專題03 動(dòng)點(diǎn)、折疊與旋轉(zhuǎn)中的角度問(wèn)題基礎(chǔ)鞏固+技能提升（解析版）

專題03基礎(chǔ)鞏固+技能提升【基礎(chǔ)鞏固】1.（2019·江蘇蘇州市期末）如圖，將一張長(zhǎng)方形的紙片沿折痕EF翻折，使點(diǎn)C、D分別落在點(diǎn)M、N的位置，且∠BFM=∠EFM，則∠BFM的度數(shù)為_(kāi)______【答案】36°.【解析】解：由折疊的性質(zhì)可得：∠MFE=∠EFC，

∵∠BFM=∠EFM，設(shè)∠BFM=x°，則∠MFE=∠EFC=2x°，

∵∠MFB+∠MFE+∠EFC=180°，

∴x+2x+2x=180，

解得：x=36，

∴∠BFM=36°．

故答案為：36°．2．（2020·山東省日照市月考）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊，若∠EFG=50°，則∠DEG=_________度．【答案】100.【解析】解：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFG=50°，

由折疊知，∠DEF=∠FEG=50°，

∴∠DEG=50°+50°=100°，

故答案為：100．3．（2020·山西大同市期末）學(xué)習(xí)平行線后，張明想出了過(guò)已知直線外一點(diǎn)畫(huà)這條直線的平行線的新方法，他是通過(guò)折一張半透明的紙得到的．觀察圖（1）～（4），經(jīng)兩次折疊展開(kāi)后折痕CD所在的直線即為過(guò)點(diǎn)P與已知直線a平行的直線．由操作過(guò)程可知張明畫(huà)平行線的依據(jù)有（）①同位角相等，兩直線平行；②兩直線平行，同位角相等；③內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；④同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④【答案】D.【解析】解：由作圖可知，a⊥AB，CD⊥AB，利用同位角相等，兩直線平行或內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，判定CD∥a，故答案為：D．4.（2020·江西九江市期末）將如圖1的長(zhǎng)方形紙片沿折疊得到圖2，折疊后與相交于點(diǎn)．如果則的度數(shù)為_(kāi)___．【答案】55°.【解析】解：∵AE∥BF，

∴∠AEP=∠FPE=70°．設(shè)∠PEF=x，∠AEP+2∠PEF=180°，

70°+2x=180°，x=55°．即∠PEF=55°，

故答案為：55°．5.（2019·河北邯鄲市期末）如圖，直線AB∥CD，直線l與直線AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P是射線EA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)E），將△EPF沿PF折疊，使頂點(diǎn)E落在點(diǎn)Q處．⑴若∠PEF＝48°,點(diǎn)Q恰好落在其中的一條平行線上,則∠EFP的度數(shù)為．⑵若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度數(shù)．【答案】⑴42°或66°⑵35°或63°.【解析】解：（1）當(dāng)Q落在CD上時(shí)，∠EFP=∠PFQ=（180－48）÷2=66°當(dāng)Q落在AB上時(shí)，∠FPQ=∠FPQ=90°，∠EFP=90°－48°=42°，故答案為：42°或66°.（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在平行線之間時(shí),設(shè)∠PFQ=x，則∠EFP=x由∠PFC=2∠CFQ，知∠CFQ=x，∵AB∥CD∴75+x+x+x=180即x=35，∠EFP=35°.②當(dāng)點(diǎn)Q在CD的下方時(shí),設(shè)∠CFQ=x，則∠PFC=2x，∠PFQ=3x，∠PFE=3x，∵AB∥CD∴2x+3x+75=180，解得x=21即∠EFP=63°.6.（2020·達(dá)州市期中）已知：如圖所示，直線MN∥GH，另一直線交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，點(diǎn)C為直線GH上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，且∠GCD＝50°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B右邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線所在直線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠BPC的度數(shù)，不說(shuō)明理由．【答案】（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°.【解析】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥MN∵PB平分∠DBA，∴∠DBP=∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，同理可證：∠CPE=25°，∴∠BPC＝40°+25°＝65°；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE∥MN．∵∠MBA＝80°．∴∠DBA＝180°?80°＝100°．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP=50°，∵M(jìn)N∥PE，∴∠BPE＝180°?∠DBP＝130°，∵PC平分∠DCA．∴∠PCA=25°，∵M(jìn)N∥PE，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠EPC=∠PCA=25°，∴∠BPC＝130°+25°＝155°；（3）過(guò)點(diǎn)P作PE∥MN．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP＝∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，∵CP平分∠DCA，∠DCA＝180°?∠DCG＝130°，∴∠PCA=65°，∵PE∥MN，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠CPE＝180°－∠PCA＝115°，∴∠BPC＝40°+115°＝155°．7.（2020·湖南益陽(yáng)市期末）如圖，，點(diǎn)為直線上一定點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線與之間且在線段的右方作點(diǎn)，使得．設(shè)為銳角)．(1)求與的和；(2)當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若平分，也恰好平分，請(qǐng)求出此時(shí)的值【答案】（1）∠NAD＋∠PBD=90°；（2）見(jiàn)解析；（3）30°.【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作EF∥MN∵M(jìn)N∥OP∴EF∥OP∴∠NAD=∠ADE，∠PBD=∠BDE∵AD⊥BD∴∠ADB=90°∴∠ADE＋∠BDE=∠ADB=90°∴∠NAD＋∠PBD=90°.（2）∵∠NAD＋∠PBD=90°∴∠PBD=90°－∠NAD∵∠OBD＋∠PBD=180°，∴∠OBD＋90°－∠NAD=180°即∠OBD－∠NAD=90°；（3）∵AD平分∠NAB，AB平分∠OBD，∴∠NAD=∠DAB=α，∠NAB=2α，∠OBD=2∠OBA∵M(jìn)N∥OP∴∠OBA=∠NAB=2α∴∠OBD=4α由（2）知∠OBD－∠NAD=90°即4α－α=90解得：α=30.8.（2019·吉林長(zhǎng)春市期末）探究:如圖①，，試說(shuō)明．下面給出了這道題的解題過(guò)程，請(qǐng)?jiān)谙铝薪獯鹬?，填上適當(dāng)?shù)睦碛桑畧D1圖2圖3解:∵．(已知)∴．（）同理可證，．∵，∴．（）應(yīng)用:如圖②，，點(diǎn)在之間，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則的大小為_(kāi)____________度．拓展:如圖③，直線在直線之間，且，點(diǎn)分別在直線上，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線上，連結(jié)．若，則=________度．【答案】探究：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；應(yīng)用：60；拓展：70或290．【解析】應(yīng)用：由探究可知：∠EFG＝∠AMF＋∠CNF，∵∠EFG＝115°，∠AMF＝∠EMB＝55°，∴∠DNG＝∠CNF＝∠EFG－∠AMF＝115°?55°＝60°，故答案為：60；拓展：如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在直線GH的右側(cè)時(shí)，∠AGQ＋∠EHQ，＝180°－∠BGQ＋180°－∠FHQ，＝360°－（∠BGQ+∠FHQ），＝360°－∠GQH，＝290°，當(dāng)點(diǎn)Q′在直線GH的左側(cè)時(shí)，∠AGQ′＋∠EHQ′＝∠GQ′H＝70°，故答案為：70或290．9.（2019·山西期中）如圖，射線AB∥CD，P為一動(dòng)點(diǎn)，∠BAP與∠DCP的平分線AE與CE交于點(diǎn)E.(1)當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖1）,即∠APC=180,則∠AEC＝______；(2)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到圖2的位置時(shí)，猜想∠AEC與∠APC的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到圖3的位置時(shí),（2）中的結(jié)論還成立嗎?(不要求說(shuō)明理由)【答案】（1）90°；（2）∠AEC=∠APC；（3）∠AEC=180°-∠APC．【解析】解：（1）過(guò)E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠DCA=180°，

∵∠BAP與∠DCP的平分線AE與CE交于E，

∴∠BAE=∠EAC，∠DCE=∠ACE，

∴∠BAE+∠CEF=90°；

∴∠AEC=180°，∠AEC=90°；

（2）作EM∥BA，PN∥BA，

∴∠BAE=∠AEM，∠MEC=∠ECD，

∠APN=∠BAP，∠NPC=∠PCD，

∵∠BAE=∠EAP，∠PCE=∠ECD，

∵∠AEC=∠AEM+∠MEC，∠APC=∠APN+∠NPC，

∴∠AEC=∠APC；

（3）作EW∥AB，EP∥AB，

同理得：2∠AEC=360°-∠APC，

∴∠AEC=180°-∠APC．10.（2020·山東德州市期末）如圖，PQ∥MN，A、B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN＝45°，若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：鐘表指針走動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?）a＝，b＝；（2）若射線AM、射線BQ同時(shí)旋轉(zhuǎn)，問(wèn)至少旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相垂直．（3）若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線BQ才開(kāi)始繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問(wèn)射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)多少秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相平行？【答案】（1）a＝5，b＝1；（2）t＝15（s）；（3）15，22.5.【解析】解：（1）|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣1＝0，∴a＝5，b＝1，故答案為：5，1；（2）設(shè)至少旋轉(zhuǎn)t秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相垂直．設(shè)旋轉(zhuǎn)后的射線AM、射線BQ交于點(diǎn)O，則BO⊥AO，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∵PQ∥MN，∴∠ABQ+∠BAM＝180°，∴∠OBQ+∠OAM＝90°，∵∠OBQ＝t°，∠OAM＝5t°，∴t+5t＝90，∴t＝15（s）；（3）設(shè)射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相平行．①如圖，∠QBQ'＝t°，∠M'AM’’＝5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM’’＝5t﹣45°，當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM’’時(shí)，BQ'∥AM’’，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得：t＝15；②∠QBQ'＝t°，∠NAM’’＝5t°﹣90°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM’’時(shí)，BQ'∥AM’’，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得：t＝22.5.11.（2019·河北邯鄲期中）嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究數(shù)學(xué)問(wèn)題：一副三角尺分別有一個(gè)角為直角，其余角度如圖1所示，AB=發(fā)現(xiàn)：(1)如圖2，當(dāng)AB與DE重合時(shí)，∠CDF=(2)如圖3，將圖2中ΔABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度使得∠CEF=156°拓展：(3)如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使得AC⊥DE于點(diǎn)①此時(shí)AC與EF平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.②求∠AED的度數(shù)探究：(4)如圖5、圖6，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使得AC∥DF，求∠【答案】(1)105°；(2)24°；(3)①平行，垂直于同一條直線的兩條直線平行；②∠AED=60°【解析】解：（1）∵∠CAB=60°，∠EDF=45°，∴∠CDF=∠CAB+∠EDF=105°，（2）∵∠CEF=156°，∠∴∠CBA+∠AEB=∠CBA+∠DEF-∠AED=90°+90°-∠AED=156°，∴∠AED=180°-156°=24°.（3）①平行，理由如下：∵AC⊥DE，∠∴AC//EF.②∵AC⊥DE，∠∴∠CED=90°-30°=60°，∵∠CBA=90°，∴∠AED=90°-60°=30°，（4）在圖5中，∵AC//EF，∴∠DHE=∠A=60°，∵∠D=45°，∴∠AED=180°-60°-45°=75°，在圖6中，過(guò)過(guò)E作EG//AC，∵AC//DF，EG//AC，∴EG//DF，∴∠DEG=∠D=45°，∠AEG=∠A=60°，∴∠AED=45°+60°=105°.12.長(zhǎng)江汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且滿足．假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°（1）求的值；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）a=3，b=1；（2）t=10秒或85秒；（3）2∠BAC=3∠BCD.【解析】解：（1）由非負(fù)性知，a-3=0，b-1=0即a=3，b=1.（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒,兩燈的光束互相平行,①3t=（20+t）×1，解得t=10;②3t-3×60+（20+t）×1=180°，解得t=85;③3t-360=t+20，解得t=190＞160,（不合題意）綜上所述，當(dāng)t=10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行;（3）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∠CAN=180°-3t,∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°,∵PQ∥MN,∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，又∠ACD=90°,∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，∴∠BAC：∠BCD=3：2,即2∠BAC=3∠BCD.13.（2020·吉林四平市期末）將一副三角板按如圖方式擺放，兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，∠A=60°，∠E=∠B=45°．（1）求證：∠ACE=∠BCD；（2）猜想∠ACB與∠ECD數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）按住三角板ACD不動(dòng)，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角板ECB，探究當(dāng)∠ACB等于多少度時(shí)，AD∥CB．請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）∠ACB+∠ECD=180°;（3）當(dāng)∠ACB=120°或60°時(shí)，AD∥CB.【解析】解：（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，∴∠ACD﹣∠ECD=∠ECB﹣∠ECD，即∠ACE=∠BCD．（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由如下：∵∠ACB=∠ACD+∠DCB∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠DCB+∠ECD又∵∠DCB+∠ECD=∠ECB，∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.（3）當(dāng)∠ACB=120°或60°時(shí)，AD∥CB．理由如下：①如圖，當(dāng)∠A+∠ACB=180°時(shí)，AD∥BC，此時(shí)，∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．②如圖，當(dāng)∠ACB=∠A=60°時(shí)，AD∥BC．綜上所述，當(dāng)∠ACB=120°或60°時(shí)，AD∥BC.【拓展提升】1.（2020·山東濰坊市期中）把一張長(zhǎng)方形紙片沿翻折后，點(diǎn)，分別落在、的位置上，交于點(diǎn)，則圖中與互補(bǔ)的角有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C.【解析】∠FEG=∠FEC，∠EFD=∠EFD’，∠FEC與∠FCB互補(bǔ)∵AD∥BC，∴∠FEC與∠EFD互補(bǔ)∴∠EFD’與∠EFD也互補(bǔ)故答案為：C.2．（2020·湖北省武漢市期中）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P在AB，CD之間且在EF的左側(cè)．若將射線EA沿EP折疊，射線FC沿FP折疊，折疊后的兩條射線互相垂直，則EPF的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】45°或135°【解析】解：①如圖過(guò)M作MN∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥MN∴∠AEM=∠EMN，∠NMF=∠PFC又∠EMN+∠NMF=90°，同理，∠P=∠PEA+∠PFC=（∠EMN+∠NMF）=45°②如圖，同理，得：2∠P+∠EMF=360°，∴∠P=135°故答案為：45°或135°．3.（2020·廣東汕尾市期末）已知：直線，點(diǎn)分別在直線上，點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，過(guò)點(diǎn)作射線，使得．（1）如圖1所示，當(dāng)射線與重合，時(shí)，則；（2）如圖2所示，當(dāng)射線與不重合，時(shí)，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）（3）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）25°；（2）α；（3）∠AMP=∠QND.【解析】解：（1）過(guò)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥CD，

∴∠AMP=∠MPE，∠CNP=∠EPN，

∴∠MPN=∠AMP+∠PNC，

∵∠MPN=90°，

∴∠AMP+∠PNC=90°，

∵∠PNQ=∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND=180°，∴∠PNQ=∠PNC=∵∠QND=50°，

∴∠PNC=65°，

∴∠AMP=90°-65°=25°．

故答案為：25°；

（2）過(guò)P作PF∥AB，

∵AB∥CD，

∴PF∥CD，

∴∠AMP=∠MPF，∠CNP=∠FPN，

∴∠MPN=∠AMP+∠PNC，

∵∠MPN=90°，

∴∠AMP+∠PNC=90°，

∵∠PNQ=∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND=180°，∴∠PNQ=∠PNC=∵∠QND=α，

∴∠PNC=90°?α，

∴∠AMP=90°?90°+α=α．

故答案為α；（3）由(1)（2）可知：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AMP=∠QND.4.（2020·山西期中）如圖1．已知直線．點(diǎn)為，內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，作的平分線交直線于點(diǎn)，作的平分線交直線于點(diǎn)，和交于點(diǎn)．（1）若，猜想和的位置關(guān)系，并證明；（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上連接，則在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)滿足且時(shí)，求的度數(shù)．【答案】（1）平行；（2）108°.【解析】解：（1）AD∥CB．證明如下：∵AB∥DE，∴∠EDF=∠DAB，∵DF平分∠EDC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠FDC=∠DAB，∵∠FDC+∠ABC=180°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC．（2）設(shè)∠DCF=x，則∠CFB=1.5x，，∵CF∥AB∴∠ABF=∠CFB=1.5x∵BE平分∠ABC∴∠ABC=2∠ABF=3x，∵AD∥BC∴∠FDC+∠BCD=180°∵∠FDC+∠ABC=180°∴∠BCD=∠ABC=3x，∠BCF=2x，由CF∥AB，知∠ABC+∠BCF=180°∴3x+2x=180x=36故∠BCD=108°.5.中國(guó)最長(zhǎng)鐵路隧道西康鐵路秦嶺一線隧道全長(zhǎng)十八點(diǎn)四六千米，為目前中國(guó)鐵路隧道長(zhǎng)度之首，被稱為”神州第一長(zhǎng)隧”．為了安全起見(jiàn)在某段隧道兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A發(fā)出的光束從AC開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AD便立即回轉(zhuǎn)，燈B發(fā)出的光束從BE開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BF便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A旋轉(zhuǎn)的速度是每秒3度，燈B旋轉(zhuǎn)的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD=∠BAC，設(shè)燈A旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（單位：秒）．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）若燈B發(fā)出的光束先旋轉(zhuǎn)10秒，燈A發(fā)出的光束才開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，在燈B發(fā)出的光束到達(dá)BF之前，若兩燈發(fā)出的光束互相平行，求燈A旋轉(zhuǎn)的時(shí)間t.【答案】（1）45；（2）t=20秒或68秒.【解析】解：（1）∵∠BAC+∠BAD=180°，∠BAD=∠BAC，∴∠BAC：∠BAD=3：1，∴∠BAD=180°×=45°，故答案為：45.（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①如圖，∵CD∥EF，∴∠EBE'=∠BE'A，∵BE'∥AC'，∴∠BE'A=∠CAC'，∴∠EBE'=∠CAC'，∴3t=2（10+t），解得：t=20.②如圖∵CD∥EF，∴∠EBE'+∠BE'D=180°，∵AC'∥BE'，∴∠BE'D=∠C'AD，∴∠EBE'+∠C'AD=180°，∴2（10+t）+（3t-180）=180，解得：

t=68，綜上所述，當(dāng)t=20秒或68秒時(shí)，兩燈的光束互相平行.6．如圖,O為直線AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作射線OC,∠AOC=30°,將一直角三角板(∠M=30°)的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊ON在射線OA上,另一邊OM與OC都在直線AB的上方,將如圖中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．(1)幾秒后ON與OC重合?(2)如圖，經(jīng)過(guò)t秒后，MN∥AB，求此時(shí)t的值．(3)若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí),射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間OC與OM重合?請(qǐng)畫(huà)圖并說(shuō)明理由．（4）在（3）的條件下，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間OC平分∠MOB?請(qǐng)畫(huà)圖并說(shuō)明理由．【答案】（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒；（4）秒.【解析】解：(1)∵30÷3=10，∴10秒后ON與OC重合；(2)∵M(jìn)N∥AB∴∠BOM＝∠M＝30°∵∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON＝60°，∴t=60÷3=20∴經(jīng)過(guò)20秒后，MN∥AB；（3）如圖：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠BOM，∵三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度,射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON=3t,∠AOC=30°+6t，∵OC與OM重合∵∠AOC+∠BOC=180°可得：（30°+6t）+（90°?3t）＝180°解得：t=20秒；(4)如圖：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度,射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON=3t,∠AOC=30°+6t，∴∠BOC=∠COM=(90°?3t)，∵∠BOM+∠AON=90°，可得：180°?(30°+6t)=(90°?3t)，解得：t=秒.7．（2020·浙江杭州）長(zhǎng)江汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1度/秒．假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)42秒，兩燈射出的光束交于C，求此時(shí)∠ACB的度數(shù)；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)10秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（直接寫出答案）【答案】（1）∠ACB＝54°；（2）t＝或t＝70或t＝或t＝142.【解析】解：（1）t＝42時(shí)，∠PBC＝42°，∠MAC＝168°，∵PQ∥MN，∴∠ACB＝54°，（3）由題意得：①4t＝10+7，解得t＝；②360﹣