空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示7題型分類

一、空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2)相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．2．右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．二、空間點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．三、空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作a＝(x，y，z)．四、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3五、空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a,b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).六、空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).（一）求空間點(diǎn)的坐標(biāo)(1)空間直角坐標(biāo)系有的作用:可以通過(guò)空間直角坐標(biāo)系將空間點(diǎn)、直線、平面數(shù)量化，將空間位置關(guān)系解析化;(2)空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo):x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,y,0)，z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,z)．(3)空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo):Oxy平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,0)，Oyz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,y,z)，Oxz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0,z)．(4)建立空間直角坐標(biāo)系的原則：①讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上；②充分利用幾何圖形的對(duì)稱性．(5)求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找這一點(diǎn)在坐標(biāo)軸(坐標(biāo)平面)的射影，確定坐標(biāo)軸(坐標(biāo)平面)點(diǎn)的坐標(biāo)，再找出它在另外兩個(gè)軸上的射影，確定點(diǎn)的坐標(biāo).題型1：求空間點(diǎn)的坐標(biāo)11．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并確定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可得各點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，.12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在直三棱柱中，為等腰三角形，，E、F分別是、BC的中點(diǎn)，且，，請(qǐng)建立空間直角坐標(biāo)系，并求各點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】答案見(jiàn)解析【分析】利用，取的中點(diǎn)為，即可以點(diǎn)F為原點(diǎn)，分別以射線FC?FA?為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求各點(diǎn)坐標(biāo)即可【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，以點(diǎn)F為原點(diǎn)，分別以射線FC?FA?為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由題意知，，是直角三角形，所以，又E是的中點(diǎn)，則、、、、、、、13．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為，底面ABCD為直角梯形，請(qǐng)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的概念以及坐標(biāo)表示求解.【詳解】因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥PA⊥且,所以分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為，所以，所以,則.14．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為的中點(diǎn)．請(qǐng)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)可得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可得各點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】取的中點(diǎn)，連接，為正三角形，，；在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，取的中點(diǎn)，則，又平面，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.（二）空間點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題（1）空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)：①點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b,c);②點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b,c);③點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b,c);④點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b,c);⑤點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于Oxy平面的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b,c);⑥點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于Oyz平面的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b,c);⑦點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于Ozx平面的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b,c).（2）空間點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題的兩個(gè)技巧：①空間點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題，要掌握對(duì)稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．②對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題常常采用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱，誰(shuí)保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論．題型2：求空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)21．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)即可求解.【詳解】關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，對(duì)稱點(diǎn)為.故選：C.22．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù).【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.23．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市天河中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在平面內(nèi)射影的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)射影的概念，由點(diǎn)在平面內(nèi)射影的軸方向坐標(biāo)變?yōu)?，其它方向坐?biāo)不變即可得解.【詳解】點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，即向平面作垂線，垂足為射影，故軸和軸方向的坐標(biāo)不變，軸方向坐標(biāo)變?yōu)?，故射影的坐?biāo).故選：A24．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于（

）A．原點(diǎn)對(duì)稱 B．平面xOy對(duì)稱C．平面yOz對(duì)稱 D．平面xOz對(duì)稱【答案】D【分析】由兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到兩點(diǎn)關(guān)于平面xOz對(duì)稱．【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面xOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于平面原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則根據(jù)題中所給的坐標(biāo)，可以判斷它們關(guān)于平面xOz對(duì)稱．故選：D．25．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)A，B，M，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，2，1)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，3，1)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】(5，4，1)【分析】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y，z)，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，列出方程，從而可得答案.【詳解】解：設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y，z)，因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，則有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，4，1).故答案為：(5，4，1).26．（2023春·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，則（

）A．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為C．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D．點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為【答案】C【分析】利用空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，A錯(cuò)；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，B錯(cuò)；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，C正確；點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，D錯(cuò).故選：C（三）空間向量的坐標(biāo)1、向量坐標(biāo)的求法：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)和向量OA的坐標(biāo)形式完全相同；(2)起點(diǎn)不是原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)可以通過(guò)向量的運(yùn)算求得．2、用坐標(biāo)表示空間向量的步驟：(1)觀察圖形：充分觀察圖形；(2)建坐標(biāo)系：由圖形特征建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(3)活用運(yùn)算：綜合利用空間向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算；(4)確定結(jié)果：由基向量表示出空間向量，確定坐標(biāo).題型3：空間向量的坐標(biāo)31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，分別求向量的坐標(biāo)：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】由已知點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)表示求的坐標(biāo).【詳解】（1）由題設(shè)，.（2）由題設(shè)，.32．（2023秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得.【詳解】依題意，，所以，所以.故選：D33．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求向量和的坐標(biāo)．【答案】，【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求向量和的坐標(biāo)．【詳解】由已知可得點(diǎn)，，，.因?yàn)镠是的中點(diǎn)，所以H點(diǎn)坐標(biāo)為.故，.（四）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，題型4：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算41．（2023春·全國(guó)·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得出答案.【詳解】，故選：D.42．（2023秋·北京海淀·高二人大附中?？计谥校┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則，由得即，故選：C.43．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若△頂點(diǎn)，且，，則點(diǎn)C坐標(biāo)是.【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示有、，即可求C坐標(biāo).【詳解】由，，可得：，又，同理可得：.故答案為：44．【多選】（2023春·江西宜春·高二灰埠中學(xué)校考期末）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，求解向量的加法、減法的坐標(biāo)，數(shù)量積及向量的模即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，?故正確的選項(xiàng)為ACD.故選：ACD45．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若?，點(diǎn)C在線段AB上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，即可得到方程組，解得即可求得的坐標(biāo)．【詳解】解：點(diǎn)?，為線段上一點(diǎn)，且，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則，即，解得，即；故答案為：．46．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若ABCD為平行四邊形，且已知點(diǎn)、、，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)，然后利用求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，所以，所以，所以，?故答案為：.47．（2023秋·北京西城·高二北師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知，，，若，，三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．5 C．9 D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，利用空間向量基本定理即可求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以與不共線，又，，三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以，，三向量共面，所以存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使，即，解得．故選：D.48．（2023秋·云南紅河·高二云南省瀘西縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎臻g向量，若共面，則(

)A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)共面向量，得到對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出的值即可．【詳解】若、、共面，則，即，1，，，，故，故，故選：B．49．（2023春·高二單元測(cè)試）已知向量，，，則為（

）A．10 B．－10C．12 D．－12【答案】A【分析】由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由題意，.故選：A410．（2023秋·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┮阎?，且，則m=（

）A．1 B．1 C．2 D．2【答案】A【分析】由向量坐標(biāo)的乘法運(yùn)算即可求得.【詳解】因?yàn)榍宜越獾?故選：A411．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用投影向量的定義結(jié)合已知條件直接求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以向量在向量上的投影向量為，故選：B（五）空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a,b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).注：利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫(xiě)出向量的坐標(biāo)．(3)論證、計(jì)算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算．(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為平行與垂直、夾角與距離問(wèn)題．題型5：空間向量的平行、垂直問(wèn)題51．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知m，n是實(shí)數(shù)，若點(diǎn)，在同一直線上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線列方程，化簡(jiǎn)求得，進(jìn)而求得.【詳解】，依題意，三點(diǎn)共線，所以，解得.故選：A52．（2023春·江蘇徐州·高二徐州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則與向量平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量共線定理判定即可.【詳解】,則與向量平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)為.故選:C.53．（2023春·高二單元測(cè)試）已知向量，，若，則的值可能為（

）A． B．C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的平行，列式計(jì)算，可得答案.【詳解】由題意向量，，且，故，且，解得，或，則的值為或，故選：C54．（2023春·甘肅臨夏·高二?？计谥校┮阎蛄?，，且，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量共線條件列式計(jì)算作答.【詳解】向量，，則，因?yàn)?，則，解得，所以實(shí)數(shù)k的值為.故選：C55．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，則直線與平面的交點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為，根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為，三點(diǎn)共線，，，則，解得，則.故選：D56．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，單位向量滿足，則．【答案】或【分析】設(shè)向量，其中，由，得到方程組，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)向量，其中，因?yàn)榍?，可得，即，將代入，可得或，所以向量的坐?biāo)為或.故答案為：或.57．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知四點(diǎn)坐標(biāo)，若，則；若，則．【答案】【分析】分別求出的坐標(biāo)，利用向量平行與垂直的條件，列式求解即可.【詳解】，若，則，即，得，解得；若，則，即，解得.故答案為：；.62．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，若直線上一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算列方程化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】依題意，得，設(shè)，則，所以，若，則，即，解得，即．故答案為：58．【多選】（2023春·江西·高一吉安三中?？计谀┮阎臻g向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量的長(zhǎng)度為【答案】BD【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，驗(yàn)證向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的長(zhǎng)度即可解決.【詳解】對(duì)于A，由題得，而，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄康拈L(zhǎng)度為，故D正確；故選：BD.題型6：空間向量的夾角與距離問(wèn)題61．（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）長(zhǎng)方體，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，設(shè)異面直線與所成角為，則.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.62．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量，，且，則與的夾角的余弦值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求出，再根據(jù)夾角公式求解.【詳解】，因?yàn)?，解得，?所以.故選:B.63．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出向量的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積夾角坐標(biāo)公式直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所?故選：C64．（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)已知條件及向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，再利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以，解得，而當(dāng)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：65．【多選】（2023秋·黑龍江黑河·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，若為鈍角，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】BC【分析】由為鈍角，可得且與不共線，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)則可得答案.【詳解】因?yàn)?，為鈍角，所以且與不共線，由，得，得，當(dāng)與時(shí)，令，則，得，所以當(dāng)且時(shí)，為鈍角，故選：BC66．（2023春·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的平行、垂直關(guān)系求，再根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角.【詳解】∵，∴，解得，即.又∵，注意到，則，使得，∴，解得，故.∴，∴，又，∴.故選：B.67．（2023春·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，若，則（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示列式求出，再根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和模長(zhǎng)公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，得，，所以，所?故選：C68．（2023秋·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┰O(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M、N滿足，，則.【答案】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求兩點(diǎn)間的距離.【詳解】如圖,將正四面體ABCD放在正方體中,則正方體的邊長(zhǎng)為,因?yàn)椋?所以,所以,所以.故答案為：.69．（2023春·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，若，，那么的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)已知，利用向量的減法運(yùn)算、模長(zhǎng)公式的坐標(biāo)形式以及二次函數(shù)計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以的最小值?故答案為：.610．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量，，且，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】對(duì)兩邊平方，列出方程解出．【詳解】，，．∵，∴．即，∴，∵，∴．故選：D．（六）空間兩點(diǎn)間的距離公式空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).2、利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長(zhǎng)度的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(zhǎng)．題型7：求空間兩點(diǎn)間的距離71．（2023秋·吉林白城·高二校考期中）若，，則（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【分析】先求出,再利用向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式即可【詳解】因?yàn)樗怨蔬x:A72．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，點(diǎn)在軸上且，則點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】.【分析】由題意，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，求得答案.【詳解】設(shè)，∵，∴，解得.∴點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.73．（2023春·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）已知空間直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則邊上中線的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】根據(jù)空間向量中點(diǎn)坐標(biāo)以及兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可；【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，則,故答案為：.一、單選題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與兩點(diǎn)的位置關(guān)系是（）A．關(guān)于軸對(duì)稱B．關(guān)于平面對(duì)稱C．關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D．關(guān)于平面對(duì)稱【答案】C【分析】根據(jù)空間點(diǎn)的坐標(biāo)的概念逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故A不正確；關(guān)于平面對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相反，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都相等，故B不正確；關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都是相反數(shù)，故C正確；關(guān)于平面對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相反，橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)相等，故D不正確.故選：C3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量,則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出,利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解.【詳解】∵向量,∴.故選:B.4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】．故選：D．5．（2023秋·江西上饒·高二江西省余干中學(xué)階段練習(xí)）已知向量，，，若共面，則等于（

）A． B．1 C．1或 D．1或0【答案】A【分析】根據(jù)向量共面可得，進(jìn)而可得，即得答案.【詳解】因?yàn)楣裁?，所以存在?shí)數(shù)，使，所以，∴，解得.故選：A.6．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，由，得，解得.故選：B.7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若向量、的坐標(biāo)滿足，，則等于（

）A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7【答案】B【分析】利用向量的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算即可得出．【詳解】∵，．∴．故選：B．8．（2023春·遼寧阜新·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，若，則（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示求得，再由向量的模的定義計(jì)算．【詳解】由題意，解得，即，．故選：D．9．（2023秋·廣東東莞·高二東莞市光明中學(xué)?？计谥校┮阎臻g向量，空間向量滿足且，則＝（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由空間向量共線的坐標(biāo)表示與數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】∵，且空間向量滿足，∴可設(shè)，又，∴，得．∴．故選：A．10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是所在的平面外一點(diǎn)，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間向量坐標(biāo)計(jì)算得出，，再結(jié)合空間向量平行和垂直的判定驗(yàn)證選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】依題意，有，．對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋耘c不平行，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以與不平行，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C.11．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知向量，，若，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計(jì)算出向量與的夾角為，再根據(jù)求出答案.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所?因?yàn)?，即與的方向相反，所以與的夾角為.故選：C12．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令與共線，求出的值，依題意且與不反向共線，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)?，，令與共線，則，即，即，解得，此時(shí)，，即，與反向，又與的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，即且，解得且，故選：C13．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知向量，則（）A． B．4 C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算及模長(zhǎng)公式求解即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?故選：D.二、多選題14．（2023春·甘肅臨夏·高二校考期中）已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得D．若，則【答案】ACD【分析】運(yùn)用空間向量的垂直、共線的表示及應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算、模的運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由可得，解得，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由可得，解得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由可得，解得，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.15．（2023春·江西九江·高二?？计谀┮阎蛄?，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為2 D．的最大值為4【答案】ABC【分析】根據(jù)空間向量共線定理即可判斷A；根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，若，且，，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對(duì)于B，若，則，即，解得，故B正確；，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.16．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．） D．與夾角的余弦值為【答案】BCD【分析】對(duì)于A，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解，對(duì)于B，結(jié)合向量模公式，即可求解，對(duì)于C，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解，對(duì)于D，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【詳解】因?yàn)?，且，故A不正確；因?yàn)椋?，則，故B正確；因?yàn)?，，故C正確；由于，，所以，所以D正確.故選:BCD.三、填空題17．（2023秋·北京·高二對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）?？计谥校┛臻g直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，列出方程組，求出點(diǎn)C的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故，解得：，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為.故答案為：18．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是,則．【答案】【分析】根據(jù)題意為的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是,即為的中點(diǎn),所以,解得,故.故答案為:.19．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，即，故.故答案為：20．（2023春·甘肅臨夏·高二統(tǒng)考期末）已用，，則在方向上的投影向量為．【答案】【分析】用在方向上的投影乘以與同向的單位向量可得結(jié)果.【詳解】在方向上的投影向量為.故答案為：21．（2023春·上海虹口·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點(diǎn)，，共線，則，．【答案】36【分析】利用向量平行列方程組即可求解.【詳解】由已知得：.因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線,所以.所以，解得：p=3，q=6.故答案為:3;622．（2023秋·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎?，則μ＝；若，則λ+μ＝．【答案】【分析】根據(jù)垂直得到，根據(jù)平行得到，計(jì)算得到答案.【詳解】，故；，則，即，故，解得故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的垂直平行求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.23．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)空間向量與的夾角是銳角可得且與不同向共線，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)榕c的夾角是銳角，所以，即