專題1 指對冪函數(shù)比較大?。M+真題）2024高考總復(fù)習壓軸題《數(shù)學》函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析版

第第頁專題1指對冪函數(shù)比較大小1．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】觀察選項，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】令，則，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以且，所以且，即且，所以，又，所以，綜上所述，，故選：D.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).2．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對，，進行變形，構(gòu)造，，求導(dǎo)后得到其單調(diào)性，從而判斷出，，的大小.【詳解】，，，令，，，因為，所以，令，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，故，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，即，故選：D.3．（2024·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造，二次求導(dǎo)，得到單調(diào)性，得到，再變形得到，故構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，比較出，得到答案.【詳解】設(shè)，設(shè)0，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.根據(jù)已知得，可設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上，.故選：D.【點睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指對數(shù)運算法則得到，，，從而利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷得，，從而得解.【詳解】，，，因為，則，所以，即；而，，所以，所以，即；綜上：.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用與比較大小，利用與比較大小，從而得解.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用常見不等式放縮得到，的大小關(guān)系，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較，的大小關(guān)系即可得到答案.【詳解】令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當時，，即；令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當時，，即；由誘導(dǎo)公式得，所以，因此；因為，，故只需比較與的大小，由二項式定理得，，所以．綜上，.故選：C【點睛】方法點睛：本題考查比較大小問題，此類問題常見的處理方法為：（1）中間值法：通過與特殊的中間值比較大小，進而判斷兩個數(shù)的大小關(guān)系；（2）構(gòu)造函數(shù)法：通過觀察兩個數(shù)形式的相似之處，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值等性質(zhì)進而比較大??；（3）放縮法：利用常見的不等式進行數(shù)的放縮進而快速比較大小.6．（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由條件可得為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，由函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】因為則函數(shù)定義域為，且滿足，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又由函數(shù)，都是上單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，因為且，所以，又因為，，所以，因為在單調(diào)遞增，所以．故選：A．7．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】易得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較的大小關(guān)系，即可得解.【詳解】，令，則，令，則，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.綜上，.故選：A8．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判斷的符號，再構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而得到答案.【詳解】因為在上增函數(shù)，所以，即.造函數(shù)，則，令，解得，當時，，則為單調(diào)遞減；當時，，則為單調(diào)遞增.所以函數(shù)在處取得最小值，即，所以，即，.綜上所述，.故選：C.9．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性并比較，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.【詳解】當時，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即有，因此，顯然，所以.故選：D10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作商結(jié)合基本不等式可判斷，由條件，可得，取對數(shù)可判斷，得解.【詳解】因為，又因為，所．因為，即，所以．綜上，．故選：A.11．（2020·安徽宣城·統(tǒng)考二模）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【詳解】，，，所以.故選：C.12．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、中間值法以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為，，又因為，所以，，所以，，即.故選：C.13．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)恒等式、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】，，，所以．故選：C．14．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用中間值法，結(jié)合不等式性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】由，則，所以；由，且，則，所以；由，且，則，所以；由，且，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；綜上可得，所以.故選：D.15．（2023·重慶北碚·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)單調(diào)性得到，再構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性，得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，比較出大小.【詳解】因為，而在上單調(diào)遞減，故，又在上單調(diào)遞增，故，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，，故，即，故，又，令，則，當時，，單調(diào)遞減，故，故，因為，所以，即，因為在上單調(diào)遞增，故，又，故，故故選：D【點睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小.16．（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而確定的大小關(guān)系.【詳解】令，則，，有.故函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即，所以，即，令，則，，有.故函數(shù)在單調(diào)遞減，故，即，所以，即.綜上：.故選：D17．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及放縮法對進行估值即可判斷.【詳解】，且，故，，即.由可得，又，故.則.故選：C18．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由對數(shù)的運算可得，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】因為偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，，又，，所以，，所以，即.故選：B19．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是定義在上的偶函數(shù)，對任意實數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)奇偶性以及可知的周期為2，且在上單調(diào)遞減，將表達式化簡可得，，，又易知即可得.【詳解】根據(jù)題意可知，即可得，所以函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，所以可得在上單調(diào)遞增；根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，又顯然，所以可得，即；因此可得.故選：A20．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【詳解】由題意可得，，，∵，∴，故．故選：C.21．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）有三個數(shù)：，大小順序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合“媒介數(shù)”比較大小作答.【詳解】，，所以.故選：A22．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】通過化簡，并比較與1的大小即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，，，所以.故選：D.23．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判定即可.【詳解】易知.故選：B24．（2023·四川瀘州·四川省敘永第一中學校?？家荒＃┮阎c在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b【答案】B【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)所過的點求解冪函數(shù)解析式并判斷函數(shù)單調(diào)性，然后通過自變量大小關(guān)系結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系即可【詳解】已知冪函數(shù)經(jīng)過點，可得：，解得：.即，易知在上為單調(diào)遞減函數(shù).由于，可得：，即；又因為，，可得：，即；綜上所述：.故選：B25．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)、指數(shù)、冪的大小比較，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)判斷出的大小關(guān)系.【詳解】，所以；因為，，即，所以；設(shè)，則，所以當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減，所以，即，當且僅當時等號成立，同理，即，所以當且僅當時等號成立，故，所以，從而，綜上．．故選：B.【點睛】方法點睛：要比較指數(shù)、冪、對數(shù)的大小，可以考慮利用“分段法”來進行求解，即要比較的大小關(guān)系，可以根據(jù)的結(jié)構(gòu)，找到兩個數(shù)，使得（不妨設(shè)），從而判斷出的大小關(guān)系.26．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)建函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，注意.【詳解】由題意可得，，，設(shè)，，則，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；因為，，，且，可得，，所以.故選：D.27．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得，對，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，對，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，可得，依此可判斷得解.【詳解】，，又，，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，可知，，故選：B.

28．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數(shù)性質(zhì)知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.29．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D30．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為，故.故答案為：C.31．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出．【詳解】因為，，即，所以．故選：C.32．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．33．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故34．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可求解.【詳解】，，，，，，.故選：D.35．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】，即.故選：C.36．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當0<x<2時，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.37．（2019·全國·高考真題）已知，則A． B． C． D．【答案】B【分析】運用中間量比較，運用中間量比較【詳解】則．故選B．【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．38．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】由題意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關(guān)系，由，得，結(jié)合可得出，由，得，結(jié)合，可得出，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.【點睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.39．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別將,改寫為，，再利用單調(diào)性比較即可.【詳解】因為，，所以.故選：A.【點晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.40．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.【詳解】因為，，，所以.故選：D.【點睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應(yīng)值的范圍.比較指對冪形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當時，函數(shù)遞增；當時，函數(shù)遞減；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當時，函數(shù)遞增；當時，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.41．（2019·天津·高考真題）已知，，，則的大小關(guān)系為A． B．C． D．【答案】A【解析】利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。驹斀狻?，，，故，所以．故選A．【點睛】本題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進行比較．42．（2017·天津·高考真題）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意：，且：，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：，即.本題選擇C選項.【考點】指數(shù)、對數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性