北京工大附中2023-2024學年高三第二次模擬考試數(shù)學試卷含解析

北京工大附中2023-2024學年高三第二次模擬考試數(shù)學試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度2．設(shè)函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，若函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．3．已知平面向量滿足，且，則所夾的銳角為（）A． B． C． D．04．一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）A．16 B．12 C．8 D．65．若復數(shù)滿足，則()A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，188．的展開式中的項的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．409．已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．已知，，為圓上的動點，，過點作與垂直的直線交直線于點，若點的橫坐標為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．設(shè)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件是偶函數(shù)，且當時，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角三角形中，為直角，，點在線段上，且，若，則的正切值為_____.14．設(shè)，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，直線l過交橢圓C于A，B兩點，交y軸于E點，若滿足，且，則橢圓C的離心率為______.15．古代“五行”學認為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)16．若且時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）求曲線和曲線圍成圖形的面積；（2）化簡求值：．18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)點，直線與曲線相交于，，求的值．19．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，，公差，、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項和.20．（12分）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長為2的正三角形，，為線段的中點．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點，當二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若在上單調(diào)遞增，且求c的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.2、B【解析】

由題意首先確定導函數(shù)的符號，然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，當時，；當時，；當時，.時，，時，，當或時，；當時，.故選：【點睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值，判斷導函數(shù)在極值點附近左側(cè)為正，右側(cè)為負，由正負情況討論圖像可能成立的選項，是判斷圖像問題常見方法，有一定難度.3、B【解析】

根據(jù)題意可得，利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因為即而所以夾角為故選：B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側(cè)面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選：B【點睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計算以及三視圖的認識，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】

化簡得到，，再計算復數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點睛】本題考查了復數(shù)的化簡，共軛復數(shù)，復數(shù)模，意在考查學生的計算能力.6、D【解析】

利用等比中項性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項，進而求得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當或時，取到最小值.【詳解】根據(jù)題意，可知為等差數(shù)列，公差，由成等比數(shù)列，可得，∴，解得.∴.根據(jù)單調(diào)性，可知當或時，取到最小值，最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式、等比中項性質(zhì)、等差數(shù)列前項和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意當或時同時取到最值.7、A【解析】

利用統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量，利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)．【詳解】樣本容量為：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為：故選A．【點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意統(tǒng)計圖的性質(zhì)的合理運用．8、A【解析】

化簡得到，再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選：【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.9、B【解析】

設(shè)，利用兩點間的距離公式求出的表達式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)，因為是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當時，，當時，，當且僅當時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．10、A【解析】

由題意得，即可得點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，連接OP，AM，由題意得，點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，.故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線定義的應用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.11、C【解析】∵y=f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（-x+1）=f（x+1），即函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱．

∵當x≥1時，為減函數(shù)，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故選C12、D【解析】由題意得，函數(shù)點定義域為且，所以定義域關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

在直角三角形中設(shè)，，，利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設(shè)，，則，故.故答案為：3【點睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值，關(guān)鍵在于合理構(gòu)造角的和差關(guān)系，其本質(zhì)是利用兩角差的正切公式求解.14、【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，計算以及，然后根據(jù)橢圓的定義可得，并使用余弦定理以及，可得結(jié)果.【詳解】如圖由，所以由，所以又，則所以所以化簡可得：則故答案為：【點睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用，關(guān)鍵在于根據(jù)角度求出線段的長度，考查分析能力以及計算能力，屬中檔題.15、1．【解析】試題分析：由題意，可看作五個位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1．考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題．點評：本題考查排列排列組合及簡單計數(shù)問題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學說的背景，利用分步原理正確計數(shù)，本題較抽象，計數(shù)時要考慮周詳．16、【解析】

將不等式兩邊同時平方進行變形，然后得到對應不等式組，對的取值進行分類，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負時求參數(shù)范圍，列出對應不等式組，即可求解出的取值范圍.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以或，當時，對且不成立，當時，取，顯然不滿足，所以，所以，解得；當時，取，顯然不滿足，所以，所以，解得，綜上可得的取值范圍是：.故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍，難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分類討論法：分析參數(shù)的臨界值，對參數(shù)分類討論；（2）參變分離法：將參數(shù)單獨分離出來，再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系求解出參數(shù)范圍.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）求曲線和曲線圍成的圖形面積，首先求出兩曲線交點的橫坐標0、1，然后求在區(qū)間上的定積分．（2）首先利用二倍角公式及兩角差的余弦公式計算出，然后再整體代入可得；【詳解】解：（1）聯(lián)立解得，，所以曲線和曲線圍成的圖形面積．（2）∴【點睛】本題考查定積分求曲邊形的面積以及三角恒等變換的應用，屬于中檔題.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由（為參數(shù)）直接消去參數(shù)，可得直線的普通方程，把兩邊同時乘以，結(jié)合，可得曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）把代入，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得．∵，∴，即．∴曲線的直角坐標方程為；（Ⅱ）把代入，得．設(shè)，兩點對應的參數(shù)分別為，則，．不妨設(shè)，，∴．【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程，考查參數(shù)方程化普通方程，明確直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，是中檔題．19、（1），（）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)是等差數(shù)列，，、、成等比數(shù)列，列兩個方程即可求出，從而求得，代入化簡即可求得；（2）化簡后求和為裂項相消求和，分組求和即可，注意討論公比是否為1.【詳解】（1）由題意知，，，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），①當時，.②當時，.【點睛】此題等差數(shù)列的通項公式的求解，裂項相消求和等知識點，考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于一般性題目.20、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.21、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】（1）證明：因為是正三角形，為線段的中點，所以．因為是菱形，所以．因為，所以是正三角形，所以，所以平面．又，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系．則．于是，，