2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí) 統(tǒng)計、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

統(tǒng)計、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)考情預(yù)覽

明確考向1.[變量的相關(guān)關(guān)系](2023·天津卷)調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度,所得數(shù)據(jù)如圖所示,其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245,下列說法正確的是(

)A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B.花瓣長度和花萼長度呈負(fù)相關(guān)C.花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245√解析:根據(jù)散點的集中程度可知,花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性,且為正相關(guān),A,B選項錯誤,C選項正確;由于r=0.8245是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù),取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù),相關(guān)性可能變強,可能變?nèi)?即取出的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245,D選項錯誤.故選C.2.[頻率分布直方圖](2021·全國甲卷)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是(

)A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間√解析:對于A,該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為(0.02+0.04)×1=0.06=6%,故選項A正確;對于B,該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為(0.04+0.02×3)×1=0.1=10%,故選項B正確;對于C,估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5萬元,故選項C錯誤;對于D,該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率為(0.10+0.14+0.20+0.20)×1=0.64>0.5,故估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間,故選項D正確.故選C.3.[樣本的數(shù)字特征](多選題)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則(

)A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差√√對于選項C,因為x1是最小值,x6是最大值,則x2,x3,x4,x5的波動性不大于x1,x2,…,x6的波動性,即x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差,故C錯誤;對于選項D,不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,則x6-x1≥x5-x2,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2,x5=x6時,等號成立,故D正確.故選BD.4.[回歸分析](2022·全國乙卷)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),得到如下數(shù)據(jù):樣本號i根部橫截面積xi材積量yi10.040.2520.060.4030.040.2240.080.5450.080.5160.050.3470.050.3680.070.4690.070.42100.060.40總和0.63.9(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.5.[獨立性檢驗](2022·全國甲卷)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營.為了解這兩家公司長途客車的運行情況,隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到下面列聯(lián)表:準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表,分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點的概率;(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān)?P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635考法聚焦

講練突破熱點一回歸分析在實際問題中的應(yīng)用(2)①正相關(guān)與負(fù)相關(guān)就看經(jīng)驗回歸直線的斜率,斜率為正則為正相關(guān),斜率為負(fù)則為負(fù)相關(guān).②樣本相關(guān)系數(shù)r具有以下性質(zhì):r>0表示兩個變量正相關(guān),r<0表示兩個變量負(fù)相關(guān);|r|≤1,且|r|越接近于1,線性相關(guān)程度越強,|r|越接近于0,線性相關(guān)程度越弱.(1)對于非線性回歸分析問題,應(yīng)先進行變量代換,求出代換后的經(jīng)驗回歸直線方程,再求經(jīng)驗回歸曲線方程.(2)成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度,可以利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷,|r|越趨近于1,兩變量的線性相關(guān)程度越強.熱點訓(xùn)練1某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)進行了初步處理,得到散點圖及一些統(tǒng)計量的值.(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x,根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:①年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?②年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?熱點二獨立性檢驗典例2

(2023·全國甲卷)一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng),試驗方案如下:選40只小白鼠,隨機地將其中20只分配到試驗組,另外20只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位:g).試驗結(jié)果如下:對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.826.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.635.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.518.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.823.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5(1)計算試驗組的樣本平均數(shù);(2)(ⅰ)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù),完成如下列聯(lián)表;<m≥m對照組試驗組(ⅱ)根據(jù)(ⅰ)中的列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異?P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635<m≥m對照組614試驗組146獨立性檢驗的具體做法(1)根據(jù)實際問題的需要確定容許推斷“兩個隨機事件有關(guān)系”犯錯誤概率的小概率值α,然后查表確定臨界值.(2)利用公式,計算χ2.(3)如果χ2>xα,就推斷“X與Y有關(guān)系”,這種推斷犯錯誤的概率不超過α;否則,就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”,或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.熱點訓(xùn)練2某社區(qū)以網(wǎng)上調(diào)查問卷的形式對轄區(qū)內(nèi)部分居民進行了某種疫苗免費接種的宣傳和調(diào)查.調(diào)查數(shù)據(jù)如下:共95份有效問卷,40名男性中有10名不愿意接種疫苗,55名女性中有5名不愿意接種疫苗.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.050的獨立性檢驗,判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否愿意接種疫苗與性別有關(guān);性別態(tài)度合計愿意接種不愿意接種男女合計解:(1)補全2×2列聯(lián)表如表.性別態(tài)度合計愿意接種不愿意接種男301040女50555合計801595(2)從不愿意接種的15份調(diào)查問卷中得到拒絕接種該疫苗的原因:有3份身體原因不能接種;有2份認(rèn)為無需接種;有4份擔(dān)心疫苗的有效性;有6份擔(dān)心疫苗的安全性.求從這15份問卷中隨機選出2份,在已知至少有一份擔(dān)心疫苗安全性的條件下,另一份是擔(dān)心疫苗有效性的概率.α0.0500.0100.005xα3.8416.6357.879熱點三概率與統(tǒng)計的綜合問題(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,分析能否認(rèn)為市民對于交通的滿意度與是否為上班族存在關(guān)聯(lián);是否為上班族滿意度合計滿意不滿意是否合計解:(1)由題意可知,2×2列聯(lián)表如表,是否為上班族滿意度合計滿意不滿意是154055否351045合計5050100(2)此機構(gòu)欲隨機抽取部分市民進一步調(diào)查.規(guī)定:抽樣的次數(shù)不超過n(n∈N*),若隨機抽取的市民屬于不滿意群體,則抽樣結(jié)束;若隨機抽取的市民屬于滿意群體,則繼續(xù)抽樣,直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達(dá)到n時,抽樣結(jié)束.記此時抽樣次數(shù)為Xn.①若n=5,寫出X5的分布列和數(shù)學(xué)期望;②請寫出Xn的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式(不需證明),根據(jù)你的理解說明Xn的數(shù)學(xué)期望的實際意義.附:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟熱點訓(xùn)練3某中學(xué)成功地舉辦了一年一度的大型學(xué)生社團文化節(jié),吸引了眾多學(xué)生.該中學(xué)目前共有社團近40個,由高一和高二學(xué)生組成,參加社團的學(xué)生有四百人左右.已知該中學(xué)高一和高二的所有學(xué)生中男生與女生人數(shù)比為6∶4,為了解學(xué)生參加社團活動的情況,按性別采用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生,統(tǒng)計得到如圖所示的等高堆積條形圖.(1)以樣本的頻率估計總體的概