初二數(shù)學(xué)稍難題型

目錄

本內(nèi)容適合八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽拔高使用。注重中考與競(jìng)賽的有機(jī)結(jié)合，重點(diǎn)落實(shí)在中

考中難以上題、奧賽方面的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能培訓(xùn)和提高。本內(nèi)容難度適中，講練結(jié)

合，由淺入深，講解與練習(xí)同步，重在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力與解題能力。另外在本

次培訓(xùn)中，內(nèi)容的編排大多大于120分鐘的容量，因此在實(shí)際教學(xué)過程中可以根據(jù)學(xué)生

的具體狀況和層次，由任課教師適當(dāng)?shù)恼{(diào)整順序和選擇內(nèi)容（如專題復(fù)習(xí)可以提前上）。

注：有（*）標(biāo)注的為選做內(nèi)容。

本次培訓(xùn)具體計(jì)劃如下，以供參考：

第一講如何做幾何證明題

第二講平行四邊形（-）

第三講平行四邊形（二）

第四講梯形

第五講中位線及其應(yīng)用

第六講一元二次方程的解法

第七講一元二次方程的判別式

第八講一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

第九講一元二次方程的應(yīng)用

第十講專題復(fù)習(xí)一：因式分解、二次根式、分式

第十一講專題復(fù)習(xí)二：代數(shù)式的恒等變形

第十二講專題復(fù)習(xí)三：相似三角形

第十三講結(jié)業(yè)考試（未裝訂在內(nèi)，另發(fā)）

第十四講試卷講評(píng)

第一講：如何做幾何證明題

【知識(shí)梳理】

1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有

兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常常可以相

互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。

2、掌握分析、證明幾何問題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，

直到問題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件

看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，

在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基

本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、

轉(zhuǎn)化問題的目的。

【例題精講】

【專題一】證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最

后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其

它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。

【例1】已知：如圖所示，AA8C中，NC=90°,AC=8C,AD=DB,AE^CF.

求證：DE—DF

【鞏固】如圖所示，己知A48c為等邊三角形，延長8c到O,延長歷I到E,并且使AE=B。，連

結(jié)CE、DE。

求證：EC=ED

【例2】已知：如圖所示，AB^CD,AD=BC,AE=C1凡

求證：NE=NF

【專題二】證明直線平行或垂直

在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)

角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可

轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°,或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。

【例3】如圖所示，設(shè)BP、C。是AA6C的內(nèi)角平分線，AH、4K分別為4到8P、CQ的垂線。

求證：KH//BC

【例4】已知：如圖所示，AB=AC,NA=90°,AE=BF,BD=DC。

求證：FDA,ED

【專題三】證明線段和的問題

（-）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）

【例5】如圖，四邊形4BC。中，4O〃BC,點(diǎn)E是4B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若N8=60°,AB=BC,

且NDEC=60°；

求證：BC=AD+AE

【鞏固】已知：如圖，在AABC中，NB=60°,ABAC,NBC4的角平分線A。、CE相交于0。

求證：AC=AE+CD

A

C

(-)延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段

等于較長線段。(補(bǔ)短法)

【例6】已知：如圖7所示，正方形A8CO中，尸在。C上，E在8C上，NE4F=45°。

目已證：EF=BE+DF

【專題四】證明幾何不等式:

【例7】已知：如圖所示，在AABC中，A。平分/B4C,AB>AC.

求證：BD>DC

【拓展】AABC中，ABAC=90°,AOLBC于￡),求證：AD<+AC+BC)

第二講：平行四邊形(一)

【知識(shí)梳理】

1、平行四邊形：

平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：

(1)平行四邊形對(duì)角相等；

(2)平行四邊形對(duì)邊相等；

(3)平行四邊形對(duì)角線互相平分。

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

2、特殊平行四邊形：

一、矩形

(1)有?角是直角的平行四邊形是矩形

(2)矩形的四個(gè)角都是直角；

(3)矩形的對(duì)角線相等。

(4)矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

(5)矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

二、菱形

(1)把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

(2)定理1:菱形的四條邊都相等

(3)菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

(4)菱形的面積等于菱形的對(duì)角線相乘除以2

(5)菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

(6)菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

三、正方形

(1)有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形

(2)性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角，四條邊相等

②對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

(3)判定：①一組鄰邊相等的矩形是正方形

②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形

【例題精講】

【例1】填空題:

在下列特征中,

(1)四條邊都相等平行四邊形具有的是：_________

(2)對(duì)角線互相平分

(3)對(duì)角線相等矩形具有的是：_______________

(4)對(duì)角線互相垂直

(5)四個(gè)角都是直角菱形具有的是：_______________

(6)每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

(7)對(duì)邊相等且平行正方形具有的是：______________

(8)鄰角互補(bǔ)

【鞏固】

1、下列說法中第誤的是（）

A.四個(gè)角相等的四邊形是矩形8.四條邊相等的四邊形是正方形

C.對(duì)角線相等的菱形是正方形D對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

2,如果?個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個(gè)四邊形是（）

兒矩形8.菱形C.正方形。.菱形、矩形或正方形

3、下面結(jié)論中，正確的是（）

4.對(duì)角線相等的四邊形是矩形B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形。.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

4、如圖，在△A8C中，點(diǎn)。、E、尸分別在邊AB、BC、CA上，且OE〃C4,DF//BA.下

列四種說法：

①四邊形AEDF是平行四邊形；

②如果N84C=9（r,那么四邊形4EDF是矩形；

③如果AO平分N6AC,那么四邊形AEO尸是菱形；

④如果ADLBC且AB=AC,那么四邊形AEO尸是菱形.

其中，正確的有.（只填寫序號(hào)）

【例2】如圖，在平行四邊形A8C。中，點(diǎn)E,尸分別是A。，BC的中點(diǎn).

求證：四邊形BFOE是平行四邊形.

【鞏固】已知，如圖9,E、F是四邊形ABCO的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AF=CE,DF=BE,DF//BE.

四邊形48C0是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

【例3】如圖，梯形4BCD中，AB//CD,AC平分/BA。，CE〃A。交AB于點(diǎn)E.

求證：四邊形AECD是菱形.

【例4】如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，以A。為邊作等邊△AOE.

(1)求NC4E的度數(shù)；

(2)取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE,試證明四邊形AFCE是矩形.

【鞏固】如圖，。為矩形48C。對(duì)角線的交點(diǎn)，OE〃4C,CE//BD.

(1)試判斷四邊形OCE。的形狀，并說明理由；

(2)若A8=6,8c=8,求四邊形。CEO的面積.

AD

【例5】如圖所示，在△4BC中，分別以48、AC.BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△相￡＞、等邊△ACE、

等邊△8CE

(1)求證：四邊形。AEF是平行四邊形；

(2)探究下列問題：(只填滿足的條件，不需證明)

①當(dāng)aABC滿足條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形；

②當(dāng)△A8C滿足條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；

③當(dāng)aABC滿足條件時(shí)，以。、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在.

第三講：平行四邊形(二)

【知識(shí)梳理】

由平行四邊形的結(jié)構(gòu)知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，并且包含著平行線的有關(guān)

性質(zhì)，因此，平行四邊形是全等三角形知識(shí)和平行線性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，平行四邊形包括矩形、菱形、

正方形。

另一方面，平行四邊形有許多很好的性質(zhì)，使得構(gòu)造平行四邊形成為解兒何題的有力工具。

【例題精講】

【例1】四邊形四條邊的長分別為〃2、〃、p、q,且滿足m2+〃2+〃2+/=2"優(yōu)+2/?,則這

個(gè)四邊形是()

A.平行四邊形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形

C平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形D對(duì)角線相等的四邊形

【例2】如圖①，四邊形48C￡＞是正方形，點(diǎn)G是BC上任意?點(diǎn)，OEJ_AG于點(diǎn)E,BFJ_AG于

點(diǎn)F.

(1)求證：DE-BF=EF.

(2)當(dāng)點(diǎn)G為8C邊中點(diǎn)時(shí)，試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)若點(diǎn)G為CB延長線上一點(diǎn)，其余條件不變.請(qǐng)你在圖②中畫出圖形，寫出此時(shí)DE、BF、EF

之間的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).

圖②

【鞏固】如圖1,在邊長為5的正方形48co由點(diǎn)E、E分別是8C、0C邊上的點(diǎn)，且,

BE=2.

（1）求EC：C77的值；

（2）延長EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)尸（如圖13—2）,試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并

說明理由；

（3）在圖2的A8邊上是否存在一點(diǎn)M,使得四邊形OMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予

證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

【例3】如圖，在矩形48C。中，已知A￡>=12,A8=5,P是AO邊上任意一點(diǎn)，PELBD于E,PF

_LAC于F,求PE+P尸的值。

【例4】如圖，在△48C中，/8AC=90°,ADLBC,BE、4F分別是/ABC、ND4c的平分線,

BE和A。交于G,求證：GF//AC.

【例5】如圖所示，M△4BC中，/8AC=90°,AO_LBC于。，8G平分/ABC,E尸〃BC且交AC

于F。求證：AE=CFo

【鞏固】如圖，在平行四邊形ABCZ）中，ZB,的平分線分別交對(duì)邊于點(diǎn)E、F,交四邊形的對(duì)

角線4c于點(diǎn)G、H。求證：AH=CG。

第四講：梯形

【知識(shí)梳理】

與平行四邊形一樣，梯形也是?種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本

講就來研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用?

一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特殊的梯形，其判定和性

質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。

通過作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問題的基本思路，常用的輔助

線的作法是:

1、平移腰：過一頂點(diǎn)作腰的平行線;

2、平移對(duì)角線：過一頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線;

3、過底的頂點(diǎn)作另一底的垂線。

熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論:

從一底的兩端作另一底的垂線

平移對(duì)角線延長兩腰交于一點(diǎn)連結(jié)上底一端和腰中點(diǎn)并延

長，與下底的延長線交于一點(diǎn)

中位線概念：

(1)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

(2)梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線.

三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。

梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半。

【例題精講】

【例1】如圖所示，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=8,DC=6,N8=45°,BC=10,求梯形上

底AD的長.

【例2】如圖所示，在直角梯形4BCD中，ZA=90°,AB//DC,AD=]5,AB=\6,8c=17.求

CD的長.

【例3】如圖所示，在等腰梯形ABC。中，AD//BC,對(duì)角線AC_LB￡),BD=6cm.求梯形ABC。的

面積.

【例4】如圖所示，四邊形A8C。中，4。不平行于8C,AC=BD,AD=BC.判斷四邊形4BCD的

形狀，并證明你的結(jié)論.

【鞏固】

1、如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°,它的兩底分別為15cm和49cm,求它的腰長.

2、如圖所示，己知等腰梯形4BCC中，AD//BC,ACYBD,A￡>+BC=10,DELBC于E,求。E

的長.

3、如圖所示，梯形48C。中，AB//CD,NO=2N8,4￡>+QC=8,求A8的長.

【例5】已知：如圖，在梯形48CO中，AD//BC,E是C。的中點(diǎn)，S.AE1BE.

求證：AD+BC—AB

【鞏固】如圖所示，梯形48CO中，AD//BC,E是C。的中點(diǎn)，h.AD+BC=AB

求證：DErAEo

【例6】如圖，在梯形ABC。中，AO〃BC,E、F分別是A￡1、BC的中點(diǎn)，若NB+NC=90°AD

=7,BC=15,求E尸.

第五講：中位線及其應(yīng)用

【知識(shí)梳理】

1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

2、中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計(jì)算線段的長度，確定線段

的和、差、倍關(guān)系。

3、運(yùn)用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點(diǎn)，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。

4、中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，

①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等

②經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線，必平分第三邊

③經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)而平行于兩底的直線，必平分另一腰

5、有關(guān)線段中點(diǎn)的其他定理還有：

①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半

②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合

③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

④線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等

因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必須全面考慮。

【例題精講】

【例1】已知△48C中，。是從B上一點(diǎn)，AD=AC,AELCD^E,F是的中點(diǎn)，試說明BO=2EF。

【鞏固】已知在△ABC中,NB=2NC,ID_LBC于D,仞為8c的中點(diǎn).

求證：DMJAB

2

【例2】已知E、F、G、H是四邊形A8CD各邊的中點(diǎn)

則①四邊形EFGH是形

②當(dāng)AC=BO時(shí)，四邊形EFGH是形

③當(dāng)ACLBD時(shí)，四邊形EFGH是形

④當(dāng)AC和BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形。

【鞏固】如圖，等腰梯形ABCC中，AD//BC,M、N分別是A。、BC的中點(diǎn)，E、尸分別是8M、

CM的中點(diǎn)。

(1)求證：四邊形MENF是菱形；

(2)若四邊形MEN尸是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊8c的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

論。

【例3】梯形48CD中，AB//CD,M、N分別是AC、8。的中點(diǎn)。求證：MN=-(AB-CD)

2

【鞏固】如圖，在四邊形A8CC中，AB>CD,E、F分別是對(duì)角線50、AC的中點(diǎn)。

求證：EF>-(AB-CD)

【拓展】E、/為四邊形A8CC的一組對(duì)邊A。、BC的中點(diǎn)，若EF=g(A8+CD),問：四邊形

48co為什么四邊形？請(qǐng)說明理由。

【例4】四邊形4BC。中，G、”分別是A。、BC的中點(diǎn)，AB=CD.BA,CD的延長線交”G的延長

線于E、F。求證：NBEH=NCFH.

【例5】如圖，△ABC的三邊長分別為4B=14,8c=16,4c=26,P為/A的平分線A。上一點(diǎn),

且BPJ_月。，M為BC的中點(diǎn)，求PM的長。

【鞏固】已知：△ABC。分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形和CAMP是BC的中點(diǎn)。

求證：PM=PN

第六講：一元二次方程的解法

【知識(shí)梳理】

形如這2+云+。=0(4*())的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元

二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有?般性的方法。

求根公式x=」=匚吆一竺匕內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過的全部代數(shù)運(yùn)算；它回答了

2a

一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

【例題精講】

【例1］選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?基礎(chǔ)題)：

(1)X2-2X=0(2)x2-9=0(3)(1-3X)2=1；

(4)(/-2)(r+1)=0(5)X2+8X=2(6)X2-7X+6=0

(7)X2-4X-21=0(8)X2-2X-15=0(9)4X2-12X+9=0

(10)—"-44+21=0(11)X2+11X+18=0(12)2f—%—3=0

(13)x(x-6)=2(14)(2x+l)2=3(2x+l)(15)2b2+lb-l5=0

(16)3a2+4?-4=0(17)3/+14人=5(18)2A/3X2+X-V3=0

(19)J—/一20=0(20)(3X+5)2-5(3X+5)-6=0；

【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń獠妨嘘P(guān)于x的方程（提高題）：

（1）（3x—2）（4x+3）=5；（2）|x2-2x-3327=0；

(3)(5x-3卜12=4(5x-3)；(4)(3x-l)(x—1)=(4x+l)(x-1)；

(5)(2-V3)X2-2(V3-1)X-6-0?

【鞏固】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于x的方程:

(1)(X-2)2-9(x+l)2=0；(2)x~-6ax=b~-9a~；

(3)2x2+(2V2-V3)r-V6=0o(4)(2x+1X-Y-3)=(4x-1X3-x)o

【拓展】解方程：(6X+7)2(3X+4XX+1)=6；

【例3】解方程：%2-3|X|-4=0O

【鞏固】解方程:

(1)x2-|x-l|-l=0；(2)x|x|-x-2=0o

【例4】解關(guān)于x的方程：(加一1卜2+(2加一1'+機(jī)一3=0。

【鞏固】解關(guān)于X的方程：X2-4px+4p2+5x-10p-6=0o

【例5】已知方程/一立一7=0與x2—6x—(攵+1)=0有公共根。

(1)求上的值；

(2)求二方程的所有公共根和所有相異根。

【鞏固】是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)機(jī)，使得方程/+m工+2=0和-+2x+加=0有且只有一個(gè)公共的

實(shí)根？如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)機(jī)及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

第七講：一元二次方程的判別式

【知識(shí)梳理】

一、一元二次方程a/+"+c=0（aw0）根的情況：令△=//一4〃°。

—b+"\1b—4ac—b—Jb—4ac

1、若A>0,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：芯=7。_絲上，％_絲L

2a2a

2、若△=（）,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x,=x=-—；

22a

3、若A<0,則方程無實(shí)根（不代表沒有解）。

二、1、利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；

2、運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；

3、通過判別式，證明與方程有關(guān)的代數(shù)問題：

4、借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題。

【例題精講】

【例1】已知方程ax?+4x—1=0；則①當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

②當(dāng)。取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？③當(dāng)a取什么值時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根？

【鞏固】1、已知關(guān)于x的方程J+2（2-n?）x+3-6〃z=0。

求證：無論機(jī)取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；

2、已知關(guān)于x的一元二次方程（1-2女）氏2—2jTTTx—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求出的取值范

圍。

【拓展】關(guān)于x的方程左》2一伏一1卜+1=0有有理根，求整數(shù)%的值。

【例2】已知關(guān)于x的方程i一伙+2卜+2女=0。

(1)求證：無論出取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)若等腰三角形ABC的一邊長a=1,另兩邊長匕、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求AABC的周

長。

【鞏固】1、等腰三角形45c中，8c=8,AB、AC的長是關(guān)于X的方程x?—10x+機(jī)=0的兩根,

貝ijm=o

2、在等腰三角形ABC中，NA、NB、/C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知。=3,。和c是關(guān)于x

的方程+mx+2-一〃?=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求三角形48c的周長。

2

【拓展】已知對(duì)于正數(shù)a、b、c,方程c2/+(a2—62一。2卜=0沒有實(shí)數(shù)根，求證：以長

a、b、c的線段為邊能組成一個(gè)三角形。

【例3】設(shè)方程卜2+公卜4有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的值和相應(yīng)的3個(gè)根。

【鞏固】已知關(guān)于光的方程/+（1一。卜2一2以+42=0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是。

【例4】設(shè)。，b,C,d>0,證明在方程

—x~+J2〃+bx+Jcd—0；

2

一元2+J2b+ex+Jad=0；

2

—+J2c+dx+Vcib—0；

2

—+J2d+tzx+Jbe=0,

2

中，至少有兩個(gè)方程有不相等的實(shí)數(shù)根。

第八講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【知識(shí)梳理】

一元二次方程ax2^bx+c=0（。w0）的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

bc

設(shè)方程的兩個(gè)根X],X,則X]+X2=----,2次2=一。

9aa

韋達(dá)定理用途比較廣泛，運(yùn)用時(shí)，常需要作下列變形：

22

(1)X/+x2=(xj+x2)-2XjX2；

2,22

(x,4-x)-2X)X2

(2)生+五「I+Z…2

XXjXX/2

1x22

32

x/+x2=+x2)[(xj+x2)

2=X+X2

(4)(X1-x2)(l2)-4XJX2;

X+X2

(5)ki-%2”(占-%2)2=V(12)-4%1^2O

【例題精講】

【例1】求下列方程的兩根之和，兩根之積。

(1)X2-2X+1=0；(2)X2-9X+10=0；

解：X,+X、=,XXc=解：工+x、=,x(x2=

(3)2X2-9X+5=0；(4)4X2-7X+1=0；

解：玉+工2=_____，X,X9=解：X]+X)=,x}x2-

(5)2X2-5X=0；(6)x2-1=0

解：X.+X2=_____,XxX2=_______解：玉+冗2=____x{x2=_______

【例2】設(shè)為，M是方程2?+?-3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值:

(1)(%]+1)(乃+1)=______；(2)%|2%2+^1-^22=______；(3)—H--=______

%x2

2233

(4)(X1+X2)=;(5)(X1—X2)=；(6)X|+X2=

【例3】解答下列問題：

(1)設(shè)關(guān)于X的?元二次方程天2—41一2卜一1)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根匹、X2，問是否存在

X]+%2＜匹?X2的情況？

(2)已知：玉、/是關(guān)于X的方程/+(2a—l)x+q2=0的;兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且&+2\x2+2)=11,

求。的值。

【鞏固】

1、已知關(guān)于x的方程x2+4x+a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且2X]—芍=7,則。=。

2、已知a、￡是方程1一%一1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a?+a仿2一2)的值為

7772

【例4】已知關(guān)于x的方程：x2-(m-2>--=0?

(1)求證：無論加取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根；

(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根修、/滿足|/|=|再|(zhì)+2,求機(jī)的值及相應(yīng)的修、/。

【鞏固】已知關(guān)于x的方程――Q女—3卜+%2+1=0。

(1)當(dāng)女為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；

(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根不、X2滿足歸|+|/|=3,求k的值。

【例4】CD是RA48C斜邊上的高線，AD.BD是方程無？-6x+4=0的兩根，則△ABC的面積

是多少？

【鞏固】已知△ABC的兩邊A8、AC的長是關(guān)于X二次方程，—(2攵+3)X+%2+3女+2=0的兩個(gè)

實(shí)數(shù)根，第三邊8C的長為5。

(1)上為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形：

(2)%為何值時(shí)，是等腰三角形，并求△ABC的周長。

第九講：一元二次方程的應(yīng)用

【知識(shí)梳理】

方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多實(shí)際問題可

轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。

列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟基本相同，解題的

關(guān)鍵是恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、分析數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)問題，建立二次

方程模型解決問題。

【例題精講】

【例11要建一個(gè)面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)省材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一條墻，

墻長am,另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為35m。

（1）求雞場(chǎng)的長和寬各為多少？

（2）題中墻的長度am對(duì)題目的解起著怎樣的作用？

【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)產(chǎn)生不利影

響；但同時(shí)考慮文物的修繕和保存費(fèi)用問題，還要保證一定的門票收入，因此博物館采用了漲浮門

票的價(jià)格來控制參觀人數(shù)，在該方法實(shí)施過程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價(jià)之間存在著如圖所示的

?次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬元的門票收入，那么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多

少？門票價(jià)格應(yīng)是多少元？f人數(shù)（人）、

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

101520票價(jià)（元）

【例3】將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元,

其銷售量就減少10個(gè)，問為了賺得8000元的利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？

【例4】甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)相背而行，1小時(shí)后分別到達(dá)各自的終點(diǎn)A與8,若讓他們?nèi)?/p>

從原地出發(fā)，互換彼此到達(dá)的目的地，則甲將在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)8,求甲與乙的速度之比。

【例5】一支士兵隊(duì)伍長1200米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍的排頭兵，

并在到達(dá)排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已經(jīng)前進(jìn)了1200

米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？

【例6】象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記。分，如果

平局，兩個(gè)選手各記1分，今有4個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手的得分總數(shù)，分別是1980、1981、

1993、1994,經(jīng)核實(shí)確實(shí)有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無誤，試計(jì)算這次比賽中共有多少名選手參加。

【鞏固】

1、在青島市開展的創(chuàng)城活動(dòng)中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長15m）的空地上修建?個(gè)矩形花園

ABCD,花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成（如圖所示），若設(shè)花園的8c邊長為xm,

花園的面積為ym2o

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）滿足條件的花園面積能達(dá)到200m2嗎？若能，求出此時(shí)x的值；若不能，說明理由；

（3）當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積為多大？

/、///////、/

AD

BC

2、某水果批發(fā)商場(chǎng)有一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)

現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈

利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？

3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時(shí)出發(fā)，它們的速度是固定的。第?次相遇距河的一岸700米處，

然后繼續(xù)前進(jìn)，都到達(dá)對(duì)岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米處，如果認(rèn)為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)

方向時(shí)不耽誤時(shí)間，問河有多寬？

4、一支士兵隊(duì)伍長100米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍排頭，并在到達(dá)

排頭后立即回到隊(duì)伍的末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已前進(jìn)了100米,

如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？

5、象棋比賽共有奇數(shù)個(gè)選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤，記分辦法是勝一盤得1分，和

一盤各得0.5分，負(fù)一盤得0分，已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，求參加此

次比賽的選手共有多少人？

第十講：專題復(fù)習(xí)：因式分解、分式和根式

【知識(shí)梳理】

一、因式分解：

1、常用的公式：

平方差公式：a2-b2=(a+b^a-b)\

完全平方公式：a~±2ab+b2-(a±/?)~；

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+/?+c)2；

a2+b2+c2+lab-2bc-2ca=(a+￡?-c)2；

ci~-\-h~+c~-2ab+2bc-2ca-(ci-b-c)~；

立方和(差)公式：a3+b3-(a+b)(a2-ab+b2］；

a3-h3-(a—b^a1+ab+b2^；

2、許多多項(xiàng)式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果:

(1)ab±b±a+\=(a+1、/?+1)：

(2)ah+a+b-l^(a+l^b±[)；

(3)a"+4=(a~+2a+-2a+2)；

(4)4a4+1=(2a2+2a+l)(2a2-2a+1)；

(5)a~+b~+c?+2ab+2bc+2ac-(a+/?+c)~；

(6)a+/7+c-3abe=(a+b+c)(a~+b~+c2-cih-he-ac)。

二、分式:

1、分式的意義

A

形如4(A、8為整式)，其中8中含有字母的式子叫分式。

B

當(dāng)分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零，而當(dāng)分母為零時(shí)，分式?jīng)]有意義。

2、分式的性質(zhì)

(1)分式的基本性質(zhì):

A_AxMA^M

(其中用是不為零的整式)。

加一BxM-B+M

(2)分式的符號(hào)法則:

分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變。

(3)倒數(shù)的性質(zhì):

tz?—=l(6f--y=-l(^z>0)；若a'=l,貝

1（owO,〃是整數(shù)）;

ayjaa

dH---22（〃〉0）o

a

3、分式的運(yùn)算

八、-蘆、i-a、ba±ba,cad±bc

分式的博算法則有：一±—=----,-±-=--------

bdbd

ac_aca

—（〃是正整數(shù)）。

~b7一良"丁dbn

4、分式的變形

分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設(shè)參法（主要用于連比

式或連等式），拆項(xiàng)法（即分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等。

三、二次根式:

1、當(dāng)a20時(shí)，稱，i為二次根式，顯然行20。

2、二次根式具有如下性質(zhì)：

(I)(G)=a(a>0)；(2)y[a^==<"當(dāng)a之0時(shí),

,當(dāng)〃<0時(shí)；

(3)-fab=yfa.4b(a>0,/?>0)；

3、二次根式的運(yùn)算法則如下：

(1)ay/~c±b>[c=(a±b)Jc(c>0)；

(2)(&)"=4^(a>0)o

4、設(shè)a,b,c,d,meQ,且加不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)。=c,0=d時(shí),

a+by/m=c+d4rn。

【例題精講】

【例1】分解因式：x2+xy-6y2+x+13y-6

【鞏固】分解因式：

1、x~-xy—2_y~-x+5y—2；2^3x~+5盯—2y?+x+9y—4；

【例2】已知a、b、c是一個(gè)三角形的三邊，則。4+//+，4一2。2/一2/，2-2。2。2的值是（）

A.恒正8.恒負(fù)C.可正可負(fù)D非負(fù)

3、%為何值時(shí)，多項(xiàng)式2孫+。2+31—5y+2能分解成兩個(gè)一次因式的積?

【例3】已知a、I是實(shí)數(shù)，且-1+。2+4,1+12+同=1,問a、b之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)推導(dǎo)。

【專題訓(xùn)練】

1、已知出?+〃+/?+1=13,求〃+。的值為

2、多項(xiàng)式工2+〃孫+刀2一51+），+6的一個(gè)因式是工+y一2,試確定〃+》的值為,

3、設(shè)3。=。+2。，求/一財(cái)+而+公。的值。

.八口、幾。+人"cc+。i(a+h\b+c\c+a)

4、若abcH0,且設(shè)-----=-----=-----,則ni^-----------------L=

cababc

5、已知1=—^-,2=*-,3=-^,則》=

x+yy+zz+x

6、已知。+冗2=1991,b+x2=1992,c+x2=1993,且a/?c=24,則

_a____b_____c___l__l_l__

becaababc

3x2+6x4-5

7、當(dāng)X變化時(shí)，分式的最小值為

-x2+X+1

2

8、

6331

x2一Mx+1x-mx+11

9、已知實(shí)數(shù)a滿足|1992—《+Ja-1993=a,貝U。一1992?

2屈

10、化簡(jiǎn)

V2+V3+V5

11?.已知y/~X——產(chǎn)'—,則d4x+/=

12、設(shè)』39-J荻的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b,則一U—+—'1

a+b。+4—/7

13、蹲式Ja(x-q)+-4)=J尤一〃一，4一。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a,x,y兩兩不同,

.C3x24-xy-y2

則———-~—=:

x-xy+y

14、使等式?+6=回成立的整數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)為

15、設(shè)正整數(shù)a,機(jī)，〃滿足Ja?-4A歷=廂一冊(cè),則這樣的a,m,〃的取值有..組;

122122"

16、求和：s=」一+=v+」w+???+----7-

1+X1+X~1+Xl+x2n

11

17、已知。+/?+。=0,化簡(jiǎn)b2+c2-a2+c2+a2-h2+a2+b2-c2

2

計(jì)算(I"1—?)(1-G)(1-c2也⑹的值。

18>若。+力+c=W0,

acab

1111

19、計(jì)算:------+-----------++,,,+---------------

3+V3573+3757百+5行------49747+47749

設(shè)"=（4+281，它的小數(shù)部分為P，求M（l—P）的值。

20、

第十一講：專題復(fù)習(xí)：代數(shù)式的恒等變形

【知識(shí)梳理】

1、恒等式的意義

兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒

等。

2、代數(shù)式的恒等變形

把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證明，就是通

過恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等。

3、基本思路

(1)由繁到簡(jiǎn)，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另?邊:

(2)兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；

-左邊

(3)證明:左邊-右邊=0,或犯=1,此時(shí)右邊h0。

4、基本方法

在恒等變形的過程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比較法、換元

法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法。

【例題精講】

【例1】己知abc=1,求證：--—+--—+—--=lo

"+a+lbe+b+Toc+c+1

思路點(diǎn)撥：由繁到簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)左邊，使左邊等于右邊。

【鞏固】已知x、y、z為三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且x+L