shù)的和為16,積為48。求這兩個數(shù)。
(2)有一個兩位數(shù),個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大6,把這個兩位數(shù)個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào),再與
原數(shù)相乘,積為3627,求這個兩位數(shù)。
(3)一個直角三角形的三邊長是連續(xù)整數(shù),求這三邊長。
考點(diǎn)三:列一元二次方程解“動態(tài)”問題
例1、一根長22cm的鐵絲。(1)能否圍成面積是30cmz的矩形?(2)能否圍成面積是32cm?的矩形?
并說明理由。
分析:如果設(shè)這根鐵絲圍成的矩形的長是xcm,那么矩形的寬是o
根據(jù)相等關(guān)系:矩形的長X矩形的寬;矩形的面積,可以列出方程求解。
解:
例2、如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=3cm。點(diǎn)P沿邊AB從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動,點(diǎn)
Q沿邊DA從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動。如果P、Q同時出發(fā),用t(s)表示移動的時間(0W
tW3)。那么,當(dāng)t為何值時,△QAP的面積等于2cm?!
練習(xí):1、用長為100cm的金屬絲制作一個矩形框子。框子各邊多長時,框子的面積是600cm2?能制成
面積是800cm?的矩形框子嗎?
2、如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動;同時,
點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動,問幾秒后△PBQ的面積等于8cm2?
考點(diǎn)四:用列方程的方法解決有關(guān)商品的銷售問題
例1、某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。為了擴(kuò)大銷售,增加盈利,
商場決定采取適當(dāng)?shù)慕?/p>
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