湖南省婁底市坪溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

湖南省婁底市坪溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若為虛數(shù)單位，則A.

B.

C.

D.參考答案：A2.已知正數(shù)、滿足，則的最小值為（

）（A）1

（B）

（C）

（D）參考答案：D3.某人研究中學(xué)生的性別與成績(jī)、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量之間的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是（

）表1表2表3表4A.成績(jī)

B.視力

C.智商

D.閱讀量參考答案：D，，，。分析判斷最大，所以選擇D。

4.函數(shù)y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：將函數(shù)y解析式第一項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域，即可得出y的最大值．解答：解：y=sin（x+）+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∵﹣1≤sin（x+θ）≤1，∴函數(shù)y的最大值為．故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．5.設(shè)f(x)等于展開(kāi)式的中間項(xiàng)，若,在區(qū)間的取值范圍是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A6.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A略7.已知函數(shù)與，若與的交點(diǎn)在直線的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像B8先求與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）和（-2，-2）．

當(dāng)x=2時(shí)，x3=8；x=-2時(shí)，x3=-8．

將y=x3的圖象向上（t＞0）或向下（t＜0）平移|t|個(gè)單位，即得函數(shù)g（x）的圖象．

若f（x）與g（x）的交點(diǎn)在直線y=x的兩側(cè)，則|t|＜6，即-6＜t＜6．【思路點(diǎn)撥】結(jié)合函數(shù)圖象，借助圖象的平移來(lái)進(jìn)行判斷．8.已知點(diǎn)在圓上，則函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B．試題分析：因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，可設(shè)，代入原函數(shù)化簡(jiǎn)為：，故函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小值．故應(yīng)選B．考點(diǎn)：二倍角公式；兩角和的余弦公式；三角函數(shù)的周期與最值．9.關(guān)于函數(shù)下列說(shuō)法正確的是(

)A．是周期函數(shù),周期為

B．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．在上最大值為

D．在上是單調(diào)遞增的參考答案：D略10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限參考答案：考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 將復(fù)數(shù)z=的分母實(shí)數(shù)化，求得z=1+i，即可求得，從而可知答案．解答： 解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣1）位于第四象限，故選D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，將復(fù)數(shù)z=的分母實(shí)數(shù)化是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=，若命題“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：（，1]【考點(diǎn)】特稱(chēng)命題．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】由x＜1時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，把命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題轉(zhuǎn)化為“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點(diǎn)（m，lnm），求出切點(diǎn)和斜率，設(shè)直線與y=x（x﹣1）2（x≤0）圖象相切于點(diǎn)（0，0），得切線斜率k=1，由圖象觀察得出k的取值范圍．【解答】解：當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，當(dāng)x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函數(shù)；當(dāng)0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，在（，1）上是增函數(shù)；畫(huà)出函數(shù)y=f（x）在R上的圖象，如圖所示；命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命題，即為任意t∈R，且t≠0時(shí)，使得f（t）＜kt恒成立；作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點(diǎn)（m，lnm），則由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；設(shè)直線與y=x（x﹣1）2（x≤0）的圖象相切于點(diǎn)（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），則有k=1，由圖象可得，當(dāng)直線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)到與y=lnx（x≥1）圖象相切，以及與y=x（x﹣1）2（x≤0）圖象相切時(shí)，直線恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范圍是（，1]．故答案為：（，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了存在性命題與全稱(chēng)性命題的互相轉(zhuǎn)化問(wèn)題以及不等式恒成立的問(wèn)題，是較難的題目．12.若多項(xiàng)式，則

．參考答案：51013.已知，，且不共線，則向量與的夾角的取值范圍為

▲

．參考答案：略14.在△ABC中，若，，，則的大小為

.參考答案：，而，故。15.函數(shù)的定義域是

.參考答案：16.已知cos=，coscos=，coscoscos=，…，根據(jù)這些結(jié)果，猜想出的一般結(jié)論是_________．參考答案：17.已知f（x）=2cos（ωx+φ）+b，對(duì)于任意x∈R，f（x+）=f（﹣x），且f（）=﹣1，則b=．參考答案：1或﹣3【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值．【分析】由知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=，由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)知，對(duì)稱(chēng)軸處取得函數(shù)的最大值或最小值，而函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）+b的最大值和最小值分別為2+b，b﹣2，由此可求實(shí)數(shù)b的值．【解答】解：∵f（x+）=f（﹣x），∴函數(shù)f（x）關(guān)于x=對(duì)稱(chēng)，∵f（）=﹣1，∴2+b=﹣1或﹣2+b=﹣1，∴b=﹣3或b=1，故答案為：﹣3或1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)的抽象表達(dá)，運(yùn)用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性解題是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某校從參加某次知識(shí)競(jìng)賽的同學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）分成6組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖中的信息，回答下列問(wèn)題．(Ⅰ)求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)本次考試的平均分；(Ⅲ)若從60名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，抽到的學(xué)生成績(jī)?cè)赱40，70）記0分，抽到的學(xué)生成績(jī)?cè)赱70，100]記1分，用X表示抽取結(jié)束后的總記分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（Ⅰ）設(shè)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，則有，可得x=0.3.所以頻率分布直方圖如圖所示：

……………4分（Ⅱ）平均分為：……6分（Ⅲ）學(xué)生成績(jī)?cè)赱40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，且X的可能取值是0，1，2．則，，=．所以X的分布列為：X012P

所以EX＝0×＋1×＋2×＝=．

……………12分19.如圖（1）是一正方體的表面展開(kāi)圖，

和

是兩條面對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)趫D（2）的正方體中將

和畫(huà)出來(lái)，并就這個(gè)正方體解決下面問(wèn)題.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：⊥平面；

（Ⅲ）求二面角

的大?。?/p>

參考答案：解：MN、PB的位置如下圖示.…………………（2分）（Ⅰ）∵ND//MB且ND=MB，∴四邊形NDBM為平行四邊形.∴MN//DB.∵BD平面PBD，MN，∴MN//平面PBD.………………（5分）（Ⅱ）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥QC.又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面AQC.∵AQ面AQC，∴AQ⊥BD.同理可得AQ⊥PB.∵BDPD=B，∴AQ⊥面PDB.…………（8分）（Ⅲ）解法1：分別取DB、MN中點(diǎn)E、F，連結(jié)PE、EF、PF.∵在正方體中，PB=PD，∴PE⊥DB.∵四邊形NDBM為矩形，∴EF⊥DB.∴∠PEF為二面角P—DB—M為平面角.∵EF⊥平面PMN，∴EF⊥PF.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則在直角三角形EFP中，∵，∴..…………（12分）解法2：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則點(diǎn)A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）.∴.∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB.∴分別為平面PDB、平面DBM的法向量.∴.∴.…………（12分）略20.(本小題滿分12分)某城市隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：API空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115

記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元），空氣質(zhì)量指數(shù)API為ω。在區(qū)間[0，100]對(duì)企業(yè)沒(méi)有造成經(jīng)濟(jì)損失；在區(qū)間對(duì)企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型（當(dāng)API為150時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元，當(dāng)API為200時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元）；當(dāng)API大于300時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元；（1）試寫(xiě)出是S(ω)的表達(dá)式：學(xué)優(yōu)（2）試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過(guò)600元的概率；（3）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？附：

非重度污染重度污染合計(jì)供暖季

非供暖季

合計(jì)

100

參考答案：（1）（2）設(shè)“在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于200元且不超過(guò)600元”為事件A……1分由，得，頻數(shù)為39，……3分……….4分（Ⅱ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：

非重度污染重度污染合計(jì)供暖季22830非供暖季63770合計(jì)8515100……………….8分K2的觀測(cè)值……….10分所以有95%的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān).……….12分21.已知a，b，c分別為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，=(sinA，1)，=(cosA，)，且//．(I)求角A的大小；(II)若a=2，b=2，求ABC的面積．參考答案：

略22.（本題滿分18分；第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分8分）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是前項(xiàng)和．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說(shuō)明理由；（3）是否存在正實(shí)數(shù)，使得數(shù)列中至少有三項(xiàng)在數(shù)列中，但中的項(xiàng)不都在數(shù)列中，若存在，求出一個(gè)可能的的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（1）對(duì)等比數(shù)列，公比．因?yàn)?，所以?/p>

…………２分解方程，

…………４分得或．因?yàn)?，所以．…………６分?）當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，中所有項(xiàng)都是中的項(xiàng)．…………8分證:由題意：均在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，說(shuō)明的第n項(xiàng)是中的第項(xiàng)．…………10分當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，