人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題《第十八章平行四邊形》知識(shí)串講+熱考題型(原卷版+解析)

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》本章知識(shí)綜合運(yùn)用四個(gè)圖形的性質(zhì)和判定四個(gè)圖形的性質(zhì)和判定●●一、平行四邊形定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行，對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分．判定：邊：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.角：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.對(duì)角線：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.●●二、矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.性質(zhì)：①矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì).②矩形的四個(gè)角都是直角；③矩形的對(duì)角線相等.判定：①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；④矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸.●●三、菱形定義：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì).②菱形的四條邊都相等.③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.④菱形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸.判定：①有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.③四條邊相等四邊形是菱形.●●四、正方形定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.性質(zhì)：具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì).①邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；②角：四個(gè)角都是直角；③對(duì)角線：對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④正方形式軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸；判定：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形.②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.③對(duì)角線相等的菱形是正方形.④對(duì)角線垂直的矩形是正方形.兩個(gè)性質(zhì)定理兩個(gè)性質(zhì)定理●●1、三角形的中位線定理◆定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.◆性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.●●2、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.題型一平行四邊形的性質(zhì)與判定題型一平行四邊形的性質(zhì)與判定【例題1】(2023?云岡區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，連接AF和CE．（1）證明：四邊形AECF是平行四邊形；（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的長．解題技巧提煉平行四邊形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙希ㄟ^證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的.【變式1-1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，則BD的長是（）A．18 B．19 C．20 D．21【變式1-2】如圖，在?ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AB于點(diǎn)E，AD＝6，AB＝7，則EF長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式1-3】如圖，平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，AB＝AE，AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，則∠AED的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．85°【變式1-4】(2023春?嘉興期中）如圖，已知在?ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，則以下條件不能判斷四邊形AECF為平行四邊形的是（）A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE【變式1-5】如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，分別交BC，BD于點(diǎn)E、P．連接OE，∠ADC＝60°，AB=12BC＝1，則下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②BD＝2③S平行四邊形ABCD＝AB?AC；④AD＝4OE．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-6】(2023?嘉定區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，AC＝AD，點(diǎn)E在邊BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，聯(lián)結(jié)DE．（1）求證：BC＝DE；（2）當(dāng)AC＝BC時(shí)，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式1-7】(2023秋?招遠(yuǎn)市期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點(diǎn)，連接EB并延長，使BF＝BE，連接EC并延長，使CG＝CE，連接FG．H為FG的中點(diǎn)，連接DH．（1）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度數(shù)．【變式1-8】(2023春?蓬江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，連接BE，BE⊥AF．（1）求證：△ADE≌△FCE；（2）求證：AE平分∠DAB；（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四邊形ABCD的面積．題型二三角形的中位線定理題型二三角形的中位線定理【例題2】(2023秋?二道區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在BC上，且BF＝5，連接AF，E為AF的中點(diǎn)，連接DE，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6解題技巧提煉運(yùn)用中位線定理求線段長或推理證明題的方法：當(dāng)題中出現(xiàn)有三角形的中點(diǎn)時(shí)，聯(lián)想到三角形中位線定理，應(yīng)用定理證明兩直線的位置關(guān)系或線段之間的關(guān)系.有時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造.【變式2-1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式2-2】(2023秋?封丘縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中點(diǎn)AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，則DE的長為（）A．1 B．32 C．2 D．【變式2-3】如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長為（）A．12 B．14 C．24 D．21【變式2-4】(2023春?寧都縣期末）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別為BD、AC的中點(diǎn)．請(qǐng)你判斷EF與GH的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式2-5】(2023秋?鄲城縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)．（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的長．（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求證：AB2+CD2＝4EF2．題型三矩形的性質(zhì)與判定題型三矩形的性質(zhì)與判定【例題3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O，連接CE，則CE的長為（）A．6 B．7 C．5 D．5.6解題技巧提煉1、矩形中有直角，所以對(duì)于線段長度的問題常用到勾股定理；2、矩形的判定一定要先明確前提條件，若前提是平行四邊形，則找一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；若前提是四邊形，則需證明有三個(gè)角是直角.3、矩形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用時(shí)要分清條件和結(jié)論，靈活選用方法是解題的關(guān)鍵.【變式3-1】(2023秋?泗縣期末）如圖，在矩形ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，EO⊥AC于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)E，若△ABE的周長為8，AB＝3，則AD的長為（）A．2 B．5.5 C．5 D．4【變式3-2】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE【變式3-3】(2023?定安縣一模）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，AE＝CF，連接EF，BF，EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，F(xiàn)C＝2，則AB的長為（）A．83 B．8 C．43 D．6【變式3-4】(2023春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，延長BE，CD交于點(diǎn)F，連接AF，BD．（1）求證：四邊形ABDF為平行四邊形．（2）若BE為∠ABC的角平分線，AB＝5，求四邊形ABDF的周長．【變式3-5】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別是線段BC、AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：△BDE≌△FAE；（2）求證：四邊形ADCF為矩形．【變式3-6】如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)，延長AE至G，使EG＝AE，連接CG．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGCF是矩形？請(qǐng)說明理由．題型四直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)題型四直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)【例題4】(2023春?交城縣期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC的延長線上，連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，若EF＝3，則AD的長為（）A．3 B．33 C．6 D．32解題技巧提煉在直角三角形中，遇到斜邊的中點(diǎn)常作斜邊的中線，從而利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題.【變式4-1】(2023春?蓬萊市期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，則EF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．6【變式4-2】(2023春?青縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜邊AB的中點(diǎn)，則DE的長是（）A．6 B．5 C．4 D．2【變式4-3】(2023秋?西安月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC為斜邊作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，連接EF、DE、DF，則DE的長為．【變式4-4】(2023秋?新民市期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥BD；（2）若∠DAC＝64°，∠BAC＝56°，求∠DMB的度數(shù)．【變式4-5】(2023秋?江都區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結(jié)DM、ME，求∠DME的度數(shù)；（3）猜想∠DME與∠A之間的關(guān)系，并證明你的猜想．題型五菱形的性質(zhì)與判定題型五菱形的性質(zhì)與判定【例題5】(2023秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝6，AC＝8，直線OE⊥AB交CD于點(diǎn)F，則EF的長為．解題技巧提煉菱形的判定可以確定菱形的存在，再利用菱形的性質(zhì)，可以得出線段或角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【變式5-1】(2023春?夏邑縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為斜邊AB上一點(diǎn)，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當(dāng)AD＝時(shí)，平行四邊形CDEB為菱形．【變式5-2】(2023?玉樹市校級(jí)一模）如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是AB邊一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E、F分別是DP、BP的中點(diǎn)，則線段EF的長為．【變式5-3】(2023秋?永春縣期中）如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，BD＝2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是．（填序號(hào)）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③EA平分∠GEF；④FB平分∠EFG；⑤四邊形BEFG是菱形．【變式5-4】(2023春?五華區(qū)校級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的延長線于點(diǎn)E．（1）證明：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）若AC＝24，BD＝10，求△ADE的周長．【變式5-5】(2023?武威模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，∠ADC＝∠ABC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）分別過點(diǎn)E，B作EF∥AB，BF∥AC，當(dāng)∠FCE和∠DCE滿足怎么樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EFCD是菱形？請(qǐng)說明理由．【變式5-6】(2023春?萊蕪區(qū)期中）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且點(diǎn)E、F不與點(diǎn)B、C、D重合．（1）證明：不論點(diǎn)E、F在邊BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE＝CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在邊BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，四邊形AECF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出四邊形AECF的面積；如果變化，請(qǐng)說明理由．題型六正方形的性質(zhì)與判定題型六正方形的性質(zhì)與判定【例題6】(2023春?衡山縣期末）如圖，在矩形ABCD中，有以下結(jié)論：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤當(dāng)∠ABD＝45°時(shí)，矩形ABCD會(huì)變成正方形．正確的結(jié)論是．解題技巧提煉正方形具有所有特殊平行四邊形的性質(zhì)，正方形的判定可以確定正方形的存在，再利用正方的性質(zhì)，可以得出線段或角的對(duì)應(yīng)關(guān)系從而解決問題.【變式6-1】(2023?南海區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，∠CEB和∠CFD都是直角且點(diǎn)C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，BE＝2，則陰影部分的面積是．【變式6-2】(2023秋?桐柏縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在DC，BC上，BF＝CE＝4，連接AE、DF，AE與DF相交于點(diǎn)G，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接HG，則HG的長為13．【變式6-3】(2023秋?零陵區(qū)期末）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE、BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四邊形DEOF，其中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【變式6-4】(2023春?江寧區(qū)期末）如圖，△ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)O．（1）求證：AF與DE互相平分；（2）當(dāng)△ABC滿足時(shí)，四邊形ADFE是正方形．【變式6-5】(2023春?朝天區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分別為F，G，若正方形ABCD的周長是40cm．（1）求證：四邊形BFEG是矩形；（2）求四邊形EFBG的周長；（3）當(dāng)AF的長為多少時(shí)，四邊形BFEG是正方形？題型七特殊平行四邊形綜合運(yùn)用題型七特殊平行四邊形綜合運(yùn)用【例題7】(2023春?綦江區(qū)月考）下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形解題技巧提煉綜合利用菱形、矩形、正方形的性質(zhì)與判定方法實(shí)現(xiàn)相應(yīng)線段、角之間的轉(zhuǎn)化時(shí)解題的關(guān)鍵，前提是要熟悉各圖形的性質(zhì)與判定的方法.【變式7-1】(2023秋?東明縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四種說法：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形．其中，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式7-2】F，BE⊥CD于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形DFBE是矩形；（2）若DE＝2，BE＝4，求AD的長．【變式7-3】(2023春?嶧城區(qū)期中）問題解決：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長CB到點(diǎn)H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．【變式7-4】(2023秋?高明區(qū)月考）如圖，在?ABCD中，E、M分別為AD、AB的中點(diǎn)，DB⊥AD，延長ME交CD的延長線于點(diǎn)N，連接AN．（1）證明：四邊形AMDN是菱形；（2）若∠DAB＝45°，判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由．【變式7-5】(2023秋?青島期中）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．（1）求證：△ABC≌△CDA；（2）求證：四邊形AECF是菱形；（3）給三角形ABC添加一個(gè)條件，使得四邊形AECF是正方形，并證明你的結(jié)論．題型八平行四邊形中的分類討論問題題型八平行四邊形中的分類討論問題【例題8】(2023春?東湖區(qū)校級(jí)期中）菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，點(diǎn)E在線段BC上，CE＝23，若點(diǎn)P是菱形邊上異于點(diǎn)E的另一點(diǎn)，CE＝CP，則∠EPC的度數(shù)為．解題技巧提煉分類討論思想要做到兩點(diǎn)：（1）要有分類的意識(shí)，善于從問題的情景中專注分類的對(duì)象；二是找出科學(xué)、合理的分類標(biāo)準(zhǔn).本章中出現(xiàn)的圖形運(yùn)動(dòng)、邊長、面積等題目常用到分類討論思想.【變式8-1】（2023?龍川縣校級(jí)開學(xué)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)P在正方形的邊上，若∠AEB＝105°，AE＝EP，則在△AEP中，∠AEP的度數(shù)為．【變式8-2】(2023春?嘉興月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于點(diǎn)D，且BD＝8cm．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；同時(shí)點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，過點(diǎn)P的直線PQ∥AC，交BC于點(diǎn)Q，連接PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜2.5），當(dāng)t為時(shí)，以P、Q、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【變式8-3】(2023春?璧山區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A．C的坐標(biāo)分別為（10，0），（0，3），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【變式8-4】(2023春?西湖區(qū)期中）如圖，正方形ABCD的邊長為6．E，F(xiàn)分別是射線AB，AD上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且EC⊥CF，M為EF的中點(diǎn)．P為線段AD上一點(diǎn)，AP＝1，連接PM．當(dāng)△PMF為直角三角形時(shí)，則AE的長為．題型九平行四邊形中的折疊問題題型九平行四邊形中的折疊問題【例題9】(2023秋?電白區(qū)期中）如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E為BC上一點(diǎn)，把△CDE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的F處．（1）求AF的長；（2）求CE的長．解題技巧提煉在很多問題中，經(jīng)常涉及折疊問題，折疊前后的圖形具有全等的特性，由此得到一些線段相等或角相等，并將平行四邊形、矩形結(jié)合在一起，綜合解決問題.【變式9-1】(2023秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，在長方形紙片ABCD中，AD＝9，AB＝3，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，折痕EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．（1）求線段AE的長．（2）線段BF的長為．【變式9-2】（2023春?吳江區(qū)月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長為（）A．185 B．125 C．165【變式9-3】(2023秋?梅縣區(qū)校級(jí)期末）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E，G分別在邊BC，AB上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處；把△DAG沿直線DG折疊，使點(diǎn)A落在線段DF上的點(diǎn)H處，HF＝1，BF＝8，則矩形ABCD的面積為（）A．420 B．360 C．4202 D．【變式9-4】(2023秋?遵義期末）如圖，已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝3，矩形GBEF是由矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點(diǎn)H為CD邊上一點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形ABHD沿BH折疊得到四邊形A'BHD'，當(dāng)點(diǎn)A'恰好落在EF上時(shí)，DH的長是（）A．175 B．72 C．185【變式9-5】如圖，將平行四邊形ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處，折痕l交CD邊于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：四邊形ADED′是菱形；（2）如果AB2＝AE2+BE2，求證：BE平分∠ABC．題型十平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題題型十平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題【例題10】(2023春?魏縣期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點(diǎn)P在AD邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒3cm的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC，CB向B運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，以P，D，Q，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．解題技巧提煉解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，要抓住點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的特殊時(shí)刻（或一個(gè)確定的位置），以靜制動(dòng)，尋找問題的突破口，有時(shí)要用到方程思想或分類討論的思想.【變式10-1】如圖，在矩形ABCD中，BC＝15cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D開始沿DA邊以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則當(dāng)t＝（）秒時(shí)，四邊形ABPQ為矩形．A．3 B．4 C．5 D．6【變式10-2】(2023秋?平頂山期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)在線段AC上以0.5cm/s的速度反向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E，F(xiàn)分別到達(dá)A，C兩點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．連接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是邊長為4cm的等邊三角形，當(dāng)t＝s時(shí)，四邊形DEBF為正方形．【變式10-3】(2023春??？h期末）如圖，在?ABCD中，AB＝10cm，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，E為邊CD上一點(diǎn)，DE＝4cm．點(diǎn)M從D點(diǎn)出發(fā)，沿D→C以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C；同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→A以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)后，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒時(shí)，以點(diǎn)M，E，N，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【變式10-4】(2023秋?鄄城縣期中）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝12cm，AC＝6cm，點(diǎn)E在線段BO上從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段OD上從點(diǎn)O出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形？（2）在（1）的條件下，當(dāng)AB為何值時(shí)，平行四邊形AECF是菱形？【變式10-5】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）作DE⊥BC于E，則CD邊的長度為cm；（2）從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)t取何值時(shí)，四邊形PQBA是矩形？（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．題型十一平行四邊形中的最值問題題型十一平行四邊形中的最值問題【例題11】(2023秋?鎮(zhèn)平縣期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)N是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為CN，MN的中點(diǎn)，則DE的最小值是．解題技巧提煉在解決四邊形中的最短問題時(shí)，利用軸對(duì)稱、平移等變換把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短線段和.【變式11-1】(2023秋?海州區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD為底邊向右作腰長為10的等腰△ADP，Q為邊BC上一點(diǎn)，BQ＝4，連接PQ，則PQ的最小值為．【變式11-2】(2023?南海區(qū)一模）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝3．運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是．【變式11-3】如圖所示，在邊長為2的菱形ABCD中∠ABC＝60°，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P為BC邊上的一點(diǎn)，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF，則線段EF的最小值是（）A．32 B．52 C．5 【變式11-4】(2023春?上思縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)F在AD上，AF＝1，E是對(duì)角線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值為．【變式11-5】(2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝6，△BDC面積為21，AB的垂直平分線MN分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，若點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是線段MN和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PQ的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8題型十二平行四邊形綜合壓軸探究題題型十二平行四邊形綜合壓軸探究題【例題12】(2023春?禹城市期中）【發(fā)現(xiàn)與證明】如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是正方形A'B'C'O的一個(gè)頂點(diǎn)，如果兩個(gè)正方形的邊長都等于a，那么正方形A'B'C'O繞點(diǎn)O無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是一個(gè)定值．（1）請(qǐng)你寫出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論．【應(yīng)用遷移】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，連接AC．若AC＝8，求四邊形ABCD的面積．解題技巧提煉本題型是四邊形的綜合題，綜合考查了平行四邊形和特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定，同時(shí)用到等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，有時(shí)正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式12-1】(2023秋?丹徒區(qū)期末）如圖1，在長方形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，含45°角的直角三角板放置在長方形內(nèi)，∠FEG＝90°，EG＝EF，頂點(diǎn)E、F、G分別在AB、BC、AD上．（1）求證：△AEG≌△BFE；（2）若P是斜邊FG的中點(diǎn)．①如圖2，連接EP，請(qǐng)寫出線段EP與AG、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖3，連接BP，若AB=18，則BP的長等于【變式12-2】(2023春?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥BC交BC于點(diǎn)E．過點(diǎn)O作FG⊥AB交AB、CD于點(diǎn)F、G．（1）如圖1，若BC＝5，OE＝3，求平行四邊形ABCD的面積；（2）如圖2，若∠ACB＝45°，試探究AF，F(xiàn)O，EG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式12-3】如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD＝16，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）求對(duì)角線AC的長及菱形ABCD的面積．（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE+OF的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD的延長線上時(shí)，OE+OF的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)說明理由；若變化，請(qǐng)?zhí)骄縊E，OF之間的數(shù)量關(guān)系．【變式12-4】如圖①，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將正方形折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，PG交DC于H，折痕為EF，BC、PG延長線相交于點(diǎn)K．（1）若BE＝3，求AP的長；（2）在（1）的條件下，求BK的長；（3）如圖②當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長是定值嗎？如果是，請(qǐng)求出該定值；如果不是請(qǐng)說明理由．【變式12-5】(2023春?淮北期末）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝22，CE＝2，求CG的長；（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》本章知識(shí)綜合運(yùn)用四個(gè)圖形的性質(zhì)和判定四個(gè)圖形的性質(zhì)和判定●●一、平行四邊形定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行，對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分．判定：邊：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.角：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.對(duì)角線：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.●●二、矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.性質(zhì)：①矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì).②矩形的四個(gè)角都是直角；③矩形的對(duì)角線相等.判定：①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；④矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸.●●三、菱形定義：有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì).②菱形的四條邊都相等.③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.④菱形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸.判定：①有一組鄰邊相等的平行的四邊形叫做菱形.②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.③四條邊相等四邊形是菱形.●●四、正方形定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.性質(zhì)：具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì).①邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；②角：四個(gè)角都是直角；③對(duì)角線：對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④正方形式軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸；判定：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形.②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.③對(duì)角線相等的菱形是正方形.④對(duì)角線垂直的矩形是正方形.兩個(gè)兩個(gè)性質(zhì)定理●●1、三角形的中位線定理◆定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.◆性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.●●2、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.題型一題型一平行四邊形的性質(zhì)與判定【例題1】(2023?云岡區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，連接AF和CE．（1）證明：四邊形AECF是平行四邊形；（2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的長．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得出∠AEF＝∠CFE＝90°，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得AE∥CF，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△ABE≌△CDF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE＝CF，然后根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）在Rt△BCF中，由勾股定理求得CF的長度；繼而在Rt△CEF中，由勾股定理CE的長度即可．【解答】（1）證明：∵AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，∴∠AEF＝∠CFE＝90°，∴AE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE與△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD=90°∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形（有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；（2）解：∵DF＝2，∴BF＝BD﹣DF＝6﹣2＝4．在Rt△BCF中，由勾股定理得CF=B由（1）可知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝2．∴EF＝BF﹣BE＝2．在Rt△CEF中，由勾股定理得CE=E【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形全等證明得到AE＝CF是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉平行四邊形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的.【變式1-1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，則BD的長是（）A．18 B．19 C．20 D．21【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可得OA的長，然后由AB⊥AC，AB＝8，AC＝12，根據(jù)勾股定理可求得OB的長，繼而求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝12，∴OA=12AC＝6，BD＝2∵AB⊥AC，AB＝8，∴OB=O∴BD＝2OB＝20．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，在?ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AB于點(diǎn)E，AD＝6，AB＝7，則EF長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CD∥AB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ECB＝∠DCE，然后證明BC＝BE，AD＝AF，進(jìn)而可得AE＝BF，進(jìn)而求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝6，AB＝DC＝7，∴∠DCE＝∠BEC，∵CE平分∠BCD交AB于E，DF平分∠ADC，交AB于點(diǎn)F，∴∠ECB＝∠DCE，∠ADF＝∠CDB，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠EFD，∠DCE＝∠BEC，∴∠ADF＝∠EFD，∠BCE＝∠BEC，∴AF＝AD＝6，BE＝BC＝6，∴AE＝BF＝7﹣6＝1，∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝7﹣1﹣1＝5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)的應(yīng)用，屬于常見題，中考常考題型．【變式1-3】如圖，平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，AB＝AE，AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，則∠AED的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．85°【分析】先求出∠B＝∠AEB＝∠BAE＝60°＝∠ADC＝∠DAE，由“SAS”可證△ADC≌△DAE，可求解．【解答】解：∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD＝AE，∠B＝∠ADC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，∵∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠B＝∠AEB＝∠BAE＝60°＝∠ADC＝∠DAE，∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝85°，在△ADC和△DAE中，AD=DA∠ADC=∠DAE∴△ADC≌△DAE（SAS），∴∠AED＝∠ACD＝85°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】(2023春?嘉興期中）如圖，已知在?ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，則以下條件不能判斷四邊形AECF為平行四邊形的是（）A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE【分析】連接AC與BD相交于O，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE＝OF即可，然后根據(jù)各選項(xiàng)的條件分析判斷即可得解．【解答】解：如圖，連接AC與BD相交于O，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四邊形AECF為平行四邊形，只需證明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，則OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、若AF⊥BD，CE⊥BD，則可以利用“角角邊”證明△ADF和△CBE全等，從而得到DF＝BE，然后同A，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∠BAE＝∠DCF能夠利用“角角邊”證明△ABE和△CDF全等，從而得到DF＝BE，然后同A，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、AF＝CE無法證明得到OE＝OF，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，分別交BC，BD于點(diǎn)E、P．連接OE，∠ADC＝60°，AB=12BC＝1，則下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②BD＝2③S平行四邊形ABCD＝AB?AC；④AD＝4OE．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①先根據(jù)角平分線和平行得：∠BAE＝∠BEA，則AB＝BE＝1，由有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：∠ACE＝30°，最后由平行線的性質(zhì)可作判斷；②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE=12AB=12，OE∥AB，根據(jù)勾股定理計(jì)算OC=1③因?yàn)椤螧AC＝90°，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷．【解答】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝BE＝1，∵BC＝2，∴EC＝1，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正確；②∵BE＝EC，OA＝OC，∴OE=12AB=12，∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，Rt△EOC中，OC=1∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACB＝30°，∴∠ACD＝90°，Rt△OCD中，OD=1∴BD＝2OD=7故②錯(cuò)誤；③由②知：∠BAC＝90°，∴S平行四邊形ABCD＝AB?AC，故③正確；④由②知：OE是△ABC的中位線，∴OE=12∵AB=12∴OE=12BC=故④正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積和平行四邊形面積的計(jì)算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABE是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵系．【變式1-6】(2023?嘉定區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，AC＝AD，點(diǎn)E在邊BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，聯(lián)結(jié)DE．（1）求證：BC＝DE；（2）當(dāng)AC＝BC時(shí)，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】（1）證△ABC≌△AED（SAS），即可得到結(jié)論；（2）證BC＝AD＝DE，則∠EAD＝∠AED，再證∠AEB＝∠B，則∠EAD＝∠AEB，得AD∥BC，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD．在△ABC與△AED中，AB=AE∠BAC=∠EAD∴△ABC≌△AED（SAS）．∴BC＝DE；（2）由（1）可知，△ABC≌△AED，∴∠B＝∠AED，BC＝DE，AC＝AD，∵AC＝BC，∴BC＝AD＝DE，∴∠EAD＝∠AED，∴∠B＝∠EAD，∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，∴∠EAD＝∠AEB，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解題關(guān)鍵．【變式1-7】(2023秋?招遠(yuǎn)市期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點(diǎn)，連接EB并延長，使BF＝BE，連接EC并延長，使CG＝CE，連接FG．H為FG的中點(diǎn)，連接DH．（1）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度數(shù)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC；證明BC是△EFG的中位線，得出BC∥FG，BC=12FG，證出AD∥FH，AD＝（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BCE＝50°，再由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CBE＝∠CEB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位線，∴BC∥FG，BC=12∵H為FG的中點(diǎn)，∴FH=12∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四邊形AFHD是平行四邊形；（2）解：∵∠BAE＝80°，∴∠BCD＝80°，∵∠DCE＝30°，∴∠BCE＝80°﹣30°＝50°，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-8】(2023春?蓬江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，連接BE，BE⊥AF．（1）求證：△ADE≌△FCE；（2）求證：AE平分∠DAB；（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四邊形ABCD的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)AAS可判定△ADE≌△FCE；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE＝FE，根據(jù)BE⊥AF．利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得BA＝BF，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）結(jié)合（1）根據(jù)∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的長，根據(jù)△ADE≌△FCE，可得△ADE的面積＝△FCE的面積，所以?ABCD的面積＝△ABF的面積＝2△ABE的面積，即可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠EFC，∵點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，∠DAE=∠EFC∠DEA=∠CEF∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）證明：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，∵BE⊥AF，∴BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA，∵∠DAE＝∠BFA，∴∠DAE＝∠BAF，∴AE平分∠DAB；（3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4，∴∠DAE＝∠BAF＝30°，∵BE⊥AF，∴BE=12∴AE=3BE＝23∵△ADE≌△FCE，∴△ADE的面積＝△FCE的面積，∴?ABCD的面積＝△ABF的面積＝2△ABE的面積＝2×12×AE?BE＝23【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．題型題型二三角形的中位線定理【例題2】(2023秋?二道區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在BC上，且BF＝5，連接AF，E為AF的中點(diǎn)，連接DE，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AD＝DC，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算得到答案．【解答】解：∵BC＝13，BF＝5，∴FC＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位線，∴DE=12FC故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉運(yùn)用中位線定理求線段長或推理證明題的方法：當(dāng)題中出現(xiàn)有三角形的中點(diǎn)時(shí)，聯(lián)想到三角形中位線定理，應(yīng)用定理證明兩直線的位置關(guān)系或線段之間的關(guān)系.有時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造.【變式2-1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，得到DF∥BM，再證明EC＝EF=12【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC=A∵DE是△ABC的中位線，∴DF∥BM，DE=12∴∠EFC＝∠FCM，∵∠FCE＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，∴EC＝EF=12∴DF＝DE+EF＝3+5＝8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．【變式2-2】(2023秋?封丘縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中點(diǎn)AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，則DE的長為（）A．1 B．32 C．2 D．【分析】連接BE并延長交AC的延長線于點(diǎn)F，易證明△ABF是等腰三角形，則得AF的長，點(diǎn)E是BF的中點(diǎn)，求得CF的長，從而DE是中位線，即可求得DE的長．【解答】解：連接BE并延長交AC的延長線于點(diǎn)F，如圖，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠ABE＝∠AFE，∴△ABF是等腰三角形，∴AF＝AB＝5，點(diǎn)E是BF的中點(diǎn)，∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，DE是△BCF的中位線，∴DE=1故選：A．【變式2-3】如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長為（）A．12 B．14 C．24 D．21【分析】利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH＝FG=12BC，EF＝GH=【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC=B∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，∴EH＝FG=12BC，EF＝GH=∴四邊形EFGH的周長＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝7，∴四邊形EFGH的周長＝7+5＝12．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】(2023春?寧都縣期末）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別為BD、AC的中點(diǎn)．請(qǐng)你判斷EF與GH的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】連接EG、GF、FH、EH，根據(jù)三角形中位線定理得到EG=12AB，EG∥AB，F(xiàn)H=12AB，F(xiàn)H∥AB，進(jìn)而得到EG＝FH，EG∥【解答】解：EF與GH互相平分，理由如下：連接EG、GF、FH、EH，∵E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別為BD、AC的中點(diǎn)，∴EG是△ADB的中位線，F(xiàn)H是△ACB的中位線，∴EG=12AB，EG∥AB，F(xiàn)H=12AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四邊形EGFH為平行四邊形，∴EF與GH互相平分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】(2023秋?鄲城縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)．（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的長．（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求證：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，由三角形中位線定理得PE∥AB，且PE＝5，PF∥CD，且PF＝12，再證∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出結(jié)論；（2）由三角形中位線定理得PE∥AB，且PE=12AB，PF∥CD，且PF=【解答】（1）解：如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點(diǎn)，AB＝10，CD＝24，∴PE是△ABD的中位線，PF是△BCD的中位線，∴PE∥AB，且PE=12AB=5，PF∥CD∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在Rt△EPF中，由勾股定理得：EF=E即EF的長為13；（2）證明：由（1）可知，PE是△ABD的中位線，PF是△BCD的中位線，∴PE∥AB，且PE=12AB，PF∥CD∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴PE∴AB2+CD2＝4EF2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．題型題型三矩形的性質(zhì)與判定【例題3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O，連接CE，則CE的長為（）A．6 B．7 C．5 D．5.6【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)可得AE＝CE，設(shè)CE＝x，表示出ED的長度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∵EO是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，設(shè)CE＝x，則ED＝AD﹣AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5，即CE的長為5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理，把相應(yīng)的邊轉(zhuǎn)化為同一個(gè)直角三角形的邊是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、矩形中有直角，所以對(duì)于線段長度的問題常用到勾股定理；2、矩形的判定一定要先明確前提條件，若前提是平行四邊形，則找一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；若前提是四邊形，則需證明有三個(gè)角是直角.3、矩形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用時(shí)要分清條件和結(jié)論，靈活選用方法是解題的關(guān)鍵.【變式3-1】(2023秋?泗縣期末）如圖，在矩形ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，EO⊥AC于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)E，若△ABE的周長為8，AB＝3，則AD的長為（）A．2 B．5.5 C．5 D．4【分析】由矩形的性質(zhì)可得AO＝CO，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE＝EC，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BC＝AD，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵△ABE的周長為8，∴AB+AE+BE＝8，∴3+BC＝8，∴BC＝5，∴AD＝BC＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式3-2】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE【分析】先證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進(jìn)行解答．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四邊形BCED為平行四邊形，A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE為矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形，故本選項(xiàng)正確；C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴?DBCE為矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴?DBCE為矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定，首先判定四邊形BCDE為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】(2023?定安縣一模）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，AE＝CF，連接EF，BF，EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，F(xiàn)C＝2，則AB的長為（）A．83 B．8 C．43 D．6【分析】連接OB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BO⊥EF，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA＝OB，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠BAC＝∠ABO，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠ABO＝30°，即∠BAC＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AB．【解答】解：如圖，連接BO，∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠DCB＝90°∴∠FCO＝∠EAO，在△AOE和△COF中，∠AOE=∠FOC∠FCO=∠EAO∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，OA＝OC，∵BF＝BE，∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，∴∠EAO＝∠EOA，∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，在RT△BFO和RT△BFC中，BF=BFFO=FC∴RT△BFO≌RT△BFC，∴BO＝BC，在RT△ABC中，∵AO＝OC，∴BO＝AO＝OC＝BC，∴△BOC是等邊三角形，∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，∴△BEF是等邊三角形，∴EB＝EF＝4，∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，綜合題，但難度不大，（2）作輔助線并求出∠BAC＝30°是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】(2023春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，延長BE，CD交于點(diǎn)F，連接AF，BD．（1）求證：四邊形ABDF為平行四邊形．（2）若BE為∠ABC的角平分線，AB＝5，求四邊形ABDF的周長．【分析】（1）由“AAS”可證△ABE≌△DFE，可得AB＝DF，由平行四邊形的判定可得結(jié)論；（2）由角平分線的性質(zhì)可得∠ABE＝∠CBE＝45°，可求AD＝10，由勾股定理可求BD的長，即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠ABE＝∠DFE，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△ABE和△DFE中，∠ABE=∠DFE∠AEB=∠DEF∴△ABE≌△DFE（AAS），∴AB＝DF，∴四邊形ABDF為平行四邊形；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴AB＝AE＝5，∴AD＝10，∴BD=AD2+∴四邊形ABDF的周長＝2（AB+BD）＝10+105．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別是線段BC、AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：△BDE≌△FAE；（2）求證：四邊形ADCF為矩形．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFE＝∠DBE，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AE＝DE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝BD，推出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADC＝90°，于是得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是線段AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是線段BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四邊形ADCF為矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式3-6】如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)，延長AE至G，使EG＝AE，連接CG．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGCF是矩形？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行線的性質(zhì)得出∠ABE＝∠CDF，證出BE＝DF，由SAS證明△ABE≌△CDF即可；（2）證出AB＝OA，由等腰三角形的性質(zhì)得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，證出EG＝CF，得出四邊形EGCF是平行四邊形，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)，∴BE=12OB，DF=∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：當(dāng)AC＝2AB時(shí)，四邊形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中點(diǎn)，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四邊形EGCF是平行四邊形，∵∠OEG＝90°，∴四邊形EGCF是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．題型題型四直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)【例題4】(2023春?交城縣期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC的延長線上，連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，若EF＝3，則AD的長為（）A．3 B．33 C．6 D．32【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出AED＝90°，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：連接AE，∵AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∵F為AD的中點(diǎn)，∴EF=12∵EF＝3，∴AD＝6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證出∠AED＝90°是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉在直角三角形中，遇到斜邊的中點(diǎn)常作斜邊的中線，從而利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題.【變式4-1】(2023春?蓬萊市期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，則EF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行線的性質(zhì)可求得∠EAD+∠ADE＝90°，即可得∠AED＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可證得EF＝AE，即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°，∵F是AD的中點(diǎn)，∠ADE＝30°，∴EF=12AD，AE=∴EF＝AE＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，證明EF＝AE是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】(2023春?青縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜邊AB的中點(diǎn)，則DE的長是（）A．6 B．5 C．4 D．2【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得AE＝CE＝BE＝4，通過角的數(shù)量關(guān)系可求∠DCE＝∠DEC，即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8，E是斜邊AB的中點(diǎn)，∴AE＝CE＝BE＝4，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DEC＝2∠ECA，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠BCD，∴∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠A＝∠ACE，∵∠ACD＝3∠BCD，∴∠ACD＝3∠ACE，∴∠DCE＝2∠ACE，∴∠DCE＝∠DEC，∴CD＝DE，又∵DE⊥CD，∴CE=2DE∴DE＝22，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明∠DCE＝∠DEC是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】(2023秋?西安月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC為斜邊作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，連接EF、DE、DF，則DE的長為．【分析】根據(jù)已知可得∠CAD＝30°，再在Rt△ACD中，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得DF＝AF＝2，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAD＝∠ADF＝30°，然后再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠DFC＝60°，再利用三角形的中位線定理可得EF=12AB＝2，EF∥AB，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠EFC＝∠BAC＝30°，進(jìn)而可得∠EFD＝90°，最后在Rt△【解答】解：∵∠CAD＝∠CAB，∠CAB＝30°，∴∠CAD＝30°，∵∠ADC＝90°，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，AC＝4，∴DF＝AF=12∴∠CAD＝∠ADF＝30°，∴∠DFC＝∠CAD+∠ADF＝60°，∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴EF=12AB＝2，EF∥∴∠EFC＝∠BAC＝30°，∴∠EFD＝∠EFC+∠CFD＝90°，在Rt△DFE中，DE=DF2故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】(2023秋?新民市期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥BD；（2）若∠DAC＝64°，∠BAC＝56°，求∠DMB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM=12AC，DM=（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM＝AM，DM＝AM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM=12AC，DM=∴BM＝DM，又∵N是BD的中點(diǎn)，∴MN⊥BD；（2）∴∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM＝AM，DM＝AM，．∴∠ABM＝∠BAC＝56°，∠ADM＝∠DAC＝64°，∴∠DMB＝360°﹣56°×2﹣64°×2＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】(2023秋?江都區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結(jié)DM、ME，求∠DME的度數(shù)；（3）猜想∠DME與∠A之間的關(guān)系，并證明你的猜想．【分析】（1）連接DM，ME，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DM=12BC，ME=12BC，得到（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形性質(zhì)、平角的定義求解即可；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：如圖，連接DM，ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，∴DM=12BC，ME=∴DM＝ME，又∵N為DE中點(diǎn)，∴MN⊥DE；（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，∴180°﹣∠A＝120°，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°；（3）解：∠DME＝180°﹣2∠A，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型題型五菱形的性質(zhì)與判定【例題5】(2023秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝6，AC＝8，直線OE⊥AB交CD于點(diǎn)F，則EF的長為．【分析】由菱形的性質(zhì)得OB=12BD=3，OA=12【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，AC＝8，∴OB=1∴AB=O∵EF⊥AB，∴S菱形ABCD即12∴EF＝4.8，故答案為：4.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉菱形的判定可以確定菱形的存在，再利用菱形的性質(zhì)，可以得出線段或角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【變式5-1】(20