2015年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題集錦及答案解析

2015年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題集錦答案

1.（北京模擬）已知拋物線y=—x?+lx+m-Z與y軸交于點(diǎn)Z（0,2/M-7）,與直線y=2r

交于點(diǎn)8、C（8在C的右側(cè)）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E,在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)尸，使得NBFE=NCFE,若

存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒小個(gè)單位長(zhǎng)度、每秒2小個(gè)單位長(zhǎng)度的速

度沿射線OC運(yùn)動(dòng)，以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形PMQ（直角邊分別平行于

坐標(biāo)軸），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.若與拋物線歹=—x'+lc+a-2有公共點(diǎn)，求才的取值

范圍.

解：（1）把點(diǎn)/（0,2機(jī)一7）KA^=-X2+2X+W-2,得機(jī)=5

/.拋物線的解析式為y=-X2+2X+3

y——x2+2x+3"產(chǎn)木（X=--\[3

2-

（2）由f解得<rr

[y=2xlh=2木質(zhì)=一2小

：.B（小，2?。?，C（-小，-273）

y=—x+2x+3=—（x—1）+4

二拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=l

設(shè)尸（1,y）

VZBFE=ZCFE,：?tan/BFE=tan/CFE

當(dāng)占廠在占8上方時(shí)，于一{-=小+{_

仕八CJWy-2小y+2y/3

解得y=6,...尸（1,6）

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B下方忖，黑=坐號(hào)

解得y=6（舍去）

?,?滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)是尸（1,6）

（3）由題意，OP=?OQ=2?：.PQ=^5t

:尸、。在直線直線y=2x上

，設(shè)尸（x,2x）,則0（2x,4x）（x<0）

yjx2-\-4x2=4/,.\x=—t

?9?P(―/,—2r),Q(—2/,—41)

：.M(-2/,-2z)

當(dāng)-2/)在拋物線上時(shí)，有-2/=-4/-4/+3

解得右藝一,（舍去負(fù)值）

當(dāng)尸（T,-2t）在拋物線上時(shí)，有一2f=—/-2/+3

解得/=?。ㄉ崛ヘ?fù)值）

的取值范圍是：亞甘W/W小

2.（北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線弘=?/+3x+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)/（1,2）,與

x軸相交于另一點(diǎn)艮

（1）求拋物線功的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若將拋物線巾以x=3為對(duì)稱(chēng)軸向右翻折后，得到一條新的拋物線為，已知拋物線”

與x軸交于兩點(diǎn)，其中右邊的交點(diǎn)為C點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從。點(diǎn)出發(fā)，沿線段0C向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，

過(guò)尸點(diǎn)作x軸的垂線，交直線。力于。點(diǎn)，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF.

①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線力上時(shí)，求0P的長(zhǎng)；

②若點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)線段0C上另一點(diǎn)0從C點(diǎn)出發(fā)向。點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)。點(diǎn)到達(dá)。點(diǎn)時(shí)P、。兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)。點(diǎn)作x軸的

垂線，與直線NC交于G點(diǎn)，以QG為邊在0G的左側(cè)作正方形0GIW.當(dāng)這兩個(gè)正方形

分別有一條邊恰好落在同一條直線上時(shí)，求f的值.（正方形在x軸上的邊除外）

解：（1）I?拋物線%=冰2+3*+。經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)力（1,2）

c=2p=—1

解得\c=0

〃+3+c=2

**?拋物線y\的解析式為巾=-X2+3X

令y=0,得-J+3x=0,解得勺=0,必=3

：.B(3,0)

(2)①由題意，可得C(6,0)

過(guò)4作47_Lx軸于〃，設(shè)。尸=a

np4H

可得△ODPSA(MH,???7^=7S77=2

5Uri

：.DP=2OP=2a

???正方形PDEF,：.E(3a,2a)

'：E(3a,2a)在拋物線弘=一萬(wàn)2+3》上

77

?\2a=-9a+9^,解得。］=0(舍去)，。2=至

7

???。夕的長(zhǎng)為5

②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b

2=k+b212

解得人=一彳，b=w

0=6左+b

??.直線AC的解析式為y=~^2x+y12

4

山題意，OP=t,PF=2l,0C=21,GQ=M

當(dāng)小與MV重合時(shí)，貝IJ。/+CN=6

430

/.3/4-2/+y/=6,.\t=而

當(dāng)斯與G0重合時(shí)，WJOF+QC=6

，31+2z=6,.,.r=y

當(dāng)。夕與MV重合時(shí)，則OP+CN=6

f+2什wf=6,；?f=鉆

□1y

當(dāng)DP與G0重合時(shí)，則OP+CQ=6

?**/+2/=6,/?/=2

3.(北京模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o/+6x+4經(jīng)過(guò)/(-3,0)、B

(4,0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。在x軸的負(fù)半軸上，且8D=BC.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)］

出發(fā)，沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線

段CA以某一速度向點(diǎn)Z移動(dòng).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若經(jīng)過(guò)，秒的移動(dòng)，線段尸。被CD垂直平分，求此時(shí),的值；

(3)該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M,使MQ+MA的值最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)M的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)..?拋物線夕=亦2+云+4經(jīng)過(guò)/(一3,0)、B(4,0)兩點(diǎn)

9。―36+4=0解得。=_(,b=~j

16a+46+4=0

11

:.所求拋物線的解析式為y^-yx72+jx+4

(2)連接。0,依題意知/P=z

171

二?拋物線卜=一不廣+tx+4與y軸交于點(diǎn)C

：.C(0,4)

又A(-3,0,B(4,0)

可得4c=5,BC=4j,AB=7

?；BD=BC,：.AD=AB-BD=7-4y[2

???C0垂直平分尸。，：.QD=DP,ZCDQ=ZCDP

?；BD=BC,：.ZDCB=ZCDB

：./CDQ=NDCB,：.DQ//BC

AAADDO

??△//)0s△43C,??4R

AD￡>C

.ADDP.7-4也_DP

?布=麗,?7=礪

3217

解得DP=4、「-亍,:"P=AD+DP=7

???線段。。被8垂直平分時(shí)，，的值為17號(hào)

(3)設(shè)拋物線y=-￡x2+/x+4的對(duì)稱(chēng)軸■與x軸交于點(diǎn)E

由于點(diǎn)4、8關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=J對(duì)稱(chēng)，連接8。交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)〃

則MQ+M4=M0+MB,BPMQ+MA=BQ

當(dāng)8Q_L/C時(shí)，8。最小，此時(shí)

3

tanZEBM=tanZACO=~^

?ME3即__=總，解得加

=,

,,■^ET

：.M(y,y)

1?!

在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)M(方，蕓)，使得〃。+核/的值最小

4.(北京模擬)如圖，在RtZXZBC中，/C=90。，/C=6,BC=8.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，

沿AJCB-BA邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在NC、CB、BA邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒3、4、5個(gè)單位.直

線I從與AC重合的位置開(kāi)始，以每秒:個(gè)單位的速度沿CB方向移動(dòng)，移動(dòng)過(guò)程中保持

/〃ZC,且分別與C8、AB邊交于點(diǎn)、E、E點(diǎn)P與直線/同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒，

當(dāng)點(diǎn)P第一次回到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線/同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)，=秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；當(dāng)/=秒時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在/C邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將△PEE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'落在

EF.h,點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸，當(dāng)EFU/8時(shí)，求f的值；

(3)作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)0,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若形成的四邊形PEQF為菱形，求

f的值；

(4)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，'設(shè)/XPEF的面積為S,直接寫(xiě)出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及S的最

大值.

提示：在RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=6,8c=8

I一2---7..AC3DC4AC3

??AB—yj6+8=10,?.sirt5==三,cosB=.44=§，tan5=

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)尸在C8邊上，CP=CE

-：AC=6,點(diǎn)P在/C、CB邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒3、4個(gè)單位

.,.點(diǎn)尸在NC邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2秒，CP=4(f—2)

44

VC￡=y/,.*.4(/-2)=y6解得/=3

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)尸重合時(shí)，點(diǎn)尸在胡邊上，BP=BF

：/C=6,8c=8,點(diǎn)P在ZC、CB、比1邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒3、4、5個(gè)單位

.?.點(diǎn)P在4C、C8邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間共為4秒，BF=BP=5(J—4)

44

,:CE『t，

BE

在Rt/XBEF中，=cosB

Dr

o匕

8—3，4

?、5(_4)，解得f=4.5

(2)山題意，ZPEF=AMEN

,:EF〃AC,ZC=90°,；.NBEF=90。,ZCPE=ZPEF

■:EN1AB,：.ZB=ZMEN

：.ZCPE=ZB,：.tanZCPE=tanB

..CEAC3

?tanNCPE="QP*9tanB-8c=

CE34

：.CP=jCE

4

9：AP=3t(0<r<2),CE=jt,：.CP=6-3t

4454

.*.6-3/=yxyr,解得，=行

(3)連接尸。交EF于O

,:P、。關(guān)于直線轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)，???￡/垂直平分P。

若四邊形尸EQF為菱形，則OE=O尸

①當(dāng)點(diǎn)P在/C邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)

C

易知四邊形尸OEC為矩形，...OE=PC

：.PC=^EF

4434

,:CE=M，:.BE="M，EF=BE-tanB=-^（8-y/）=6—t

164/尸B

.*.6-3/=y（6-r）,解得/

②當(dāng)點(diǎn)尸在C8邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P、E、。三點(diǎn)共線，不存在四邊形尸￡0尸

③當(dāng)點(diǎn)尸在歷I邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)P在點(diǎn)8、尸之間

4BE5,4.5

-：BE=S-yt,?■?^='^-=7（8-y/）=10-jr

520

\9BP=5(t-4),：.PF=BF-BP=10-jt-5U-4>)=30-y/

?：/POF=NBEF=9G°,：.PO//BE,：?NOPF=/B

OF

在Rt/XPO尸中，#rr=sin^

萬(wàn)（6一0330

評(píng)萬(wàn)，解得，：

.?.當(dāng)或/=岑時(shí)，四邊形PE。尸為菱形

<22

—亍/+4/(0W/W2)

42

■yz-12/+24(2<r<3)

4

(4)S=0-y/7+12/-24(3V/W4)

o

/-28Z+72(4</W4.5)

Q

、-/+28/-72(4.5</W6)

S的最大值為竽

5.（北京模擬）在等腰梯形/BCD中，AB//CD,AB=\0,CD=6,4D=BC=4.點(diǎn)P仄

點(diǎn)8出發(fā)，沿線段BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線

PE,垂足為E.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/（秒）.

（1）4=°；

（2）將△P8E沿直線PE翻折，得到△P8'E,記與梯形/8CO重疊部分的面積為S,

求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)D、尸、8'為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形或等腰三

角形？若存在，求出/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

DCDC

B'

備用圖

解：⑴60°

(2)VZA=ZB=60°,PB=PB'

:.APB'B是等邊三角形

:.PB=PB'=BB'=2t,BE=B'E=t,PE=?

當(dāng)0<tW2時(shí)

S=SAPB,E='B'E?PE='f?2t

當(dāng)2<fW4時(shí)

S—S^PB'E~S^FB'C-t⑵―4)2——^^7?+4小f—4小

當(dāng)4</W5時(shí)

設(shè)「8'、PE分別交DC于點(diǎn)G、H,作GKLPH于K

?.?△P8'8是等邊三角形，AZB'PB=60°=ZA

：.PG//AD,5LDG//AP

??.四邊形/PG。是平行四邊形

，PG=NO=4

"：AB//CD,ZGHP=ZBPH

'：NGPH=NBPH=；/B，PB=30。

：.4GHp=NGPH=30。,:.PG=GH=4

：.GK=yPG=2,PK=KH=PG?cos30。=2事

：.PH=2PK=4y[3,

/.S—S^PGH—JPH-GK—yx4-\/3x2=4小

綜上得，S與/之間的函數(shù)關(guān)系式為：

S=<一坐J+4小/-44(2</^4)

、4小(4W5)

(3)①若NDP8'=90。

VZB'PB=6Q°,：.ZDPA=30°

又N/=60°,二//。尸=90°

：.AP=2AD,...10—2/=8,：.t=l

若NPDB'=90。

APB

作。于A/,DNLB'B于N

則NM=2,DM=2小,NC=3,DN=3小

PA/=|10-2-2/1=18-2/

NB'=13+4—2/=7-2/|

DP2=DM2+PM2=(2-V3)2+(8-2/)2=(8-2/)2+12

DB'2=DN2+NB'=(3小了+(7-2/)2=(7-2/)2+27

777

■:DPXDB'=BP

Z.(8-2/)+12+(7-2r)+27=(2/)

解得4=巴恒＞5（舍去），打=15一回

2

若NDB'P=9。。,則DB'2+B'p2=DP2

A(7-2r)2+27+(2/)2=(8-2/)2+12

解得“=一1(舍去)，/2=0(舍去)

存在以點(diǎn)。、P、8,為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，此時(shí)，=1或/=用恒

②若DP=B'P,則(8—2f/+12=(21)

B'

19

解得/=皆C

若B'D=B'P,則(7-2/)2+27=⑵)

解得看號(hào)19

若DP=DB',則(8—2/)+12=(7—2/廠+27

解得7=0(舍去)

1919

???存在以點(diǎn)。、P、"為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，此時(shí)或/=三

O/

6.（北京模擬）已知二次函數(shù)尸一坐一+3,內(nèi)一2的圖象與x軸交于點(diǎn)/（2小，0）、點(diǎn)8,

與夕軸交于點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CO向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O后停止運(yùn)

動(dòng)，過(guò)點(diǎn)尸作尸?！?c交。/于點(diǎn)0,將四邊形P04C沿尸。翻折，得到四邊形PQ/'C',

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/.

①當(dāng)/為何值時(shí)，點(diǎn)4恰好落在二次函數(shù)y=—^?x2+3〃7x—2圖象的對(duì)稱(chēng)軸上；

②設(shè)四邊形PQ4C’落在第一象限內(nèi)的圖形面積為S,求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，并求出S

的最大值.

解：（1）將工（2小,0）y——~^mx2+3mx—2

得0=—乎（2,）2+3，〃X2小一2,解得，〃=坐

-:/+仍工—2

令y=0,得一小尢-2=0,解得：X]=V3,必=2小

：.B(小，0)

(2)①由y=—：J+小x—2,令x=0,得y=-2

：.C(0,—2)

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1■小

過(guò)Z'作/于〃

在Rt^ZOC中，：0C=2,04=25

ZOAC=30°,ZOCA=60°

：.ZPQA=\50°,ZA/QH=60°,AQ=A'Q=2QH

???點(diǎn)，在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上

*3

SK解得?！壁?/p>

。。+20〃=2小

：.AQ=y[3,CP=\

②分兩種情況:

i）當(dāng)0</Wl時(shí)，四邊形PQHC'落在第?象限內(nèi)的圖形為等腰三角形QI'D

DQ=A'Q=yf3t

A'H—AQ-sin60°=V3/?乎=yz

cc1133s2

S=SMDQ=/73t.5t=4t

???當(dāng)0V/W1時(shí)，S隨/的增大而增大

.?.當(dāng)f=l時(shí)，S有最大值羋

ii）當(dāng)1<，<2時(shí),四邊形PQ/'C'落在第一象限內(nèi)的圖形為四邊形E。。'

=[2小—冬2—柳—冬2T才一和

--^^-t2+4y/3f-2yf3

???一等+”2小一平（L“+竽

且1<]<2,...當(dāng)"時(shí)，S有最大值^^

?.?邛〉乎，；.S的最大值是竽

7.（北京模擬）已知梯形N88中，AD//BC,N/=120°,E是

BC

Z8的中點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作射線E/〃8C,交CD于點(diǎn)G,AB、ND的長(zhǎng)恰好是方程J-4x+J+

2〃+5=0的兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)4、E出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度沿48由4向8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿環(huán)由E向/運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)產(chǎn)、

。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，（秒）.

（1）求線段48、/￡>的長(zhǎng);

（2）當(dāng)f>l時(shí)，求△OP0的面積S與時(shí)間/之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在△DPQ是直角三角形的情況，如果存在，求出時(shí)間/；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

解：（1）由題意，△二年―4（。+2。+5）=-4（。+1）=0

—1

原方程可化為》2-4+4=0,解得.,.X|=X2=2

：.AB^AD=^2

（2）作/41.8c于“，交EG于O,DKLEF于■K,PAM,D4交D4的延長(zhǎng)線于初

,JAD//BC,N4=120°,AB=4D=2

：.ZB=60°,AH=yf3

是中點(diǎn)，SLEF//BC,：.AO=DK=^-

"：AP=t,:.PM=S

?>>1,...點(diǎn)尸在點(diǎn)E下方

延長(zhǎng)尸￡■交尸M于S,設(shè)DP與EF交于點(diǎn)、N

則PS=S邛

'JAD//BC,EF//BC,：.EF//AD

?ENPE.ENLl

??布=西'?F=~T

2（/-l）2（-1）

:,EN=---：.QN=2t-

⑵--謠冶嗎

即5=坐-坐什坐（/>1）

又。02=QK2+KQ2=（坐）2+（2/-：-2）2=4/-10f+7

PQ2=PS?+SQ2=（坐/一坐）2+（2什號(hào)）2=7/-4/+1

①若NPD°=90。，則

222

：.t+2t+4+4t-Wt+7=7t-4/+1

解得/=#—1（舍去負(fù)值）

②若NDPQ=9Q。,則

222

???Z+2什4+77-4什1=4/-10/4-7

解得/=乎—1（舍去負(fù)值）

③若NQQP=90。，則。02+?！?=。。2

222

???々-10什7+7,一4什1=，+27+4

解得,=矢但

綜上所述，存在△。尸。是直角三角形的情況，此時(shí)f=黃—1,f=坐—1,，=芍逅

8.（天津模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直y=-x+4錯(cuò)誤！未找到引用源。交x軸于

點(diǎn)4交y軸于點(diǎn)8.在線段04上有一動(dòng)點(diǎn)P,以每秒錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)力勻速運(yùn)動(dòng)，以O(shè)P為邊作正方形OPQM交y軸于點(diǎn)連接QA和QB,

并從QA和08的中點(diǎn)C和。向AB作垂線，垂足分別為點(diǎn)F和點(diǎn)E.設(shè)尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t秒，四邊形CDEF的面積為與，正方形OP0M與四邊形CDEF重疊部分的面積為S2.

（1）直接寫(xiě)出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)及t的取值范圍；

（2）當(dāng)/=1時(shí)，求&的值；

（3）試求S2與/的函數(shù)關(guān)系式

（4）直接寫(xiě)出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C和點(diǎn)。所走過(guò)的路程之和.

解：（DZ（4錯(cuò)誤！未找到引用源。，0）、B（0,4錯(cuò)誤！未找到引用源。），0W/W4

（2）過(guò)。作于"

y

VC.。分別是3和08的中點(diǎn)

.'.CD//AB,錯(cuò)誤！未找到引用源。x錯(cuò)誤！未

'JCFYAB,DELAB,J.CF//DEH

四邊形CDEF是平行四邊形

又^CFYAB,：.四邊形CDEF是矩形MQ

'：CFLAB,QHLAB,J.CF//QHVi

1OPA\X

又是0”中點(diǎn)，

連接OQ

?.,正方形0尸。河，；./1=/2,OP=PQ=QM=MO

'：OA=OB,：.PA=MB

Rt^QPA^Rt^QMB,：.QA^QB,NPQA=NMQB

U

：QH1.AB9AZ3=Z4

???N1+NM03+N3=18O。，???O、0、”三點(diǎn)共線

：.QH=OH-OQ

???，=1,點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度為每秒錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)單位長(zhǎng)度

錯(cuò)誤！未找到引用源。，：.O2=2

又???04=4錯(cuò)誤！未找到引用源。，.?.0，=4

：.QH=OH-OQ=4-2=2,：.CF=\

.,.Si=CZ)-C/=4xl=4

(3)當(dāng)點(diǎn)。落在上時(shí)，OQLAB,△0。4是等腰直角三角形

.?"=2錯(cuò)誤！未找到引用源。+錯(cuò)誤！未找到引用源。=2

當(dāng)0W/W2時(shí)，$2=0

當(dāng)點(diǎn)E落在上，點(diǎn)尸落在尸0上時(shí)，

△CFK和ADEG都是等腰直角三角形

過(guò)C作C7_LP0于T

則CT=3"=}(4錯(cuò)誤！未找到引用源。-錯(cuò)誤!

??.3=錯(cuò)誤！未找到引用源。CT=4T

連接。。，分別交彳2、CD于N、R

貝|叩=坐。4=坐*4錯(cuò)誤！未找到引用源。二

；0P=錯(cuò)誤!未找到引用源。t,：.OQ=2t,：.

:.CF=』QN=t-2

??4—t—t—2,/.t=3

當(dāng)2</W3時(shí)，重疊部分為等腰梯形G///K

△QGK和△0〃/都是等腰直角三角形

,：QN=2t-4,RN=CF=t-2,：.QR=t-2

:.GK=2QR=2t-4,〃/=20N=4f-8

2

：.S2=-^(GK+HI')-/W=y(2/-4+4r-8)(r-2)=3(Z-2)

當(dāng)3</W4時(shí)，重登部分為六邊形GHEF/K

易知RtZ\C7K絲RtZ\O〃G,.?.GH=K/=2CT=錯(cuò)誤！未找到引用源。(4一力

**?S?=S矩形CDEF—2s△C/K=CD?CF-KI?CT

=4(/-2)-錯(cuò)誤!未找到引用源。(I)?坐

(4-/)=

綜上得S2關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：

ro(ow/<2)

3。-2)2(2C/W3)

【一J+⑵-24(3C/W4)

X

(4)8

提示：點(diǎn)C和點(diǎn)D走過(guò)的路程分別為以O(shè)P為邊的正方形的對(duì)角線的一半

9.(上海模擬)如圖，正方形/8CO中，Z8=5,點(diǎn)E是8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=BC,連

接8D動(dòng)點(diǎn)朋1從2出發(fā)，以每秒地個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿8。向。運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N從E出發(fā),

以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿E8向8運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一點(diǎn)

也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，過(guò)/作8。的垂線A/P交8E于尸.

(1)當(dāng)/W=2時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間f；

(2)是否存在這樣的/,使△朋PN為等腰三角形？若存在，求出/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(3)設(shè)與△88重疊部分的面積為S,直接寫(xiě)出S與f的函數(shù)關(guān)系式和函數(shù)的定義

域.

解：(1)；正方形Z8C。，.?.ND8C=45°

.?.△8MP是等腰直角三角形

?：BM=@t,:.BP=^BM=2t

又PN=2,NE=2t

當(dāng)0<7<2.5時(shí)，BP+PN+NE=BE

：.2t+2+2t=\0,：.t=2

當(dāng)2.5<t<5時(shí)，BP-PN+NE=BE

.\2z-2+2/=10,：.t=3

(2)過(guò)M作MH_L3C于〃

馳ANQCs/\NMH,：.嗡=果

2

.QC_t.57-2/

??5—2/_1OT-27'??》c_10-3/

2

_,5/—2/

令A(yù)或=力則n了=年需

整理得2J-(3y+5)f+10y=0

為實(shí)數(shù)，［—(3y+5)『一4x2xl0y>0

5

即9歹?一50丁+2520,解得y25(舍去)或yWg

線段2c長(zhǎng)度的最大值為春

(3)當(dāng)0</<2.5時(shí)

*/4MPN=NQ8C+/8g=45。+90。=135°

???NMPN為鈍角，:,MN>MP,MN>PN

若PM=PN,則5/=10—4/

解得7=，(4一娘)

BNCPE

當(dāng)2.5</<5時(shí)

■:/MNP>/MBP=NMPB,：.MP>MN

若MN=PN,則ZPMN=ZMPN=45°

:.NMNP=9Q°,即

：.BN=NP,BP=2BN

???2，=2(10—2，)，解得，=￥

若PM=PN

■:PN=BP-BN=BP—(BE—NE)=BP+NE-BE

/.^2/—2/4-2/—10,解得，=5(4+W)

???當(dāng)￡=/（4一近），/=￥，，=5（4+啦）時(shí)，為等腰三角形

32

8f—50/+75/

(0<r<2.5)

20-6/

(4)S=

5z-y(2.5</<5)

10.（重慶模擬）如圖，已知△4BC是等邊三角形，點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，OB=\2,動(dòng)點(diǎn)P

在線段上從點(diǎn)/向點(diǎn)8以每秒立個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.以點(diǎn)P為頂

點(diǎn)，作等邊△尸MV,點(diǎn)M,N在直線OB上，取OB的中點(diǎn)。，以O(shè)D為邊在△408內(nèi)部作

如圖所示的矩形ODER點(diǎn)E在線段48匕

（1）求當(dāng)?shù)冗叀魇琹W的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)/的值；

（2）求等邊△PMV的邊長(zhǎng)（用含/的代數(shù)式表示）；

（3）設(shè)等邊△尸腦V和矩形ODE尸重疊部分的面積為S,請(qǐng)直接寫(xiě)出S與/的函數(shù)關(guān)系式及

自變量/的取值范圍；

（4）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)M,使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的

/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，

'：/\ABC.△尸MV是等邊三角形，。為ZC中點(diǎn)

乙40P=30。，乙4尸。=90。

'：OB=[2,：.AO=4yf3=2AP=2yf3t\7

解得，=2—oLDW

C

...當(dāng)/=2時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)。重合

(2)由題設(shè)知NN8M=30。，N8=85，AP=/t

.?.尸8=8小-小/,PM=P8-tan30°=8一/

即等邊△P/MV的邊長(zhǎng)為8-/

,2小/+6小(0W/W1)

—2小/+附什4小(1C/W2)

(3)S=<一孚J+iM(2VfW4)

2小『-2Mf+5M(4?W5)

<0(5<f<8)

提示：

①當(dāng)0W/W1時(shí)，PM經(jīng)過(guò)線段/尸

設(shè)尸/交/產(chǎn)于點(diǎn)/PN交EF于氤G,則重疊部分為直角梯形/CWG

,:AP=?：.AJ=2^t,JO=4小-24

MO=4—2f,CW=8-f-(4-2f)=4+f

作GHLON于H

貝ijGH=FO=2事,HN=2,尸G=O”=4+f—2=2+f

???S=StWFONG=g(尸G+ON)。尸。

=y(2+/+4+/)-2-\/3=2-\/3/+6^/3

②當(dāng)1</W2時(shí)，PM經(jīng)過(guò)線段尸O

設(shè)PM交EF于點(diǎn)/,則重疊部分為五邊形IJONG

FJ=AJ—AF=2品一2季,FI=2t-2

.'?S-Sse?FONG_S^p/j—2yf3t+~(2y/31—2-^3)(2/—2)

=-2小/+64+4立

③當(dāng)2</W4Ebj,PN經(jīng)過(guò)線段ED

設(shè)PN交ED于點(diǎn)K,則重疊部分為五邊形IMDKG

'：AP=y[3t,:.PE=4事一事f

：.IG=GE=4-t,EK=4小—小f

，KD=2小一(4小-小力=木/-2小，DN=t-2

?'?S=S低形IMNG-S4KDN

=y(4-/+8-r)-2-\/3-y(V3/-2^/3)(z-2)

=-坐J+

④當(dāng)4</<5時(shí)，PM經(jīng)過(guò)線段ED

設(shè)PM交ED于點(diǎn)、R,則重疊部分為△HMD

,:AP=?:.EP=4-4小

：.ER=2EP=2小L8小

，RD=2小-（2吸/-8?。?10\/5-24

MD=10—2f

；?S=Szx&M￡)=彳(10-2/)(10\[3—2y[3t)

=2于/-2()7^+5即

⑤當(dāng)5V/W8時(shí)，5=0

(4)*：MN=BN=PN=8—t,：.MB=]6-2t

①若月則/為中點(diǎn)

???OM=3

9：OM+MB=OB,???3+16—2/=12

.*./=3.5

②若FM=FE=6,則OM=96?-(2小9=29

?：OM+MB=OB,.>.2^6+16-2/=12

t=2+y[i>

③若EF=EA/=6,點(diǎn)M在。?；蛏?/p>

則DM=76-2事)2=2y[6

：.DB+DM=MB或者DB—DM=MB

.?.6+2而=16-2/或6-2加=16-2/

，/=5-,或t=5+y[6

綜上所述，當(dāng)f=3.5、2+乖、5—乖、5+加時(shí),

11.(浙江某校自主招生)如圖，正方形O/8C的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，且CM邊和48邊所

在直線的解析式分別為尸3力和尸Jx4+年25.

(1)求正方形O48C的邊長(zhǎng)；

(2)現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P、。分別從C、A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段CB向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1

個(gè)單位，點(diǎn)0沿折線4-O-C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒.當(dāng)

人為何值時(shí)，將ACP。沿它的一邊翻折，使得翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形？

(3)若正方形以每秒1?個(gè)單位的速度沿射線40下滑,直至頂點(diǎn)B落在x軸上時(shí)停止下滑.設(shè)

正方形在x軸下方部分的面積為S,求S關(guān)于滑行時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)自變量

，的取值范圍.

解：⑴聯(lián)立廠25

x=4

解得

y=3

：.A(4,3),：.OA=yj42+32=5

正方形0/8C的邊長(zhǎng)為5

(2)要使△CP0沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形組成的

四邊形為菱形，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，只需△CP。為等腰三角形即可

當(dāng)f=2秒時(shí)

???點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，，。「二2

分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)。在。力上時(shí)，.?.只存在一點(diǎn)°,使QC=QP

作QNLCP于N,則CN=yCP=OQ=1

4

QA=5—\=4,?,?左=s=2

②當(dāng)點(diǎn)。在OC上時(shí)，同理只存在一點(diǎn)。，使CP=C0=2

.,.OQ+OZ=10-2=8,/.A：=y=4

綜上所述，當(dāng)，=2秒時(shí):以所得的等腰三角形CP。沿底邊翻折,

翻折后得到菱形的k值為2或4

(3)①當(dāng)點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，，=3

當(dāng)0<fW3時(shí)，設(shè)O'C'交x軸于點(diǎn)。

則tanNOOO』本3即D淺O'=伊DO='亳3，"。三力5

3Z

.\S=^DO'?±?y/=琶J

4s

②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，，=(5X])+§=4

當(dāng)3V/W4時(shí)，設(shè)交x軸于點(diǎn)E

,

\'AO=^t—59；?A'E=—"彳15

???S=/(HE+O'Q)?5=^^

zzqqo

45

③當(dāng)點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，，=(5+5義])+]=7

當(dāng)4<fW7時(shí)，設(shè)8'C交x軸于點(diǎn)廠

5/-155Z-1535-5/

?：A'E=彳，:B'E=5-

?44

???8戶(hù)=《名1=35；5/

?。_42135-5/35-5/_252175625

..S―5-?4

2324’+12’24

綜上所述，S關(guān)于滑行時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系式為:

<25?

五「（0V/W3）

50/-751,、

——（3V/W4）

s=<O

252.175625”―、

牙+7T—N（4<，W7）

12.(浙江某校自主招生)如圖，正方形Z8CO的邊長(zhǎng)為8cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)沿邊

以1cm/秒的速度向點(diǎn)8勻速移動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)工、8重合)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿折線BC

-CD以2cm/秒的速度勻速移動(dòng).點(diǎn)、P、。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止.連

接工。交8。于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，(秒).

(1)當(dāng)點(diǎn)。在線段8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸出發(fā)多少時(shí)間后，NBEP=NBEQ?

(2)設(shè)的面積為S(cn?),求s關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；

(3)當(dāng)4<f<8時(shí)，求△4PE的面積為S的變化范圍.

解（1）4尸=xcm,BQ=2xcm

?：4BEP=4BEQ,BE=BE,/PBE=NQBE=45。

:.△PBE"AQBE,：.PB=BQ

o

即8—x=2x,

8

???點(diǎn)P出發(fā)了秒后，NBEP=NBEQ

(2)①當(dāng)0VxW4時(shí)，點(diǎn)。在5c上，作ENJL48于N,EM工BC于M

,AEAD__8__￡

,:AD〃BC,??面=畫(huà)=不=7

AE_4,AE_4

E0=7,??詬=x+4

.NE_AE.心匹—8x

?,麗=瓦，??NE=aq=。+4

2

/.S=\AP-NE—4-%?-4x

22x+4x+4

即S=E(0VZ4)

②當(dāng)4VxV8時(shí)，點(diǎn)0在8上，QFLABF,交BD于H

AE_AD_8_4

~EQ=7{Q=16-2X=8-x

pn^g_4.NE_4_4

1EQ~8-x*??力Q—8-x+4-12-x

NFAF

作ENU8于N,則適=而

.AE-FQ32

??'E-F012-x

；?S=4Ap-NE=?—2.16x

2212—x12-x

即S=fL(4<x<8)

12—x

(3)當(dāng)4Vx<8時(shí)，由S=7^=，得x=-^\

12—xlo+o

12s

V4<x<8,：.4<,<8

16+3c

V5>0,.,.16+S>0,/.4(16+5)<125<8(16+5)

解得8Vs<32

13.（浙江模擬）如圖，菱形/BCD的邊長(zhǎng)為6且/。/3=60。，以點(diǎn)4為原點(diǎn)、邊所

在直線為x軸且頂點(diǎn)D在第一象限建立平面直角坐標(biāo)系.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)沿折線D-C-

8向終點(diǎn)8以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)力出發(fā)沿x軸負(fù)半軸以每秒1個(gè)

單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3直線尸0交邊/。于點(diǎn)E.

（1）求出經(jīng)過(guò)4D、C三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）是否存在時(shí)刻，，使得PQLBD?若存在，求出/值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)NE長(zhǎng)為y,試求y與7之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）若尸、G為。C邊上兩點(diǎn)，且點(diǎn)。尸=bG=l,試在對(duì)角線。8上找一點(diǎn)“、拋物線對(duì)

稱(chēng)軸上找一點(diǎn)N,使得四邊形FMNG周長(zhǎng)最小并求出周長(zhǎng)最小值.

解：（1）由題意得：D（3,3?。?、C（9,3小）

設(shè)經(jīng)過(guò)力、。、C三點(diǎn)的拋物線解析式為了=冰2+旅

把。、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得：

9a+3b=3小V34y[3

解得：〃=9,bl=3

.81a+9b=3小

???拋物線的解析式為：尸_唱入唱

(2)連接ZC

?.?四邊形Z8CZ)是菱形，.?./C_L8。

若PQLBD,則尸0〃ZC

當(dāng)點(diǎn)P在。C上時(shí)

,JPC//AQ,PQ//AC,.?.四邊形PQ4C是平行四邊形

：.PC=AQ,即6-2/=/,

.1=2

當(dāng)點(diǎn)P在C8上時(shí)，P0與NC相交，此時(shí)不存在符合要求的才值

(3)①當(dāng)點(diǎn)尸在DC上，即00W3時(shí)

'：DP//AQ,:.叢DEPs叢AEQ

.DEDPIt?.

??y~AQ~t~2,"y-3Al

②當(dāng)點(diǎn)尸在C8上，即3</W6時(shí)

,:AE〃BP,:.叢QEAs叢QPB

AEA

-_0PH-V_<

"BP~QB'K|12-2r—6+t

12-2/

-y^~6+r

綜上所述，j，與，之間的函數(shù)關(guān)系式為:

(2(00W3)

12-2/

尸1(3<K6)

6+t

(4)作點(diǎn)廠關(guān)于直線2。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸，由菱形對(duì)稱(chēng)性知尸'在。/上，且。F'=￡>F=1

作點(diǎn)G關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G',易求。G'=4y

連接F'G'交。8于點(diǎn)