高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版第2章習(xí)題解答

教材習(xí)題同步解析習(xí)題2-11.設(shè)物體繞定軸旋轉(zhuǎn)，在時(shí)間間隔內(nèi)轉(zhuǎn)過角度，從而轉(zhuǎn)角是的函數(shù):.如果旋轉(zhuǎn)是勻速的，那么稱為該物體旋轉(zhuǎn)的角速度.如果旋轉(zhuǎn)是非勻速的，應(yīng)怎樣確定該物體在時(shí)刻的角速度？解在時(shí)間間隔內(nèi)的平均角速度.在時(shí)刻的角速度.2.當(dāng)物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時(shí)，物體就不斷冷卻.若物體的溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，應(yīng)怎樣確定該物體在時(shí)刻的冷卻速度？解在時(shí)間間隔內(nèi)平均冷卻速度.在時(shí)刻的冷卻速度:.3.設(shè)某工廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為(元)，函數(shù)稱為成本函數(shù)，成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際成本.試求（1）當(dāng)生產(chǎn)100件產(chǎn)品時(shí)的邊際成本；（2）生產(chǎn)第101件產(chǎn)品的成本，并與（1）中求得的邊際成本作比較，說明邊際成本的實(shí)際意義.解（1），(元/件)；（2）(元)，(元)，(元)，即生產(chǎn)第101件產(chǎn)品的成本為79.9元.邊際成本的實(shí)際意義是近似表達(dá)產(chǎn)量達(dá)到單位時(shí)再增加一個(gè)單位產(chǎn)品所需的成本.4.設(shè)，試按定義求QUOTE.解5.證明.證明.6.下列各題中均假定存在，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限，指出表示什么：（1）；（2），其中（3）.解（1）.（2）由于，故.（3）.以下兩題中，選擇給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論：7.設(shè),則在處的（）.(A)左、右導(dǎo)數(shù)都存在;(B)左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在;(C)左導(dǎo)數(shù)不存在，右導(dǎo)數(shù)存在;(D)左、右導(dǎo)數(shù)都不存在.解,.故該函數(shù)在處左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在,因此應(yīng)選(B).8.設(shè)可導(dǎo),,則是在處可導(dǎo)的().(A)充分必要條件;(B)充分條件但非必要條件;(C)必要條件但非充分條件;(D)既非充分條件又非必要條件.解,.當(dāng)時(shí),,反之當(dāng)時(shí)，，因此應(yīng)選(A).9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)yx4(2)(3)yx16(4);(5)(6);(7).解(1)y(x4)4x4x3(2)(3)y(x16)16x16116x06(4),.(5)(6),.(7)，.11.如果為偶函數(shù)，且存在，證明.證為偶函數(shù)，故有.因?yàn)?所以.12求曲線ysinx在具有下列橫坐標(biāo)的各點(diǎn)處切線的斜率x解因?yàn)閥cosx所以斜率分別為13.求曲線上點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.在點(diǎn)處的法線方程為，即.14求曲線yex在點(diǎn)(01)處的切線方程解yexy|x01故在(01)處的切線方程為y11(x0)即yx115在拋物線yx2上取橫坐標(biāo)為x11及x23的兩點(diǎn)作過這兩點(diǎn)的割線問該拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于這條割線？解y2x割線斜率為令2x4得x2因此拋物線yx2上點(diǎn)(24)處的切線平行于這條割線16.討論下列函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性：（1）；（2）.解（1），故在處連續(xù).又，，所以.故在處不可導(dǎo).（2）,故函數(shù)在處連續(xù).又，故函數(shù)在處可導(dǎo).17.設(shè)函數(shù).為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo),應(yīng)取什么值？解要函數(shù)在處連續(xù)，應(yīng)有，即.要使函數(shù)在處可導(dǎo)，應(yīng)有.而，.故.18.已知,求及,又是否存在？解，.由于，故不存在.19.已知,求.解，.由于，故.因此.20.證明：雙曲線上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于.證設(shè)為雙曲線上任一點(diǎn)，曲線在該點(diǎn)處的切線斜率:，切線方程為或，由此可得所構(gòu)成的三角形的面積為:.習(xí)題2-21推導(dǎo)余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式;解2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)y5x32x3ex(3)y2tanxsecx1(4)ysinxcosx(5)yx2lnx(6)y3excosx(7)(8)；(9)；(10).解(1)(2)y(5x32x3ex)15x22xln23ex(3)y(2tanxsecx1)2sec2xsecxtanxsecx(2secxtanx)(4)y(sinxcosx)(sinx)cosxsinx(cosx)cosxcosxsinx(sinx)cos2x(5)y(x2lnx)2xlnxx2x(2lnx1)(6)y(3excosx)3excosx3ex(sinx)3ex(cosxsinx)(7)(8).(9).(10).3.求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：(1)ysinxcosx求和(2)，求;(3)求f(0)和f(2)解(1)ycosxsinx(2),.(3)4.以初速v0豎直上拋的物體其上升高度s與時(shí)間t的關(guān)系是:求(1)該物體的速度v(t)(2)該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻解(1)v(t)s(t)v0gt(2)令v(t)0即v0gt0得這就是物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻5.求曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處切線方程和法線方程.解，，，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.法線方程為，即.6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；（2)；(3)；(4)yln(1x2)(5)ysin2x(6)；(7)ytan(x2)(8)；(9)y(arcsinx)2(10).解（1）.（2）.（3）.（4）（5）y2sinx(sinx)2sinxcosxsin2x（6）.（7）ysec2(x2)(x2)2xsec2(x2)（8）.（9）y（10）.7.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.解（1）.（2）（3）..（4）（5）.（6）（7）（8）（9）.8.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）（7）（8）；（9）（10）解（1）.（2）（3）.（4）.（5）（6）（7）（8）.(9)(10)9.設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)，且，試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解.10.設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.解（1）.（2）.11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yex(x22x3)(2)；(3)(4)(5)(6)；(7)；(8);(9)(10)解(1)yex(x22x3)ex(2x2)ex(x24x5)(2).(3)(4)(5)(6).(7).(8).（9）(10)*12求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)ych(shx)(2)yshxechx(3)yth(lnx)(4)ysh3xch2x(5)yth(1x2)(6)yarsh(x21)(7)yarch(e2x)(8)yarctan(thx)(9)(10)解(1)ysh(shx)(shx)sh(shx)chx(2)ychxechxshxechxshxechx(chxsh2x)(3)(4)y3sh2xchx2chxshxshxchx(3shx2)(5)(6)(7)(8)(9)(10)13.設(shè)函數(shù)和均在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，在點(diǎn)處可導(dǎo)，,在點(diǎn)處連續(xù)，試討論在點(diǎn)處的可導(dǎo)性.解由在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，則有.由在點(diǎn)處連續(xù)，則有，故.即在點(diǎn)處可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為.14.設(shè)函數(shù)滿足下列條件：（1），對(duì)一切；（2），而.試證明在上處處可導(dǎo)，且.證.習(xí)題2-31.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)ye2x1(3)yxcosx(4)；(5)(6)yln(1x2)(7)ytanx(8)(9)；(10)11)(12).解(1)，.(2)ye2x122e2x1y2e2x124e2x1(3)ycosxxsinxysinxsinxxcosx2sinxxcosx(4)，.(5)(6)(7)ysec2xy2secx(secx)2secxsecxtanx2sec2xtanx，.(10)(11)(12),.2設(shè)f(x)(x10)6f(2)?解f(x)6(x10)5f(x)30(x10)4f(x)120(x10)3f(2)120(210)32073603.設(shè)存在，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.解(1),.(2),.4.試從導(dǎo)出：(1);(2).解(1)(2).5已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為sAsint(A、是常數(shù))求物體運(yùn)動(dòng)的加速度并驗(yàn)證解就是物體運(yùn)動(dòng)的加速度8驗(yàn)證函數(shù)yC1exC2ex(C1，C2是常數(shù))滿足關(guān)系式y(tǒng)2y0解yC1exC2exyC1exC2exy2y(C1exC2ex)(C1exC2ex)09驗(yàn)證函數(shù)yexsinx滿足關(guān)系式y(tǒng)2y2y0解yexsinxexcosxex(sinxcosx)yex(sinxcosx)ex(cosxsinx)2excosxy2y2y2excosx2ex(sinxcosx)2exsinx010.求下列函數(shù)所指定的階的導(dǎo)數(shù)：(1),求；(2),求.解(1)利用萊布尼茨公式,其中..(2)設(shè),,則(k=1,2,…50)，,,(k=3,4,…50).代入萊布尼茲公式，得==.*11.求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式：（1）(都是常數(shù))；（2）；（3）；（4）.解（1），，…….(2),.(3),,.(4),.設(shè),則,故.*12.求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù).解設(shè),,則,,,.由萊布尼茨公式,得，.習(xí)題2-41.求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y22xy90(2);(3);(4)y1xey解(1)在方程兩端分別對(duì)求導(dǎo),得2yy2y2xy0所以，其中是由方程y22xy90所確定的隱函數(shù).(2)在方程兩端分別對(duì)求導(dǎo),得 , 所以,其中是由方程所確定的隱函數(shù).(3)在方程兩端分別對(duì)求導(dǎo),得,所以,其中是由方程所確定的隱函數(shù).(4)在方程兩端分別對(duì)求導(dǎo),得yeyxeyy所以，其中是由方程y1xey所確定的隱函數(shù).2.求曲線在點(diǎn)處的切線和法線方程.解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,所求切線的斜率為：.將曲線方程兩端分別對(duì)求導(dǎo),得,從而,.于是所求的切線方程為,即.法線方程為,即.3.求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):(1)x2y21(2)b2x2a2y2a2b2(3);(4).解(1)方程兩邊分別對(duì)求導(dǎo)，得2x2yy0y在上式兩邊再對(duì)求導(dǎo)，得(2)方程兩邊分別對(duì)求導(dǎo)，得2b2x2a2yy0(3)應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,得，于是，.(4)應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,得,于是,.4.用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2);(3);(4).解(1)兩邊取對(duì)數(shù)得lnyxlnxxln(1x)，兩邊分別對(duì)求導(dǎo)，得于是(2)將等式兩端取對(duì)數(shù),得.上式兩端分別對(duì)求導(dǎo)數(shù),并注意到,得,于是.(3)將等式兩端取對(duì)數(shù),得上式兩端分別對(duì)求導(dǎo),得,于是.(4)兩邊取對(duì)數(shù)得上式兩端分別對(duì)求導(dǎo),得于是5求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)解(1)(2)6已知求當(dāng)時(shí)的值解當(dāng)時(shí)7.寫出下列曲線在所給參數(shù)值相應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程和法線方程:(1),在處.解(1),.對(duì)應(yīng)點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.法線方程為,即.8.求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):(1);(2);(3);(4)設(shè)存在且不為零.解(1)(2)(3),.(4),.*9求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù):(1)(2).解(1)(2),,.10.落在平靜水面上的石頭,產(chǎn)生同心波紋.若最外一圈波半徑的增大率總是,問在末擾動(dòng)水面面積的增大率為多少?解設(shè)最外一圈波的半徑為,圓的面積.在兩端分別對(duì)求導(dǎo),得.當(dāng)時(shí),,,代入上式得圖2-2圖2-211.注水入深、上頂直徑的正圓錐形容器中,其速率為.當(dāng)水深為時(shí)，其表面上升的速率為多少？解如圖2-2所示,設(shè)在時(shí)刻容器中的水深為,水的容積為,,即,,,即.故.6185圖2-312.溶液自深、頂直徑的正圓錐形漏斗中漏入一直徑為的圓柱形筒中6185圖2-3時(shí)漏斗中盛滿了溶液.已知當(dāng)溶液在漏斗中深為時(shí),其表面下降的速率為.問此時(shí)圓柱形筒中溶液表面上升的速率為多少？解如圖2-3所示,設(shè)在時(shí)t漏斗中的水深為,圓柱形筒中水深為.建立與之間的關(guān)系:.又,即.故即.上式兩端分別對(duì)求導(dǎo),得.當(dāng)時(shí)，,此時(shí).習(xí)題2-51.已知,計(jì)算在處當(dāng)分別等于時(shí)的及.解.于是,;,;,.2設(shè)函數(shù)yf(x)的圖形如圖2-4所示試在圖(a)、(b)、(c)、(d)中分別標(biāo)出在點(diǎn)x0的dy、y及ydy并說明其正負(fù)圖圖2-4解(a)y0dy0ydy0(b)y0dy0ydy0(c)y0dy0ydy0(d)y0dy0ydy03.求下列函數(shù)的微分:(1)(2);(3)(4);(5)yx2e2x(6);(7);(8)ytan2(12x2)(9)(10)sAsin(t)(A是常數(shù))解(1)因?yàn)樗?2).(3)因?yàn)樗?4).(5)yyx(x2e2x)x(2xe2x2x2e2x)x2x(1x)e2xx.(6).(7).(8)y[tan2(12x2)]2tan(12x2)[tan(12x2)]2tan(12x2)sec2(12x2)(12x2)2tan(12x2)sec2(12x2)4xx8xtan(12x2)sec2(12x2)x(9)(10)y[Asin(t)]Acos(t)(t)Acos(t)x4將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi),使等式成立(1)()2x(2)()3xx(3)()costt(4)()sinxx(5)()(6)()e2xx(7)()(8)()sec23xx解(1)(2xC)2x(2)()3xx(3)(sintC)costt(4)()sinxx(5)(ln(1x)C)(6)d()dx(7)()(8)()sec23xx圖2-55如圖2-5圖2-5的長(zhǎng)為s跨度為2l電纜的最低點(diǎn)O與桿頂連線AB的距離為f則電纜長(zhǎng)可按下面公式計(jì)算當(dāng)f變化了f時(shí)電纜長(zhǎng)的變化約為多少？解αR圖2-66設(shè)扇形的圓心角60半徑R100cm(如圖2-6)如果R不變,減少30問扇形面積大約改變了多少？又如果不變R增加αR圖2-6解(1)扇形面積將60R100代入上式得(cm2)(2)將60R100R1代入上式得(cm2)7.計(jì)算下列三角函數(shù)值的近似值:(1).解(1)由,及取得.8計(jì)算下列反三角函數(shù)值的近似值(1)arcsin0.5002(2)arccos04995解(1)已知f(xx)f(x)f(x)x當(dāng)f(x)arcsinx時(shí)有所以3047(2)已知f(xx)f(x)f(x)x當(dāng)f(x)arccosx時(shí)有所以6029.當(dāng)較小時(shí),證明下列近似公式:(2).并計(jì)算的近似值.解(2).所以.10.計(jì)算下列各根式的近似值:(1)(2).解(1)設(shè)則當(dāng)|x|較小時(shí)有(2).*11計(jì)算球體體積時(shí)要求精確度在2%以內(nèi)問這時(shí)測(cè)量直徑D的相對(duì)誤差不能超過多少？解球的體積為因?yàn)橛?jì)算球體體積時(shí)要求精度在2%以內(nèi)所以其相對(duì)誤差不超過2%即要求所以也就是測(cè)量直徑的相對(duì)誤差不能超過*12.某工廠生產(chǎn)如圖2-7所示的扇形板,半徑,要求中心角為.產(chǎn)品檢驗(yàn)時(shí),一般用測(cè)量弦長(zhǎng)的辦法來間接測(cè)量中心角.如果測(cè)量弦長(zhǎng)時(shí)的誤差,問由此而引起的中心αlR圖αlR圖2-7解如圖2-7,由得故.當(dāng)時(shí),.將,代入上式得(弧度).總習(xí)題二1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi)(1)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)是f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)的____________條件f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)的____________條件(2)f(x)在點(diǎn)x0的左導(dǎo)數(shù)f(x0)及右導(dǎo)數(shù)f(x0)都存在且相等是f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)的_______條件(3)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)是f(x)在點(diǎn)x0可微的_________條件解(1)充分必要(2)充分必要(3)充分必要2.設(shè),則.解.3.選擇下述題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論:設(shè)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,則在處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是().(A)存在;(B)存在;(C)存在;(D)存在.解由存在,僅可知存在.故不能選(A).取,顯然,.但在處不可導(dǎo),故不能選擇(B)(C).而存在,按導(dǎo)數(shù)定義知存在,故選擇(D).4.設(shè)有一根細(xì)棒,取棒的一端作為原點(diǎn),棒上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為,于是分布在區(qū)間上細(xì)棒的質(zhì)量是的函數(shù).應(yīng)怎樣確定細(xì)棒在點(diǎn)處的線密度(對(duì)于均勻細(xì)棒來說,單位長(zhǎng)度細(xì)棒的質(zhì)量叫做這細(xì)棒的線密度)？解在區(qū)間上的平均密度為.在點(diǎn)處的線密度為：.5.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,求的導(dǎo)數(shù).解由導(dǎo)數(shù)的定義知,當(dāng),.6.求下列函數(shù)的及,又是否存在:(1);(2).解(1),.由,知.(2),.由,知不存在.7.討論函數(shù),在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解因?yàn)?所以在處連續(xù).因?yàn)椴淮嬖?故在處不可導(dǎo).8.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1);(2);(3);(4);(5).解(1).(2).(3).(4).(5)先在等式兩端分別取對(duì)數(shù),得,再在所得等式兩端分別對(duì)求導(dǎo),得,于是.9.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):(1);(2);解(1)...(2)..*10.求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù):(1);(2).解(1),,…,.(2)由知.11.設(shè)函數(shù)由方程所確定,求.解把方程兩端分別對(duì)求導(dǎo),得（1）將代入，得.再將代入(1)式得.在(1)式兩邊分別對(duì)再求導(dǎo),可得.將代入上式,得.12.求下列由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù):(1);(2).解(1),.(2)注意到，,.13.求曲線在相應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程及法線方程.解,.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.法線方程為,即.14.已知是周期為的連續(xù)函數(shù),它在的某個(gè)鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式,且在處可導(dǎo),求曲線在點(diǎn)處的切線方程.解由連續(xù),令關(guān)系式兩端,取極限得,.又.而.故.由于,于是,.因此,曲線在點(diǎn)即處的切線方程為,即.圖2-815.當(dāng)正在高度圖2-8飛機(jī)開始向機(jī)場(chǎng)跑道下降時(shí),如圖2-8所示,從飛機(jī)到機(jī)場(chǎng)的水平地面距離為.假設(shè)飛機(jī)下降的路徑為三次函數(shù)的圖形,其中,.試確定飛機(jī)的降落路徑.解建立坐標(biāo)系如圖2-8所示.根據(jù)題意,可知，.為使飛機(jī)平穩(wěn)降落,還需要滿足，.解得.故飛機(jī)的降落路徑為.16.甲船以的速率向東行駛,乙船以的速率向南行駛.在中午十二點(diǎn)整,乙船位于甲船之北處.問下午一點(diǎn)整兩船相離的速率為多少？解設(shè)從中午十二點(diǎn)整起,經(jīng)過小時(shí),甲船與乙船的距離為,故速率.當(dāng)時(shí)(即下午一點(diǎn)整)兩船相離的速率為.17.利用函數(shù)的微分代替函數(shù)的增量求的近似值.解利用,取,得.18.已知單擺的振動(dòng)周期,其中