北京市東城區(qū)第二中2023-2024學年高三第六次模擬考試數(shù)學試卷含解析

北京市東城區(qū)第二中2023-2024學年高三第六次模擬考試數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A． B． C． D．2．在復平面內(nèi)，復數(shù)（，）對應向量（O為坐標原點），設，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導出復數(shù)乘方公式：，已知，則（）A． B．4 C． D．163．（）A． B． C． D．4．為得到y(tǒng)=sin(2x-πA．向左平移π3個單位B．向左平移πC．向右平移π3個單位D．向右平移π5．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．26．如圖是甲、乙兩位同學在六次數(shù)學小測試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列說法錯誤的是（）A．甲得分的平均數(shù)比乙大 B．甲得分的極差比乙大C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位數(shù)和乙相等7．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．8．將函數(shù)的圖象向右平移個周期后，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．9．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．設全集集合，則（）A． B． C． D．11．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且A、B兩點在拋物線準線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若則（）A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(b)<f(c)<f(a)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的概率為_______．14．如圖，在體積為V的圓柱中，以線段上的點O為項點，上下底面為底面的兩個圓錐的體積分別為，，則的值是______.15．四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為______16．如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，解關(guān)于的不等式；（2）若對任意，都存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點處的切線經(jīng)過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.19．（12分）已知數(shù)列的通項，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項；（2）設，求數(shù)列的前項和.20．（12分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線：.過點的直線：（為參數(shù)）與曲線相交于，兩點.（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若，求實數(shù)的值.21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）假設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點．①若A為橢圓的上頂點，M為線段AB中點，連接OM并延長交橢圓C于N，并且ON=62OM，求OB的長；②若原點O到直線l的距離為1，并且22．（10分）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調(diào)查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)按照，，，，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計（1）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.參考公式：，其中.參考臨界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進去的，即俯視圖中應有一不可見的長方形，且俯視圖應為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題。2、D【解析】

根據(jù)復數(shù)乘方公式：，直接求解即可.【詳解】，.故選：D【點睛】本題考查了復數(shù)的新定義題目、同時考查了復數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎題.3、D【解析】

利用，根據(jù)誘導公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎題.4、D【解析】試題分析：因為，所以為得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象，只需要將考點：三角函數(shù)的圖像變換．5、D【解析】

在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，考查了學生的運算求解能力.6、B【解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念，可得所求結(jié)論．【詳解】對于甲，；對于乙，，故正確；甲的極差為，乙的極差為，故錯誤；對于甲，方差.5，對于乙，方差，故正確；甲得分的中位數(shù)為，乙得分的中位數(shù)為，故正確．故選：．【點睛】本題考查莖葉圖的應用，考查平均數(shù)和方差等概念，培養(yǎng)計算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．7、A【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計算時的函數(shù)值可排除三個選項．【詳解】時，函數(shù)為減函數(shù)，排除B，時，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D，又時，，排除C，只有A可滿足．故選：A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除，可通過特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負，函數(shù)值的變化趨勢排除，最后剩下的一個即為正確選項．8、D【解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導公式得到關(guān)于的方程，對賦值即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得，將函數(shù)的圖象向右平移個周期后的解析式為，因為函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以，即，所以當時，有最小正值為.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握誘導公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.9、D【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為時【詳解】當時，，但，故充分條件推不出；當時，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應用，屬于基礎題10、A【解析】

先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查集合的基本運算，涉及到補集、交集運算，是一道容易題.11、C【解析】

直線恒過定點，由此推導出，由此能求出點的坐標，從而能求出的值．【詳解】設拋物線的準線為，直線恒過定點，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點B為AP的中點、連接OB，則，∴，點B的橫坐標為，∴點B的坐標為，把代入直線，解得，故選：C．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬于中檔題.12、C【解析】

利用導數(shù)求得在上遞增，結(jié)合與圖象，判斷出的大小關(guān)系，由此比較出的大小關(guān)系.【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增；在同一坐標系中作與圖象，，可得，故.故選：C【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出隨機抽取a,b的所有事件數(shù)，再求出滿足的事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解：從集合中隨機取一個元素，記為，從集合中隨機取一個元素，記為，則的事件數(shù)為9個，即為，，，其中滿足的有，，，共有8個，故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算，解題的關(guān)鍵是準確列舉出所有事件數(shù).14、【解析】

根據(jù)圓柱的體積為，以及圓錐的體積公式，計算即得.【詳解】由題得，，得.故答案為：【點睛】本題主要考查圓錐體的體積，是基礎題.15、【解析】

由題意畫出圖形，補形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，，，可得，補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1，1，，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故答案為：．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，補形是關(guān)鍵，屬于中檔題．16、【解析】

根據(jù)圖像歸納，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：，，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值號，然后解不等式即可.（2）因為對任意，都存在，使得不等式成立，等價于，根據(jù)絕對值不等式易求，根據(jù)二次函數(shù)易求，然后解不等式即可.【詳解】解：（1）當時，，則當時，由得，，解得；當時，恒成立；當時，由得，，解得.所以的解集為（2）對任意，都存在，得成立，等價于.因為，所以，且|，①當時，①式等號成立，即.又因為，②當時，②式等號成立，即.所以，即即的取值范圍為：.【點睛】知識：考查含兩個絕對值號的不等式的解法；恒成立問題和存在性問題求參變數(shù)的范圍問題；能力：分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力；中檔題.18、（1）e；（2）2.【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，得出，再利用導數(shù)的幾何意義，求出曲線在點處的切線為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出單調(diào)性，即可得出的值；（2）設，求導，求出的單調(diào)性，從而得出最大值為，結(jié)合恒成立的性質(zhì)，得出正整數(shù)的最小值.【詳解】（1）根據(jù)題意，與的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù)，則,，設點，，又，當時，，曲線在點處的切線為，即，代入點，得，即，構(gòu)造函數(shù)，當時，，當時，，且，當時，單調(diào)遞增，而，故存在唯一的實數(shù)根.（2）由于不等式恒成立，可設，所以，令，得.所以當時，；當時，，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令，因為，，又因為在是減函數(shù).所以當時，.所以正整數(shù)的最小值為2.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)解決恒成立問題，涉及到單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法等，考查函數(shù)思想和計算能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列以及為等比數(shù)列，通過直接對進行賦值計算出的首項和公比，即可求解出的通項公式；（2）的通項公式符合等差乘以等比的形式，采用錯位相減法進行求和.【詳解】（1）數(shù)列為等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.設數(shù)列的公比為，，，解得（2），，，，.【點睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯位相減法求和的應用，難度一般.判斷是否適合使用錯位相減法，可根據(jù)數(shù)列的通項公式是否符合等差乘以等比的形式來判斷.20、（1），；（2）.【解析】

（1）將代入求解，由（為參數(shù)）消去即可.（2）將（為參數(shù)）與聯(lián)立得，設，兩點對應的參數(shù)為，，則，，再根據(jù)，即，利用韋達定理求解.【詳解】（1）把代入，得，由（為參數(shù)），消去得，∴曲線的直角坐標方程和直線的普通方程分別是，.（2）將（為參數(shù)）代入得，設，兩點對應的參數(shù)為，，則，，由得，所以，即，所以，而，解得.【點睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程、直角坐標方程的轉(zhuǎn)化和直線參數(shù)方程的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）x22+y2【解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2，b2；（2）聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長公式可求得弦長AB，利用點到直線的距離公式求得原點到直線l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得值域．【詳解】（1）因為兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以a=2又由右準線方程為x=2，得到a2解得a=2,c=1，所以所以，橢圓C的方程為x2（2）①設B(x1,y1∵ON=6因為點B,N都在橢圓上，所以x122+y12所以OB=x②由原點O到直線l的距離為1，得|m|1+k2聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的方程：y=kx+mx2設A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面積S==1因為S=2λ(1-λ)在[并且當λ=45時，S=225