線(xiàn)性規(guī)劃化問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法

第第頁(yè)線(xiàn)性規(guī)劃化問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法“簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”屬于高中數(shù)學(xué)新課程必修5,進(jìn)入了高考試題,并且保持了較大的考察比例,幾乎是每年高考的必考內(nèi)容,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

簡(jiǎn)約線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的幾種簡(jiǎn)約解法

依不拉音。司馬義〔吐魯番市三堡中學(xué)，838009〕

“簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”屬于高中數(shù)學(xué)新課程必修5，進(jìn)入了高考試題，并且保持了較大的考察比例，幾乎是每年高考的必考內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃是指目標(biāo)函數(shù)只含兩個(gè)自變量的線(xiàn)性規(guī)劃。簡(jiǎn)約線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型為：

A1*B1yC10(0)A2*B2yC20(0)約束條件,(mN),目標(biāo)函數(shù)zA*By，

Am*BmyCm0(0)

下面介紹簡(jiǎn)約線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的幾種簡(jiǎn)約解法。

1.圖解法

第一步、畫(huà)出約束條件表示的可行區(qū)域，這里有兩種畫(huà)可行區(qū)域的方法。

⑴代點(diǎn)法：直線(xiàn)A*+By+C=0〔c不為0〕的某側(cè)任取一點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入不等式，假設(shè)不等式成立，那么不等式表示的區(qū)域在該點(diǎn)的那一側(cè)；假設(shè)不成立，那么在另一側(cè)。

⑵B判別法：假設(shè)Ｂ＞0〔＜０〕，那么不等式A*+By+C＞0〔＜０〕表示的區(qū)域在直

線(xiàn)A*+By+C＝0的上方；假設(shè)Ｂ＞０〔＜０〕，那么不等式A*+By+C＜０(＞0)表示的區(qū)域在直線(xiàn)A*+By+C＝0的下方?！布醇僭O(shè)B與0的大小方向跟不等式的方向相同，那么可行區(qū)域是邊界線(xiàn)的上方；假設(shè)B與0的大小方向與不等式的方向相反，那么可信分區(qū)域是邊界線(xiàn)的下方〕

用上面的兩種方法畫(huà)出可行區(qū)域是很簡(jiǎn)約，所以這里不必舉例說(shuō)明。

第二步、在畫(huà)出的可行區(qū)域內(nèi)求最優(yōu)解〔使目標(biāo)函數(shù)取最大值或最小值的點(diǎn)〕，這

個(gè)可以用下面的兩種方法解決。

az*所經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)使其y軸上bb

az的截距最大〔最小〕時(shí)，便是z取得最大值〔最小值〕的點(diǎn)；假設(shè)b0，直線(xiàn)y*bb⑴y軸上的截距法：假設(shè)b0，直線(xiàn)y

所經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)使其y軸上的截距最大〔最小〕時(shí)，是z取得最小值〔最小值〕的點(diǎn)〔提示：截距不是距離，截距可以取正負(fù)〕。

*y1,例1．設(shè)*,y滿(mǎn)意約束條件y*,求z2*y的最大值、最小值。

y0,

解：如圖1作出可行域，由于y的系數(shù)1大于0，目標(biāo)函數(shù)z2*y表示直線(xiàn)y2*z在y軸上的截距，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)A〔1，0〕時(shí)，截距值最大zma*2102，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)O〔0，0〕時(shí)，截距值最小zmin2000。

“簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”屬于高中數(shù)學(xué)新課程必修5,進(jìn)入了高考試題,并且保持了較大的考察比例,幾乎是每年高考的必考內(nèi)容,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

圖1

y1例2．假設(shè)變量*,y滿(mǎn)意約束條件*y0，求z*2y的最大值和最小值。

*y20

解：如圖作出可行域，y的系數(shù)-2小于0，過(guò)點(diǎn)

A(1,-1)時(shí)在y軸上的距最小，目標(biāo)函數(shù)z*2y取

得最大值，所以zma*12(1)3；過(guò)點(diǎn)B〔-1,1〕

時(shí)在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)z*2y取得

最，所以zmin1213。

⑵法向量法：目標(biāo)函數(shù)

z

A*By的法向量

為〔A，B〕，它垂直于目標(biāo)函數(shù)直線(xiàn)的向量。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的值線(xiàn)沿目標(biāo)函數(shù)法向量方向平移時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值逐步增加，與可行區(qū)域最末〔最先〕相交的點(diǎn)上取最大值〔最小值〕；當(dāng)?shù)戎稻€(xiàn)沿目標(biāo)函數(shù)法向量反方向平行移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值逐步減削，與可行區(qū)域最末〔最先〕相交的點(diǎn)上取最小值〔最大值〕。

例3．點(diǎn)P(*,y)在以A(2,1)、B(–1,–6)、C(–3,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域〔包括邊界〕

內(nèi)，求z=4*–3y的最大值與最小值。

解：目標(biāo)函數(shù)z=4*–3y的法向量為〔4，-3〕，

目標(biāo)函數(shù)的直線(xiàn)沿法向量的方向平移時(shí)，最先與

可行域在C點(diǎn)上相交，最末在B點(diǎn)上相交〔因

為目標(biāo)函數(shù)的等值線(xiàn)從左上角平移過(guò)來(lái)〕。所以

目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C〔-3,2〕上取最小值

zmin4(3)4218，在點(diǎn)B〔-1，-6〕

上取最大值z(mì)ma*4(1)4(6)14。

“簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”屬于高中數(shù)學(xué)新課程必修5,進(jìn)入了高考試題,并且保持了較大的考察比例,幾乎是每年高考的必考內(nèi)容,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

圖解法雖然直觀、形象，它簡(jiǎn)單使人詳細(xì)地認(rèn)識(shí)線(xiàn)性規(guī)劃模型的求解過(guò)程，但是，這里難點(diǎn)至少有二；一是須要考慮y的系數(shù)b的正負(fù)，否那么簡(jiǎn)單得出反相的結(jié)論；二是要留意直線(xiàn)束的傾斜程度，尤其，要留意與約束條件中的一條或兩條只想的傾斜程度的關(guān)系，即斜率大小對(duì)直線(xiàn)傾斜程度的影響。其中，當(dāng)斜率為負(fù)值時(shí)，是同學(xué)最感頭疼的，也是同學(xué)最易出錯(cuò)的。為此，下面介紹通過(guò)向量數(shù)量積解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的方法，這種方法盡量避開(kāi)以上兩個(gè)難點(diǎn)，使解法更直觀，更簡(jiǎn)約，更不易出錯(cuò)。

2.向量的數(shù)量積法

把zA*By看成平面內(nèi)的向量OM(A,B)與ON(*,y)的數(shù)量積，即

zOMONOMONcosOM,ONA*By。由于OM為定值，所以當(dāng)且僅當(dāng)

ONcosOM,ON取最大值〔最小值〕時(shí)，z取最大值〔最小值〕，即當(dāng)且僅當(dāng)ON在OM

上的射影取最大值〔最小值〕時(shí)，z取最大值〔最小值〕〔留意：在OM正方向上的射影是

正值，在OM負(fù)方向上的射影是負(fù)值〕。這樣目標(biāo)函數(shù)zA*By在約束條件下的最大值

〔最小值〕問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為討論點(diǎn)O與可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)N所組成的向量ON在OM上

的射影的最大值〔最小值〕問(wèn)題。即線(xiàn)性規(guī)劃最大值〔最小值〕問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一向量在另一向量上的射影的最大值〔最小值〕問(wèn)題。

*y20例4．假設(shè)實(shí)數(shù)*，y滿(mǎn)意*4，求z*y的最小值。

y5

解：設(shè)z*y是向量OM(1,1)與ON(*,y)的數(shù)量積。

由于OM，所以當(dāng)且僅當(dāng)ONcosOM,ON取最小值

時(shí)z取最小值，即當(dāng)且僅當(dāng)ON在OM上的射影OP取最小值時(shí)，

取得最小值。如圖，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B〔4，-2〕重合時(shí)，ON在OM

負(fù)方向上的射影OP取最小值，所以最小值為zmin426。

3.頂點(diǎn)法

目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解確定在可行區(qū)域的頂點(diǎn)上〔這個(gè)命題可以證明〕。因此，首先求約束表示的可行區(qū)域頂點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，然后從計(jì)算出來(lái)的幾個(gè)函數(shù)值里面選最大〔或最小〕的即可。把約束條件中的每?jī)蓚€(gè)不等式組成一個(gè)方程組，方程組的解是兩條邊界線(xiàn)的交點(diǎn)。有些交點(diǎn)肯能不屬于可行區(qū)域，

所以每個(gè)交點(diǎn)需要代入約束條件檢驗(yàn)不等式是否成立。

“簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”屬于高中數(shù)學(xué)新課程必修5,進(jìn)入了高考試題,并且保持了較大的考察比例,幾乎是每年高考的必考內(nèi)容,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

假設(shè)不成立摒除這個(gè)交點(diǎn)〔它不屬于可行區(qū)域〕；假設(shè)成立它是可行區(qū)域的頂點(diǎn)。

例5.2*y3*2y3求滿(mǎn)意線(xiàn)性約束條件的目標(biāo)函數(shù)z*y的最大值和最小值。

*0

y0

解：先找出約束條件表示的可行區(qū)域的頂點(diǎn)。

2*y32*y32*y3*2y3*2y3*0，，，，，的解分別*2y3*0y0*0y0y0

為A〔1,1〕，B〔0,3〕，C〔33，0〕，D〔0，〕，E〔3,0〕，F(xiàn)〔0,0〕。其中B和E不滿(mǎn)意約22

束條件，所以摒除?？尚袇^(qū)域是以點(diǎn)A，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形。

zA112，zC33330，zD0，zF0002222

所以，目標(biāo)函數(shù)z*y在A〔1,1〕上取最大值z(mì)ma*112，在F〔0,0〕上取最小值z(mì)min000。

〔提示：假設(shè)約束條件包含不等式的個(gè)數(shù)不超過(guò)3，邊界線(xiàn)的交點(diǎn)屬于可行區(qū)域。所以不需檢驗(yàn)；假設(shè)不等式的個(gè)數(shù)超過(guò)3，需要檢驗(yàn)〕

“簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”屬于高中數(shù)學(xué)新課程必修5,進(jìn)入了高考試題,并且保持了較大的考察比例,幾乎是每年高考的必考內(nèi)容,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

簡(jiǎn)約線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的幾種簡(jiǎn)約解法

依不拉音。司馬義〔吐魯番市三堡中學(xué)，838009〕

“簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”屬于高中數(shù)學(xué)新課程必修5，進(jìn)入了高考試題，并且保持了較大的考察比例，幾乎是每年高考的必考內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃是指目標(biāo)函數(shù)只含兩個(gè)自變量的線(xiàn)性規(guī)劃。簡(jiǎn)約線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型為：

A1*B1yC10(0)A2*B2yC20(0)約束條件,(mN),目標(biāo)函數(shù)zA*By，

Am*BmyCm0(0)

下面介紹簡(jiǎn)約線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的幾種簡(jiǎn)約解法。

1.圖解法

第一步、畫(huà)出約束條件表示的可行區(qū)域，這里有兩種畫(huà)可行區(qū)域的方法。

⑴代點(diǎn)法：直線(xiàn)A*+By+C=0〔c不為0〕的某側(cè)任取一點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入不等式，假設(shè)不等式成立，那么不等式表示的區(qū)域在該點(diǎn)的那一側(cè)；假設(shè)不成立，那么在另一側(cè)。

⑵B判別法：假設(shè)Ｂ＞0〔＜０〕，那么不等式A*+By+C＞0〔＜０〕表示的區(qū)域在直

線(xiàn)A*+By+C＝0的上方；假設(shè)Ｂ＞０〔＜０〕，那么不等式A*+By+C＜０(＞0)表示的區(qū)域在直線(xiàn)A*+By+C＝0的下方?！布醇僭O(shè)B與0的大小方向跟不等式的方向相同，那么可行區(qū)域是邊界線(xiàn)的上方；假設(shè)B與0的大小方向與不等式的方向相反，那么可信分區(qū)域是邊界線(xiàn)的下方〕

用上面的兩種方法畫(huà)出可行區(qū)域是很簡(jiǎn)約，所以這里不必舉例說(shuō)明。

第二步、在畫(huà)出的可行區(qū)域內(nèi)求最優(yōu)解〔使目標(biāo)函數(shù)取最大值或最小值的點(diǎn)〕，這

個(gè)可以用下面的兩種方法解決。

az*所經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)使其y軸上bb

az的截距最大〔最小〕時(shí)，便是z取得最大值〔最小值〕的點(diǎn)；假設(shè)b0，直線(xiàn)y*bb⑴y軸上的截距法：假設(shè)b0，直線(xiàn)y

所經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)使其y軸上的截距最大〔最小〕時(shí)，是z取得最小值〔最小值〕的點(diǎn)〔提示：截距不是距離，截距可以取正負(fù)〕。

*y1,例1．設(shè)*,y滿(mǎn)意約束條件y*,求z2*y的最大值、最小值。

y0,

解：如圖1作出可行域，由于y的系數(shù)1大于0，目標(biāo)函數(shù)z2*y表示直線(xiàn)y2*z在y軸上的截距，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)A〔1，0〕時(shí)，截距值最大zma*2102，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)O〔0，0〕時(shí)，截距值最小zmin2000。

“簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”屬于高中數(shù)學(xué)新課程必修5,進(jìn)入了高考試題,并且保持了較大的考察比例,幾乎是每年高考的必考內(nèi)容,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

圖1

y1例2．假設(shè)變量*,y滿(mǎn)意約束條件*y0，求z*2y的最大值和最小值。

*y20

解：如圖作出可行域，y的系數(shù)-2小于0，過(guò)點(diǎn)

A(1,-1)時(shí)在y軸上的距最小，目標(biāo)函數(shù)z*2y取

得最大值，所以zma*12(1)3；過(guò)點(diǎn)B〔-1,1〕

時(shí)在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)z*2y取得

最，所以zmin1213。

⑵法向量法：目標(biāo)函數(shù)

z

A*By的法向量

為〔A，B〕，它垂直于目標(biāo)函數(shù)直線(xiàn)的向量。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的值線(xiàn)沿目標(biāo)函數(shù)法向量方向平移時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值逐步增加，與可行區(qū)域最末〔最先〕相交的點(diǎn)上取最大值〔最小值〕；當(dāng)?shù)戎稻€(xiàn)沿目標(biāo)函數(shù)法向量反方向平行移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值逐步減削，與可行區(qū)域最末〔最先〕相交的點(diǎn)上取最小值〔最大值〕。

例3．點(diǎn)P(*,y)在以A(2,1)、B(–1,–6)、C(–3,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域〔包括邊界〕

內(nèi)，求z=4*–3y的最大值與最小值。

解：目標(biāo)函數(shù)z=4*–3y的法向量為〔4，-3〕，

目標(biāo)函數(shù)的直線(xiàn)沿法向量的方向平移時(shí)，最先與

可行域在C點(diǎn)上相交，最末在B點(diǎn)上相交〔因

為目標(biāo)函數(shù)的等值線(xiàn)從左上角平移過(guò)來(lái)〕。所以

目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C〔-3,2〕上取最小值

zmin4(3)4218，在點(diǎn)B〔-1，-6〕

上取最大值z(mì)ma*4(1)4(6)14。

“簡(jiǎn)約的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”屬于高中數(shù)學(xué)新課程必修5,進(jìn)入了高考試題,并且保持了較大的考察比例,幾乎是每年高考的必考內(nèi)容,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

圖解法雖然直觀、形象，它簡(jiǎn)單使人詳細(xì)地認(rèn)識(shí)線(xiàn)性規(guī)劃模型的求解過(guò)程，但是，這里難點(diǎn)至少有二；一是須要考慮y的系數(shù)b的正負(fù)，否那么簡(jiǎn)單得出反相的結(jié)論；二是要留意直線(xiàn)束的傾斜程度，尤其，要留意與約束條件中的一條或兩條只想的傾斜程度的關(guān)系，即斜率大小對(duì)直線(xiàn)傾斜程度的影響。其中，當(dāng)斜率為負(fù)值時(shí)，是同學(xué)最感頭疼的，也是同學(xué)最易出錯(cuò)的。為此，下面介紹通過(guò)向量數(shù)量積解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的方法，這種方法盡量避開(kāi)以上兩個(gè)難點(diǎn)，使解法更直觀，更簡(jiǎn)約，更不易出錯(cuò)。

2.向量的數(shù)量積法

把zA*By看成平面內(nèi)的向量OM(A,B)與ON(*,y)的數(shù)量積，即

zOMONOMONcosOM,ONA*By。由于OM為定值，所以當(dāng)且僅當(dāng)

ONcosOM,ON取最大值〔最小值〕時(shí)，z