高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)4

2024學(xué)年鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無(wú)效；3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為q，記（），則“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．44．已知為橢圓上的點(diǎn)，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，的平分線交線段于點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．5．已知分別為橢圓的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，若直線交線段于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．在三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，滿足，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)進(jìn)行校園廚藝總決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到冠軍.”對(duì)乙說(shuō)：“你和甲的名次相鄰.”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列情況種數(shù)為（

）A．54 B．48 C．42 D．368．下列命題中，真命題的是（

）A．若回歸方程，則變量與正相關(guān)B．線性回歸分析中決定系數(shù)用來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好C．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為18D．若，則二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.9．已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，為底面直徑，，，點(diǎn)在底面圓周上，且點(diǎn)到平面的距離為，則（

）A．該圓錐的體積為 B．直線與平面所成的角為C．二面角為 D．直線與所成的角為10．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．在上單調(diào)遞增D．若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則11．如圖，在四棱柱中，底面是正方形，，且，則（

）A． B．C． D．直線與平面所成的角為三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍為.13．已知是拋物線上的一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，則.14．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)按下述規(guī)則移動(dòng)：每次只能向下或向左移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向左移動(dòng)的概率為.那么移動(dòng)5次后位于點(diǎn)的概率是.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．（13分）已知函數(shù)，在時(shí)最大值為1，最小值為0.設(shè).(1)求實(shí)數(shù)m，n的值；(2)若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.16．（15分）平面直角坐標(biāo)系中，單位圓與軸正半軸交于點(diǎn)，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)位于第二象限.(1)若弧的長(zhǎng)為，寫(xiě)出的坐標(biāo)，并計(jì)算扇形的面積；(2)角的終邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后恰與角的終邊重合，若，求的值.17．（15分）如圖，在三棱柱中，平面為的中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．18．（17分）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求雙曲線的方程；(2)若斜率為的直線經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，求的周長(zhǎng).19．（17分）在2019中國(guó)北京世界園藝博覽會(huì)期間，某工廠生產(chǎn)三種紀(jì)念品，每一種紀(jì)念品均有精品型和普通型兩種，某一天產(chǎn)量如下表:（單位:個(gè)）紀(jì)念品紀(jì)念品紀(jì)念品精品型100150普通型300450600現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取200個(gè)，其中種紀(jì)念品有40個(gè).(1)求的值；(2)用分層抽樣的方法在種紀(jì)念品中抽取一個(gè)容量為5的樣木，從樣本中任取2個(gè)紀(jì)念品，求至少有1個(gè)精品型紀(jì)念品的概率；(3)從種精品型紀(jì)念品中抽取5個(gè)，其某種指標(biāo)的數(shù)據(jù)分別如下：，把這5個(gè)數(shù)據(jù)看作一個(gè)總體，其均值為10，方差為2，求的值.

參考答案一、單項(xiàng)選擇題1．【答案】C【解析】由題意，，，當(dāng)時(shí)，對(duì)于不一定恒成立，例如；當(dāng)為遞減數(shù)列時(shí)，且對(duì)于恒成立，又因?yàn)?，所以得，因此“”是“?shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件，故選：C.2．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，令，可得，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由可得，或.①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，此時(shí)存在使得與有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，故滿足題意；②當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不符合題意；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故不符合題意；④當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故不符合題意；⑤當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，此時(shí)存在使得與有兩個(gè)交點(diǎn).綜上可得，或.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.3．【答案】B【解析】由，解得，故的定義域?yàn)?設(shè)，則，其中，，∵，則，∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值，即函數(shù)的最大值是.故選：B.4．【答案】A【解析】因?yàn)榈钠椒志€交線段于點(diǎn)，所以，由正弦定理得，，.又因?yàn)?，，所以，?不妨設(shè)，則，解得，所以.故選：A.5．【答案】B【解析】由題意得，設(shè)，又，所以，即，解得，即，又由三點(diǎn)共線得.所以，整理得，所以.故選：B.6．【答案】D【解析】解：三棱錐中，由于，，則三棱錐可以補(bǔ)在長(zhǎng)方體，則設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則，解得，如圖以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則，，所以，則異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.7．【答案】C【解析】由題意，第一種情況：乙是冠軍，則甲在第二位，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況；第二種情況：先從丙、丁、戊中選1人為冠軍，再排甲，乙兩人，再把甲和乙捆綁與其他人排列，共有種；綜上可得共有種不同的情況.故選：C.8．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以變量與負(fù)相關(guān)，故A錯(cuò)誤；在線性回歸分析中越大，則模型擬合效果越好，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，所以，故D正確.故選：D二、多項(xiàng)選擇題9．【答案】BCD【解析】取線段的中點(diǎn)，連接，過(guò)作，垂足為，易知，又，面，所以面，又面，所以，又，且，面，所以面，所以線段的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離，即，對(duì)于A：在等腰三角形中，，，所以，所以該圓錐的體積為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由面可得直線與平面所成的角為，在直角三角形中，，所以，B正確；對(duì)于C：由面可得二面角的平面角為，在直角三角形中，，所以，C正確；對(duì)于D：取線段的中點(diǎn)，連接，明顯有，則直線與所成的角為或其補(bǔ)角，因?yàn)?，則，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在中，，所以，D正確.故選：BCD.10．【答案】BD【解析】依題意，可得，又，則，所以，結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，則，所以，對(duì)于A，，顯然是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)取得最大值，所以在上不是單調(diào)增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠜](méi)有零點(diǎn)，可得，解得，故D正確，故選：BD.11．【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:在四棱柱中，易得,，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)?所以所以，即,故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:由,所以所以,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D:取的交點(diǎn),連接,因?yàn)榈酌媸钦叫?，且，所?所以，所以,因?yàn)?所以,所以，即.因?yàn)槊?，所以?所以為在面的投影，即為直線與平面所成的角.在中，易得，所以,故選項(xiàng)D正確.故選：BD.三、填空題12．【答案】【解析】，則的定義域?yàn)?；又，故為偶函?shù)；當(dāng)時(shí)，，又在上都是單調(diào)增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；因?yàn)?，所以，解得，故的取值范圍?故答案為：.13．【答案】【解析】由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)在第一象限，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，過(guò)作的垂線，垂足分別為．如圖所示，由題意知，因?yàn)椋字?，又點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：，解得，在中，，，由余弦定理得，所以，故答案為：.14．【答案】【解析】因?yàn)橄蜃笠苿?dòng)的概率為，所以向下移動(dòng)的概率為，由題意得必須向左移動(dòng)4次，向下移動(dòng)1次，所以所求的概率為.故答案為：四、解答題15．（13分）【答案】(1)，(2)【解析】（1）由可知，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，可得，即，解得，.（2）易知，所以即為，可化為，令，即；則關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)為于關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，，需滿足，解得；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.16．（15分）【答案】(1)，，(2)【解析】（1）的長(zhǎng)為，，解得，若點(diǎn)位于第二象限，且在單位圓上，設(shè)，扇形的面積為，故有，，故，結(jié)合扇形面積公式得，（2）易知角的終邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后恰與角的終邊重合，故，即.17．（15分）【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）連接交于，連接，側(cè)面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，,平面平面，所以平面；（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，到平面的距離.18．（17分）【答案】(1)；(2).【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的半焦距，由，得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知，直線的方程為，設(shè)，，由