湖北省武漢市新農(nóng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

湖北省武漢市新農(nóng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線C：的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為（5,0），則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．參考答案：B考點(diǎn)：雙曲線試題解析：因?yàn)殡p曲線C：的漸近線方程為所以又所以解得：故雙曲線C的方程為：。故答案為：B2.過(guò)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為（）A．± B．± C．± D．±參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】作MB垂直準(zhǔn)線于B，作NC垂直準(zhǔn)線于C，作NA垂直MB于A，根據(jù)拋物線定義，可得tan∠NMA就是直線l的斜率【解答】解：如圖，作MB垂直準(zhǔn)線于B，作NC垂直準(zhǔn)線于C，根據(jù)拋物線定義，可得MB=MF，NC=NF作NA垂直MB于A，設(shè)FN=m，則MN=5m，NA=MF﹣NF=3m在直角三角形AMN中tan∠NMA=，∴直線l的斜率為±，故選：D3.直線與直線的夾角為

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知等差數(shù)列{an}的公差和首項(xiàng)都不等于0，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，則=（）A．2 B．3 C．5 D．7參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】利用等差數(shù)列{an}的公差和首項(xiàng)都不等于0，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，可得d=a1，即可求出．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的公差和首項(xiàng)都不等于0，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴a42=a2a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），∴d2=a1d，∵d≠0，∴d=a1，∴==3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．5.已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，若，則A.

B.

C.

D.參考答案：B6.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x－3y的最小值是（

）A

B－6

C

D參考答案：B略7.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，，則A.

B.

C.

D.參考答案：D8.給出如下四個(gè)命題：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正確的命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】不等式比較大?。痉治觥竣倮梅治龇ê蜆?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可判斷，②根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷，③利用中間量即可判斷，④兩邊取對(duì)數(shù)即可判斷．【解答】解：①要證e＞2，只要證＞ln2，即2＞eln2，設(shè)f（x）=elnx﹣x，x＞0，∴f′（x）=﹣1=，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（e）=elne﹣e=0，∴f（2）=eln2﹣2＜0，即2＞eln2，∴e＞2，因此正確②∵3ln2=ln8＞ln2.82＞lne2=2．∴l(xiāng)n2＞，因此正確，③π2＜42=16，3π＞33=27，因此π2＜3π，③正確，④∵2π＜π2，∴＜，④正確；正確的命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選：D．9.某一簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖2所示,該幾何體的外接球的表面積是(

)A.13π

B.16π

C.25π

D.27π參考答案：C10.“”是“對(duì)任意實(shí)數(shù)，成立”的(

)

A.充要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（0，3）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）=+（2a﹣3）x+1存在極值點(diǎn)，可得f′（x）=0有兩不等實(shí)根，其判別式△＞0，即可求得a的取值范圍．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函數(shù)f（x）=+（2a﹣3）x+1存在極值點(diǎn)，∴f′（x）=0有兩不等實(shí)根，其判別式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范圍是（0，3）．故答案為：（0，3）．12.為邊,為對(duì)角線的矩形中,,,則實(shí)數(shù)____________.參考答案：

略13.已知的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－,其中i=－1，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是

；參考答案：

4514.如圖，是半徑為的圓的直徑，點(diǎn)

在的延長(zhǎng)線上，是圓的切線，點(diǎn)在直徑上的射影是的中點(diǎn)，則=

；

．參考答案：點(diǎn)A在直徑BC上的射影E是OC的中點(diǎn),可得，所以，在中，，所以由切割線定理可得。15.若，則

．參考答案：16.給定集合，定義中

所有不同值的個(gè)數(shù)為集合元素和的容量，用表示.若，則

；若數(shù)列是等差數(shù)列，公差不為，設(shè)集合

（其中，為常數(shù)），則關(guān)于的表達(dá)式

.

參考答案：略17.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設(shè)向量.（1）若，求的值；（2）設(shè)函數(shù)的最大值.參考答案：19.已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（）．參考答案：【考點(diǎn)】R5：絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）易求f（x）+f（x+4）=，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可求f（x）+f（x+4）≥8的解集；（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，作差證明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，當(dāng)x＜﹣3時(shí)，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí)，f（x）+f（x+4）=4≥8不成立；當(dāng)x＞1時(shí)，由2x+2≥8，解得x≥3．∴不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集為{x|x≤﹣5，或x≥3}．

（Ⅱ）證明：∵f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，又|a|＜1，|b|＜1，∴|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∴|ab﹣1|＞|a﹣b|．故所證不等式成立．20.（本小題滿分10分）已知，當(dāng)時(shí)，求證：⑴；⑵.參考答案：所以．

………………4分（2）由（1）得，即，所以…………．

………………10分［另法：可用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明…］21.已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量=(cosB，2cos2－1)，=(c，b－2a)且．（1）求角C的大小； （2）若△ABC的面積為，a+b=6，求c． 參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【分析】（1）由已知利用平面向量數(shù)量積，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得sinA=2sinAcosC，由sinA≠0，可求，結(jié)合范圍C∈（0，π），可求C的值． （2）利用三角形面積公式可求ab=8，進(jìn)而利用余弦定理可求c的值． 【解答】解：（1）∵由已知可得：，，， ∴ccosB+（b﹣2a）cosC=0， ∴sinCcosB+（sinB﹣2sinA）cosC=0，即sinA=2sinAcosC， 又∵sinA≠0， ∴， 又∵C∈（0，π）， ∴． （2）∵， ∴ab=8， 又c2=a2+b2﹣2abcosC，即（a+b）2﹣3ab=c2， ∴c2=12， 故． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量數(shù)量積，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題． 22.（本題滿分12分）某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組得到的頻率分布直方圖如圖所示（1）分別求第3，4，5組的頻率；（2）若該校決定在第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，①已知學(xué)生甲和學(xué)生乙的成績(jī)均在第3組，求學(xué)生甲和學(xué)生乙同時(shí)進(jìn)入第二輪面試的概率；②學(xué)校決定在這6名學(xué)