九年級(jí)數(shù)學(xué)講義教學(xué)

第一講菱形的性質(zhì)與判定

1菱形定義

_____________________的四邊形叫做菱形。

菱形性質(zhì)

菱形有哪些特殊性質(zhì)？

邊：;

角:__________________________

對(duì)角線：____________________________________________________

對(duì)稱性：__________________________________________________________

菱形性質(zhì)的應(yīng)用

1.菱形的兩條對(duì)角線的長分別是6cm和8cjn,求菱形的周長和面積。

2“已知：如圖，在菱形ABCD中,周長為8cm,NBAD=120°對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)

0,求這個(gè)菱形的對(duì)角線長和面積。

3.如圖，菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于0,AB=8,E是CD的中點(diǎn)，則0E的長等

于.

4.已知菱形兩條對(duì)角線的長分別為12和16,則這個(gè)菱形的周長為，面積

為.

三'解答題

5.如圖,四邊形ABCD是菱形,邊長為10cm,對(duì)角線AC,BD交于0,ZBAD=60°.

(1)求對(duì)角線AC,BD的長；

(2)求菱形的面積.

6.如凰在4ABC中，AB=AC,四邊形ADEF是菱形,求證:BE=CE.

練習(xí)填空

(1)菱形的兩條對(duì)角線長分別是12cm,16cm,它的.周長等于，面

積等于。

(2)菱形的一條邊與它的兩條對(duì)角線所夾的角比是3：2,菱形的四個(gè)內(nèi)角

是，。

(3)已知：菱形的周長是20cm,兩個(gè)相鄰的角的度數(shù)比為1：2,則較短的

對(duì)角線長是。

(4)已知：菱形的周長是52cm“一條對(duì)角線長是24cm,則它的面積是。

菱形的判定方法:

1.木工在做菱形的窗格時(shí)，總是保證四條邊框一樣長，你知道其中的道理嗎?借助

以下圖形探索:如圖，在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA,試說明四邊形ABCD是,菱形.

證明：

我發(fā)現(xiàn),的四邊形是菱形。

2.如下圖，在3BCD中，若ACLBD,則。ABCD是什么圖形?

證明:

我發(fā)現(xiàn),的平行四邊，形四邊形是菱形.

菱形的判定方法：

1、的四邊形是菱.形

符號(hào)語言________________________________________________

2、的平行四邊形是菱形

符,號(hào)語言?，

例習(xí)題分析

例CABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,且AB=5,A0=4,0B=3.求證：OIBCD

是菱形。

8.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB〃CD,AB=CD=BC,四邊形ABCD是菱形嗎？

說明理由.

5.如圖,△ABC中,E,F,D分別是AB,AC,BC邊上的點(diǎn),且DE/7AC,DE=AF,在不改變圖形的前提

下,請(qǐng)你添加一個(gè)條件:，使四邊形AEDF是菱形,并寫出證明過程.

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D

6.如圖,在平行四邊形ABCD中,0是對(duì)角線AC的中點(diǎn),過點(diǎn)0作AC的垂線與邊AD、BC分別

交于E、F.連接AF,CE.求證：四邊形AFCE是菱形.

四、思考題

9.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,且OC=OD,PD〃AC,PC〃BD,PD,

PC相交于點(diǎn)P,四邊形PC0D是菱形嗎？試說明理由.

課后鞏固

3.菱形的判定方法：

(1)有一組鄰邊的平行四邊形是菱形；

(2)對(duì)角線的平行四邊形是菱形；

(3)的四邊形是菱形；

(4)每條對(duì)角線一組對(duì)角的四邊形是菱形.

4.如凰在小ABC中，NACB=90°,BC的垂直平分線EF交BC于D,交AB于E,且CF=BE.則四邊

形BECF是形.

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6.菱形ABCD的周長為48cm,ZBAD：ZABC=1：2,則BD=P,菱形的面積是

7.在菱形ABCD中，AB=4,AB邊上的高DE垂直平分邊AB,則BD=,AC=

三、解答題

1、.如圖，AE〃BF,AC平分/BAD,且交BF于點(diǎn)C,BD平分.NABC,且交AE于點(diǎn)

D,連接CD,求證：四邊形ABCD是菱形。

A___________________

BCF

2、如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)M,N分別在AB,AD上，且BM=DN,MG〃AD,NF〃

AB,點(diǎn)F,G分別在BC,CD上，MG與NF相交于點(diǎn)E.求證：四邊形AMEN,EFCG都

是菱形。

練習(xí)

1、一個(gè)平行四邊形的一條邊長是15,兩條對(duì)角線的長分別是12和9,這是一個(gè)

特殊的平行四邊形嗎？為什么？求它的面積。

歸納）：S菱形=-=K

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第二講矩形性質(zhì)

1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形，叫做矩形。由此可見，矩形是

特殊的，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)。

2.矩形有哪些平行四邊形不具有的特殊性質(zhì)？

3.證明：矩形的四個(gè)角都是直角

已知：如圖，

求證：

證明：

證明：矩形對(duì)角線相等

已知：如圖，A---------------------------B

求證

證明

3.合作探究：

問題一：如圖，矩形ABCD,對(duì)角線相交于0,觀察對(duì)角線所分成的三角形，你有

什么發(fā)現(xiàn)？

問題二在RtZ\ABC中，你能發(fā)現(xiàn)它有什么特殊的性質(zhì)嗎？

證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.”

已知

求證

證明

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問題三上面結(jié)論的逆命題

是：。

是否正確？請(qǐng)給予證明。

4.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0.過點(diǎn)A作AE〃BD,交CB的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證:AC=AE;

⑵若NA0B=120°,AE=8,求BC的長.

5.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,CE/7BD,DE/7AC.

⑴證明：四邊形0CED為菱形；

(2)若AC=4,求四邊形CODE的周長.

鞏固練習(xí)

1.矩形除了具備平行四邊形的性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：四個(gè)角,對(duì)角

線O

2.在矩。形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,若ZAQ8=100,則

ZOAB=。

3、已知矩形的長為20,寬為12,順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所形成的四邊形的

面積是?

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4.如圖，矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0.若NA0B=60°,BD=8,則AB的長為（）

5.如圖，在AABC中，AB=AC,ADJ_BC,垂足為D,E是AC的中點(diǎn).若DE=5,則AB的長

為.

6.如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)0,已知NA0D=120°,AB=2.5cm,

求矩形對(duì)角線的長。

矩形的判定

1.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有條對(duì)稱軸.

2.矩形是特殊的平行四邊形，怎樣判定一個(gè)平行四邊形是矩形呢？

請(qǐng)同學(xué)們說出最基本的方法：（用定義）

1.知識(shí)點(diǎn)一：探究“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形?！?/p>

如圖在L7ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于0,女口果

AC=BDAD

求證：CABCD是矩形。

證明：3BCD是平行四邊形

.*.AB=CD,AB〃CD(

二ZABC+ZDCB=180BC

在AABC和ADCB中

｛二二

.,.△ABC^ADCB()

ZABC=ZDCB

工ZABC=_____

DABCD是矩形()

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2.知識(shí)點(diǎn)二：探究“三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形。”

已知：在四邊形ABCD中NA=NB=NC=90°

求證：四邊形ABCD矩形

證明：ZA+ZB+ZC+ZD=度

而NA=NB=/C=90度

/.ZD=________

，四邊形ABCD是平行四邊形（）

...四邊形ABCD矩形（）

6.如圖，已知AB/7DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°,求證:

(1)AABF^ADEC;

(2)四邊形BCEF是矩形.

7.已知:0是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),E、F、GUI分別是OA、OB、OC、0D上的點(diǎn),AE=BF=CG=DH,

求證：四邊形EFGH為矩形.

2.如圖,在矩形ABCD中，點(diǎn)0為對(duì)角線的交點(diǎn),E為BC的中點(diǎn),0E=3,AC=12,則AD=（）

3.如圖,矩形ABCD被兩條對(duì)角線分成四個(gè)小三角形,如果四個(gè)小三角形的周長的和是86厘米,

矩形的周長是30厘米,則對(duì)角線的長是厘米.

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4.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,若AE平分/BAD交BC于點(diǎn)E,且B0=BE,

連接0E,則/B0E=.

三、解答題

5.已知:如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),連接AD,取AD的中點(diǎn)E,過點(diǎn)A作BC的平行線

與CE的延長線交于點(diǎn)F,連接DF.

(1)求證:AF=DC;

(2)當(dāng)AD與CF滿足什么條件時(shí)，四邊形AFDC是矩形?并說明理由.

6.在RtAABC中,NACB=90°,D是AB的中點(diǎn),DE平分NADC,DF平分NBDC,那么EF=DC嗎?試

說明理由.

練習(xí)；

1.如圖，3BCD中，AB=6,BC=8,AC=10,

求證：3BCD是矩形。

B

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第三講正方形的性質(zhì)

正方形性質(zhì)

正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì).

正方形性質(zhì)定理1:正方形的四個(gè)角都是，四條邊都。

正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等并且

例1.求證：正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.

已知：四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD

相交于點(diǎn)0（如圖）.

求證：△ABO、△BCO、△CDO、aDAO是

全等的等腰直角三角形.

B

例2.已知：如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn),

點(diǎn)F是CB的延長線上「點(diǎn)，且DE=BF.

求證：（1）EA=AF；（2）EA±AF.

3.如右圖，E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且AEBC是等邊三角形,

求NEAD與NECD的度數(shù).

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4.如圖,邊長為4的正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)0的直線分別交AD,BC于點(diǎn)

E,F,則陰影部分的面積是.

AED

BFC

三、解答題

5.如圖，四邊形ABCD是正方形,△EBC是等邊三角形.

⑴求證：△ABEgADCE;

(2)求/AED的度數(shù).

6.如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點(diǎn)，已知CEJ_BF,垂足為M,請(qǐng)找出和BE相

等的線段,并證明你的結(jié)論.

練習(xí)

1.⑴正方形的四條邊，四個(gè)角，兩條對(duì)角線

⑵正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的

⑶正方形的邊長為6,則面積為

⑷正方形的對(duì)角線長為6,則面積為

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2.如右圖，E為正方形ABCD邊AB上的一點(diǎn)，已知EC=30,EB=10,

則正方形ABCD的面積為,對(duì)角線為

3.如右圖，E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且AEBC是等邊三角形,

求NEAD與NECD的度數(shù).

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正方形的判定

用菱形證明正方形.

1.已知四邊形ABCD是菱形,當(dāng)滿足條件時(shí)，它成為正方形（填上你認(rèn)

為正確的一個(gè)條件即可）.

證明：

用矩形證明正方形.

2.已知四邊形ABCD是矩形,當(dāng)滿足條件時(shí)，它成為正方形（填上你認(rèn)

為正確的一個(gè)條件即可）.

證明：

用平行四邊形證明正方形

3.在RtZ\ABC中，ZACB=90°，CD平分NACB,DEIBC,DF1AC,垂足分別是E,

F。

求證：（1）四邊形CFDE是平行四邊形。

（2）四邊形CFDE是矩形或菱形（任選一項(xiàng)）。

（3）四邊形CFDE是正方形。

練習(xí)：

1.對(duì)角線的菱形是正方形，

對(duì)角線的矩形是正方形，

對(duì)角線的平行四邊形是正方形，

對(duì)角線的四邊形是正方形.

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2?已知：如圖，4ABC中，ZABC=90°，BD是NABC的平分線，DE_LAB于點(diǎn)E，DF

J_BC于點(diǎn)F.求證：四邊形DEBF是正方形.

3?如圖，在4ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，將4ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°

得到ACFE.

(1)求證：四邊形ADCF是平行四邊形；

(2)當(dāng)aABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是正方形？請(qǐng)說明理由.

4.如下圖E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且NEAF=45°,試說明

EF=BE+DFo

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5.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，且BE=CF,求

證：AABE^ABCF.

6.已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F,G,H分別是BC,BE,

CE的中點(diǎn).

(1)求證：4BGF四△FHC；

(2)設(shè)AD=a,當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí)，求矩形ABCD的面積.

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第四講一元二次方程

【知識(shí)要點(diǎn)】

1、一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，并且都可以化為

ax2+bx+c^O(a、b、c、為常數(shù)，a，0)的形式，這樣的方程叫做一元

二次方程。

(1)定義解釋：①一元二次方程是一個(gè)整式方程；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③并

且未知數(shù)的最高次數(shù)是2。這三個(gè)條件必須同時(shí)滿足，缺一不可。

(2)ax2+bx+c-0(a、b、c、為常數(shù)，a/0)叫一元二次方程的一般形式，

也叫標(biāo)準(zhǔn)形式。

(3)+Z?x+c=O(a，0)中，a,b,c通常表示已知數(shù)。

2、一元二次方程的解：當(dāng)某一x的取值使得這個(gè)方程中的0?+以+。的值為0,

x的值即是一元二次方程0?+以+。=0的解。

3、一元二次方程解的估算：當(dāng)某一x的取值使得這個(gè)方程中的+c的值

無限接近0時(shí)，x的值即可看做一元二次方程ox?+以+。=0的解。

【經(jīng)典例題】

例1、下列方程中，是一元二次方程的是

①--y=0；②2x2-x—3=0；③4=3；④ax2=bx；@x2=2+3x；

4二

o_____

⑥％3_》+4=0；⑦產(chǎn)=2；⑧/+3X—2=0；⑨J%2—x=2；⑩a/=。*。彳。)

X

例2、(1)關(guān)于x的方程(m—4)x，(m+4)x+2m+3=0,當(dāng)m時(shí)，是一元

二次方程，當(dāng)m時(shí)，是一元一次方程.

(2)如果方程ax?+5=(x+2)(x—1)是關(guān)于x的一元二次方程，則a.

(3)關(guān)于x的方程(2/+/〃-3)x"+5x=13是一元二次方程嗎？為什么？

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例3、把下列方程先化為一般式，再指出下列方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及

常數(shù)項(xiàng)。

(1)2X2-X+1=0(2)-5X2+1=6X(3)(X+1)2=2X(4)~43x2-4x=-8

例4、(1)某校辦工廠利潤兩年內(nèi)由5萬元增長到9萬元，設(shè)每年利潤的平均增

長率為x,可以列方程得()

A.5(l+x)=9B.5(1+X)2=9

C.5(1+X)+5(1+X)2=9D.5+5(1+X)+5(1+X)2=9

(2)某商品成本價(jià)為300元，兩次降價(jià)后現(xiàn)價(jià)為160元，若每次降價(jià)的百分率

相同，設(shè)為x,則方程為.

例5、一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯，如下圖所示，它的長為8m,寬為

5m,如果地毯中央長方形圖案的面積為18m2,那么花邊有多寬？(列出方程并

估算解得值)

⑴

例6、如圖，一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離

為8m,如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動(dòng)多少米?

【經(jīng)典練習(xí)】

一、選擇題

1、下列關(guān)于x的方程：①1.5乂?+1=0；②2.3X2+^+I=O；③3.4xJax(其中a為常

X

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數(shù))；④2x，3x=0；⑤亙"1=2x；⑥{(妨+④=2x中，一元二次方程的個(gè)

數(shù)是()

A、1B、2C、3D、4

2、方程x2—2(3x—2)+(x+l)=0的一般形式是

A.X2—5x+5=0B.x"+5x+5=0C.x2+5x—5=0D.x2+5=0

3、一元二次方程7x2-2x=0的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)依次是

A.7x2,2x,0B.7x2,—2x,無常數(shù)項(xiàng)

C.7x2,0,2xD.7x\—2x,0

4、若x=l是方程ax4bx+c=0的解，則

A.a+b+c=lB.a—b+c=0C.a+b+c=0D.a—b—c=0

二、填空題

1、將x(4x+3)=3x+l化為一般形式為,此時(shí)它的二次項(xiàng)系數(shù)是.

，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是o

2、如果(a+2)xZ+4x+3=0是一元二次方程，那么a所滿足的條件為.

3、已知兩個(gè)數(shù)之和為6,乘積等于5,若設(shè)其中一個(gè)數(shù)為X,可得方程為

4、某高新技術(shù)產(chǎn)生生產(chǎn)總值，兩年內(nèi)由50萬元增加到75萬元，若每年產(chǎn)值的

增長率設(shè)為x,則方程為.

5、某化工廠今年一月份生產(chǎn)化工原料15萬噸，通過優(yōu)化管理，產(chǎn)量逐月上升，

第一季度共生產(chǎn)化工原料60萬噸，設(shè)一、二月份平均增長的百分率相同，均

為x,可列出方程為.

三、解答題

1、某商場(chǎng)銷售商品收入款：3月份為25萬元，5月份為36萬元，該商場(chǎng)4、5

月份銷售商品收入款平均每月增長的百分率是多少？

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【課后作業(yè)】

一、填空題

1、方程5(x2-V2x+l)=-3V2x+2的一般形式是,其二次項(xiàng)是

,一次項(xiàng)是，常數(shù)項(xiàng)是.

2、若關(guān)于x的方程(”-1)/_3。尤+5=0是一元二次方程，這時(shí)a的取值范圍是

3、某地開展植樹造林活動(dòng)，兩年內(nèi)植樹面積由30萬畝增加到42萬畝，若設(shè)植

樹面積年平均增長率為x,根據(jù)題意列方程.

二、選擇題

1、下列方程中，不是一元二次方程的是()

A.2X2+7=0B.2X2+2A/3X+1=0C.5X2+-+4=0D.3X2+(1+X)V2+1=0

X

2、方程x2—2(3x—2)+(x+l)=0的一般形式是()

A.x2—5x+5=0B.X2+5X+5=0C.X2+5X—5=0D.x2+5=0

3、一元二次方程7/—2x+l=5的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)依次是()

A.7x2,2x,1B.7x；—2x,無常數(shù)項(xiàng)C.7x2,0,2xD.7x2,-2x,-4

4、方程x?一6:=(百一四)x化為一般形式，它的各項(xiàng)系數(shù)之和可能是()

A.72B.-V2C.V2-V3D.1+72-273

5、若關(guān)于x的方程(ax+b)(d—cx)=m(acW0)的二次項(xiàng)系數(shù)是ac,則常數(shù)項(xiàng)為

()

A.mB.—bdC.bd-mD.—(bd-m)

6、若關(guān)于x的方程a(x—1)2=2(—2是一元二次方程，則a的值是()

A.2B,-2C.0D.不等于2

7、若x=T是方程ax?+bx+c=0的解，則()

A.a+b+c=lB.a—b+c=0C.-a+b+c=0D.a—b—c=0

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第五講一元二次方程(配方法)

【知識(shí)要點(diǎn)】

1、直接開平方法解一元二次方程：

(1)把方程化成有一邊是含有未知數(shù)的完全平方的形式，另一邊是非負(fù)數(shù)的形

式，即化成(X±Z?)2=4(420)的形式

(2)直接開平方，解得否=干。+&,%2=干6-右

2、配方法的定義：通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種

解一元二次方程的方法稱為配方法。

3、用配方法解一元二次方程的步驟：

(1)利用配方法解一元二次方程時(shí)，如果辦2+以+。=0中a不等于1,必須兩

邊同時(shí)除以a,使得二次項(xiàng)系數(shù)為1.

(2)移項(xiàng)，方程的一邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，另一邊為常數(shù)項(xiàng)。

(3)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

(4)用直接開平方法求出方程的根。

【經(jīng)典例題】

例1、解下列方程:

(1)X2=4(2)(X+3)2=9

例2、配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：

(1)X2+12X+_=(X+6)2(2)X2+8X+_=(x+)2(3)x2-12x+

=(x-)2

例3、用配方法解方程

(1)3X2+8X-3=0(2)6%2-X-12=0

155

(3)—x2+—x——=0(4)》2一國一2=0

224

第21頁共80頁

例4、請(qǐng)你嘗試證明關(guān)于x的方程(/-8，〃+20)父+2znr+l=0,不論m取何值,

該方程都是一元二次方程。

例5、一小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時(shí)間

t(s)滿足關(guān)系：h=15t—5t"小球何時(shí)能達(dá)到10m高?

【經(jīng)典練習(xí)】

一、填空題

1、若x?=225,貝！Jx產(chǎn),x2=.

2、若9x：'—25=0,則x】=,x2=.

3、填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)使下式成立.

①X2+6X+=(X+3)2②x?-x+l=(x-I)2③

X2+4X+=(x+)2

4、為了利用配方法解方程X2-6X-6=0,我們可移項(xiàng)得,方程兩邊

都加上得——，化為——?解此方程得

X|=，x2=.

5、將長為5,寬為4的矩形，沿四個(gè)邊剪去寬為x的4個(gè)小矩形，剩余部分的

面積為12,則剪去小矩形的寬x為

二、選擇題

1、一元二次方程x2—2x—m=0,用配方法解該方程，配方后的方程為()

A.(X—l)2=m2+lB.(x—l)2=m—1

C.(x—1尸=1—mD.(x—l)2=m+l

2、用配方法解方程x?+x=2,應(yīng)把方程的兩邊同時(shí)()

A.加一B.加'C.減一D.減工■

4242

3、3知xy=9,x-y=-3,則x?+3xy+y2的值為()

A.27B.9C.54D.18

第22頁共80頁

三、計(jì)算題(用配方法解下列方程)

(1)x2=16(2)(x-2)2=4

(3)x2+5x—1=0(4)2x2—4x—1=0

(5)-x2-6x+3=0(6)x2-x+6=0

4

(7)x2-4x-3=0(8)x2+12%+25=0

(9)3x2—1=6x(10)2，—2缶+1=0

四、解答題

兩個(gè)正方形，小正方形的邊長比大正方形的邊長的一半多4cm,大正方形的面

積比小正方形的面積的2倍少32平方厘米，求大小兩個(gè)正方形的邊長.

【課后作業(yè)】

1、將下列方程兩邊同時(shí)乘以或除以適當(dāng)?shù)臄?shù)，然后再寫成(x+m)2=n的形式

(1)2x2+3x-2=0(2)-X2+X-2=0

4

2、用配方法解下列方程

(l)x2+5x—5=0(2)2X2-4X-3=0

(3)X2-3X-3=0(4)lx1+7x+14=0

第23頁共80頁

第六講一元二次方程（公式法）

【知識(shí)要點(diǎn)】

1、復(fù)習(xí)用配方法接一元二次方程的步驟，推導(dǎo)出一元二次方程的求根公式：對(duì)

于一元二次方程以2+公+c=0其中由配方法有。+2）2=絲學(xué)。

2a4a2

（1）當(dāng)人2一4。。之0時(shí)，得釬心土揚(yáng)-4"，；

2a

（2）當(dāng)4ac<0時(shí)，一元二次方程無實(shí)數(shù)解。

2、公式法的定義：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。

3、運(yùn)用求根公式求一元二次方程的根的一般步驟：

（1）必須把一元二次方程化成一般式以2+公+°=0,以明確a、b、c的值；

（2）再計(jì)算從-4ac的值:

①當(dāng)。2一4知之0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，其解為：X=Z?±"2-&￡；

2a

②當(dāng)〃一4改<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解。

【經(jīng)典例題】

例1、推導(dǎo)求根公式：ax2+bx+c=O（azO）

例2、利用公式解方程:

(1)X2-2X-2=0(2)2X2+7X=4

(3)-JC2-4X+1=0(4)X2-4A/3X+10=0

第24頁共80頁

例3、已知a,b,c均為實(shí)數(shù)，且J/-2a+l+Ib+1I+(c+3)2=0,解方程

ax2+bx+c=O

例4、你能找到適當(dāng)?shù)膞的值使得多項(xiàng)式A=4X2+2X-1與B=3X2-2相等嗎？

例5、一元二次方程(m—l)x'+3m2+(nr+3m—4)=0有一根為零，求m的值及

另一根.

【經(jīng)典練習(xí)】

1、用公式法解下列各方程

(1)X2+6X+9=7(2)12X2+7X+1=0

(3)x2—4y/2x+8=0(4)2%2-3X-5=O

(5)x2—%—1=0(6)3X2-5X+1=0

第25頁共80頁

(7)(2x-l)(x-3)=4(8)4y2-(V2+8)y+V2=0

(9)41x2-V3x-V2=0(10)(y-2)(y+l)+y(y-1)=0

(11)5x2-8x=-l

【課后作業(yè)】

1、用公式法解下列方程:

(1)X2-7X+1=0(2)x(x+8)=0

(3)x2—x=2(4)0.8X2+X=0.3

(5)3/+1=2(6)x1=7x

第26頁共80頁

第七講一元二次方程(分解因式法)

【知識(shí)要點(diǎn)】

1、分解因式法解一元二次方程：當(dāng)一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分

解成兩個(gè)一次因式的積時(shí)，可用解兩個(gè)一元一次方程的方法來求得一元二次

方程的解，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法。

2、分解因式法的理論依據(jù)是：若。2=0,則a=O或。=0

3、用分解因式法解一元二次方程的一般步驟：

①將方程的右邊化為零；

②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；

③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；

④解這兩個(gè)一元一次方程，他們的解就是一元一次方程的解。

【典型例題】

例1、(1)方程(尤—1)(1+2)=2(》+2)的根是

(2)方程(x—l)(x+2)(x—3)=0的根是

例2、用分解因式法解下列方程

(1)3x2-6x=0(2)3(x—5尸=2(5—x)

(3)x2-2x+l=0(4)4x2+8x=-4

(5)(3x+2)2-(x+3)2=0(6)49(X-3)2=16(x+6產(chǎn)

(7)-X2+-X-6=0(8)(X-1)2-4(X-1)-21=0.

42

第27頁共80頁

例3、2一百是方程x2+bx-l=0的一個(gè)根，則b=，另一個(gè)根是

例4、已知a?—5ab+6bJO,則q等于（）

ba

A.2-B.3-C.2-gc3-D.2』或3,

232332

例4、解關(guān)于x的方程：（a2—b2）x2+4abx=a2—b?.

例5、x為何值時(shí)，等式卜2—x—4+歐―3x—2|=0

【經(jīng)典練習(xí)】

一、填空題.

1、用因式分解法解方程9=(-2x+l

(1)移項(xiàng)得；

(2)方程左邊化為兩個(gè)數(shù)的平方差，右邊為0得；

(3)將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式之積得；

(4)分別解這兩個(gè)一次方程得xi=,x2=o

2、(1)方程t(t+3)=28的解為.

(2)方程(2X+1)2+3(2X+1)=0的解為.

3、(1)用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化為兩個(gè)一元一次

方程和求解。

(2)方程(一16=0,可將方程左邊因式分解得方程,則有兩個(gè)一

元一次方程或，分別解得：

Xi=,x2=.

4、如果方程x2-3x+c=0有一個(gè)根為1,那么c=,該方程的另一根為,

該方程可化為(x-1)(x)=0

第28頁共80頁

5、已知x2-7xy+12y2=0,那么x與y的關(guān)系是.

6、小英、小華一起分蘋果，小華說：“我分得蘋果數(shù)是你的3倍?！毙∮⒄f：“如

果將我的蘋果數(shù)平方恰好等于你所得的蘋果數(shù)?！眲t小英、小華分得的蘋果

個(gè)數(shù)分別是

二、解下列關(guān)于x的方程

(l)x'+12x=0；2)4/—1=0；

(3)(x-1)(x+3)=12；(4)x2—4x—21=0；

(5)3X2+2X-1=0；(6)10X2-X-3=0；

(7)4(3x+l)-9=0(8)5(2x-l)=(l-2x)(x+3)

【課后作業(yè)】

一、選擇題

1、已知方程4x?-3x=0,下列說法正確的是()

3

A.只有一個(gè)根x=-B.只有一個(gè)根x=0

4

33

C.有兩個(gè)根Xi=0,X2=—D.有兩個(gè)根Xi=0,X2=-一

44

2、如果(x-1)(x+2)=0,那么以下結(jié)論正確的是()

A.x=l或x=-2B.必須x=l

C.x=2或x=-lD.必須x=l且x=-2

3、若方程(x-2)(3x+1)=0,則3x+l的值為()

A.7B.2C.0D.7或0

二、用因式分解法解下列方程：

(l)t(2t-l)=3(2t-l)；(2)y2+7y+6=0；

(4)y2-15=2y(4)(2x-l)(x-l)=0

第29頁共80頁

第八講一元二次方程的解法

1.用配方法解下列方程:

(1)(2X-1)2=1；(2)x2+4x—1=

0；

(3)^x2—6x+3=0.

2.用公式法解下列方程:

(1)5X2+2X-1=0；(2)6X2+13X+6=0；

第30頁共80頁

(3)X2+6X+9=7；(4)5x+2=3x2.

3.用因式分解法解下列方程:

(1)X2-25=0；(2)x?=4x；

(3)(x—3)(x—1)=6—2x.

4.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

⑴(x—5尸=16；(2)X2-3X=5；

第31頁共80頁

(3)(3X-4)2=(4X-3)2；(4)(2x—1)(x+1)=(3x+

1)(x+1).

5.解下列一元二次方程:

(1)X2—4x—6=0；(2)X2-5X+2=0；

C3)y(y—8)=—16；⑷4(X,+1)2=9(X—2)2.

第32頁共80頁

第九講判別式和根與系數(shù)的關(guān)系

【知識(shí)要點(diǎn)】

1、一元二次方程的判別式：△=〃-4ac

(1)當(dāng)從一4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，x=~y-

2a

A

(2)當(dāng)從一4砒=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，x,=x=--o

22a

(3)當(dāng)從一4。。<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)解。

2、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的推導(dǎo):

對(duì)于一元二次方程辦2+歐+。=0其中設(shè)其根為對(duì)/，由求根公式

有％+x——

2aa

3、常見的形式：

22

(1)(x,-x2)=(%,+x2)-4X,X2

33

(2)x；+x2=(X]+x2)-3X}X2(X]+X2)

2

(3)%]—x2-+-J(XI+%2)—4X1X2

【典型例題】

1、寫出下列每個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。

(1)X2-2x+l=o(2)X2-2A/3X-1=0(3)2x2-3x+l=0

2、寫出一元二次方程ax2+bx+c=0(a70)的求根公式，并計(jì)算出兩根和、兩積。

想一想，一元二次方程根與系數(shù)有怎樣的關(guān)系？

3、不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出下列方程的兩根和、兩根積。

(1)X2+3X+1=0；(2)3x2—2x—1=0；(3)2x2+5x=0。

第33頁共80頁

4、求出每個(gè)方程一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù)和常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)

的商；你發(fā)現(xiàn)了什么？

結(jié)論：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

如果方程以2+云+。=0(470)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(當(dāng)從_4b20)時(shí)根為：乂1,

x2，貝！I

b_c

X|+X2=------X]X2=-

aa

用文字?jǐn)⑹鰹椋喝绻辉畏匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，則兩根之和等于一次

項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的商。

例題學(xué)習(xí)、方法總結(jié)回答下列問題：

1、利用根與系數(shù)的關(guān)系求一元二次方程兩根和、兩根積的前提條件是什么？

2、利用根與系數(shù)的關(guān)系求一元二次方程兩根和、兩根積的確步驟是什么？

方法總結(jié)：(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求一元二次方程兩根和、兩根積的前提條

件是方程必須要有實(shí)數(shù)根。(△=b2-4ac20)

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系求一元二次方程兩根和、兩根積的確步驟

是：①先將方程化為一般式；②判斷根的情況；③在方程有解的前提下再求兩根

和、兩根積。

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，完成下列問題：

1.如果治、X2是一元二次方程*2-6*-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則3X2=.

2.不解方程，求下列方程的兩根K、X2的和與積。

(1)x2-3x-5=0(2)2x2+5x-5=0

3、已知一元二次方程的兩根之和是3,兩根之積是-2,則這個(gè)方程是()

(A)X2+3X-2=0(B)X2+3X+2=0(C)/—3x—2=0⑺)x2-3J:+2=0

例：已知方程/+依-6=0的一個(gè)根是2,求方程的另一個(gè)根及。的值。

第34頁共80頁

問題：1、解答此題你用到了哪些知識(shí)？

2、解此類題的基本思路是什么？

歸納反思：基本思路是：

①首先將已知根代入方程求出未知系數(shù)；

②其次是將已求的未知系數(shù)的值代入方程，再根據(jù)根與系數(shù)

的關(guān)系求出另一根。

合作探究：請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，不解方程，利用根與系的關(guān)系完成例2,

并思考回答后面的問題。

例2：如果王、與是方程爐―3x+l=0的兩個(gè)根，則求出下列代數(shù)式的值。

11

------F----

①X\X2

問題：求解關(guān)于一元二次方程兩根代數(shù)式的值的基本思路是什么？

歸納反思：基本思路是：

①先將代數(shù)式通過恒等變形轉(zhuǎn)化成兩根和、兩根積形式；

②準(zhǔn)確寫出a與b的值；

③根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出變形后代數(shù)式的值。

練習(xí)

1、已知方程/-2x-c=0的一個(gè)根是1+四，求方程的另一個(gè)根及c的值。

2、若關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-2=0的一個(gè)根為-1,則另一個(gè)根為()

A>1B、-1C>2D、-2

3.即、々是方程2F-3x-5=0的兩個(gè)根，不解方程，求下列代數(shù)式的值：

22

(1)+3X2-3X2(2)X1++XjX2(3)(Xj+2)(x2+2)(4)

土+工

x2xx

4、已知方程/+"+匕=°的兩個(gè)根分別是2與3,則年.全.

5、x?X2是方程2x?+4x-3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值

2+2/、Xs>X]

(1)(Xi+1)(x2+l)；(2)X1X2XIX2；

XiXo

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例1當(dāng)m分別滿足什么條件時(shí)，方程2x2-（4m+l）x+2m2-l=0,

（1）有兩個(gè)相等實(shí)根；（2）有兩個(gè)不相實(shí)根；（3）無實(shí)根；（4）有兩個(gè)實(shí)根.

例2、已知方程d-2x-c=0的一個(gè)根是3,求方程的另一個(gè)根及c的值。

例3、已知方程/一51-6=0的根是X1和X2,求下列式子的值：

22

（1）X,+x2+xix2（2）—+^=-

x2x]

例3、已知關(guān)于x的方程3x2-mx-2=0的兩根為治，x”且上+-!-=3,

Mx2

求①m的值；②求婷+xj的值.

例5、已知關(guān)于、的方程（1）一一（1一2?？?/一3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

且關(guān)于％的方程（2）/—2x+2a-1=0沒有實(shí)數(shù)根，問a取什么整數(shù)時(shí)，方程

（1）有整數(shù)解？

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【經(jīng)典練習(xí)】

一、填空題

1、已知方程x2—3x—4=。的兩個(gè)根分另u是xl和x2,貝lJ~+、2=,x/2=

2、已知方程—+初+8=0的兩個(gè)根分別是2與3,則。=,b=

3、已知方程,+3x+左=0的兩根之差為5,k=

4、(1)已知方程x2-12x+m=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則m=

(2)方程4/+2對(duì)+5=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的5倍，則m=；

5、以數(shù)五+1,血-1為根構(gòu)造一個(gè)一元二次方程

二、簡答題

1、討論方程(12)/一冬加一1?一4=0的根的情況并根據(jù)下列條件確定m的值。

(1)兩實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)；(2)兩實(shí)數(shù)根中有一根為1。

2、求證：不論k取什么實(shí)數(shù)，方程%2(%+6)x+4/-3)=0一定有兩個(gè)下相等的

實(shí)數(shù)根？

3、已知方程，—3x+c=0的一個(gè)根是2,求另一個(gè)根及c的值。

4、已知方程2,一4x-5=0的兩個(gè)根分別是％和X2,求下列式子的值：

22

(1)(X]+2)(x2+2)(2)%,-x]x2+x2

第37頁共