高中數(shù)學(xué)必修二講義-專題4.3-空間直角坐標(biāo)系

一、空間直角坐標(biāo)系定義以空間中兩兩__________且相交于一點O的三條直線分別為x軸、y軸、z軸，這時就說建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中點O叫做坐標(biāo)__________，x軸、y軸、z軸叫做__________．通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做__________，分別稱為xOy平面、yOz平面、__________平面．畫法在平面上畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使∠xOy＝__________，∠yOz＝90°．圖示說明本書建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系，即在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向__________軸的正方向，食指指向__________軸的正方向，如果中指指向__________軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．二、空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)1．空間中的任意點與有序?qū)崝?shù)組之間的關(guān)系如圖所示，設(shè)點M為空間直角坐標(biāo)系中的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的__________，依次交x軸、y軸和z軸于點P、Q和R．設(shè)點P、Q和R在x軸，y軸和z軸上的坐標(biāo)分別是x、y和z，那么點M就和有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）是__________的關(guān)系，有序?qū)崝?shù)組__________叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作__________，其中x叫做點M的__________，y叫做點M的__________，z叫做點M的__________．2．空間直角坐標(biāo)系中特殊位置點的坐標(biāo)點的位置點的坐標(biāo)形式原點（0，0，0）x軸上（a，0，0）y軸上（0，b，0）z軸上（0，0，c）xOy平面上（a，b，0）yOz平面上（0，b，c）xOz平面上（a，0，c）3．空間直角坐標(biāo)系中的對稱點設(shè)點P（a，b，c）為空間直角坐標(biāo)系中的點，則對稱軸（或中心或平面）點P的對稱點坐標(biāo)原點x軸y軸（－a，b，－c）z軸xOy平面yOz平面xOz平面三、空間兩點間的距離公式如圖，設(shè)點是空間中任意兩點，且點在xOy平面上的射影分別為M，N，那么M，N的坐標(biāo)分別為．在xOy平面上，．在平面內(nèi)，過點作的垂線，垂足為H，則，所以．在中，，根據(jù)勾股定理，得____________________________．因此，空間中點P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）之間的距離是____________________________．特別地，點P(x，y，z)到坐標(biāo)原點O(0,0,0)的距離為|OP|＝．空間兩點間的距離公式可以類比平面上兩點間的距離公式，只是增加了對應(yīng)的豎坐標(biāo)的運(yùn)算．空間中點坐標(biāo)公式：設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB中點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．K知識參考答案：三、K—重點1．會建立空間直角坐標(biāo)系（右手直角坐標(biāo)系），會表示空間中的任意點；2．能在空間直角坐標(biāo)系中求出點的坐標(biāo)；3．記住空間兩點間的距離公式，并能應(yīng)用兩點間的距離公式解決一些簡單的問題．K—難點對空間直角坐標(biāo)系的理解，空間兩點間距離公式的推導(dǎo)．K—易錯易混淆平面與空間直角坐標(biāo)系．1．確定空間任一點的坐標(biāo)確定空間直角坐標(biāo)系中任一點P的坐標(biāo)的步驟是：①過P作PC⊥z軸于點C；②過P作PM⊥平面xOy于點M，過M作MA⊥x軸于點A，過M作MB⊥y軸于點B；③設(shè)P（x，y，z），則|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|．當(dāng)點A、B、C分別在x、y、z軸的正半軸上時，則x、y、z的符號為正；當(dāng)點A、B、C分別在x、y、z軸的負(fù)半軸上時，則x、y、z的符號為負(fù)；當(dāng)點A、B、C與原點重合時，則x、y、z的值均為0．空間中點的坐標(biāo)受空間直角坐標(biāo)系的制約，同一個點，在不同的空間直角坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)是不同的．【例1】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E，F(xiàn)點的坐標(biāo)．【解析】以A為坐標(biāo)原點，射線AB，AD，AA1的方向分別為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．【名師點睛】空間中點P坐標(biāo)的確定方法（1）由P點分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于點Px、Py，Pz，這三個點在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別為x，y，z，那么點P的坐標(biāo)就是(x，y，z)．（2）若題所給圖形中存在垂直于坐標(biāo)軸的平面，或點P在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上，則要充分利用這一性質(zhì)解題．【例2】如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD1|=2，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點，求點A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F(xiàn)的坐標(biāo)．【例3】如圖，在正方體中，分別是的中點，棱長為1．試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)．【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系．方法一：點在面上的射影為，豎坐標(biāo)為．所以．在面上的射影為的中點，豎坐標(biāo)為1．所以．方法二：，，，為的中點，為的中點．故點的坐標(biāo)為即，點的坐標(biāo)為，即．2．求空間對稱點的坐標(biāo)求對稱點的坐標(biāo)一般依據(jù)“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”來解決．如關(guān)于橫軸（x軸）的對稱點，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)；關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)．【例4】設(shè)點是直角坐標(biāo)系中一點，則點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為A． B．C． D．【答案】A【解析】點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為．【例5】空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為A． B．C． D．【答案】C【名師點睛】（1）求空間對稱點的規(guī)律方法空間的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論．（2）空間直角坐標(biāo)系中，任一點P(x，y，z)的幾種特殊對稱點的坐標(biāo)如下：①關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是P1（－x，－y，－z）；②關(guān)于x軸（橫軸）對稱的點的坐標(biāo)是P2（x，－y，－z）；③關(guān)于y軸（縱軸）對稱的點的坐標(biāo)是P3（－x，y，－z）；④關(guān)于z軸（豎軸）對稱的點的坐標(biāo)是P4（－x，－y，z）；⑤關(guān)于xOy坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)是P5（x，y，－z）；⑥關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)是P6（－x，y，z）；⑦關(guān)于xOz坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)是P7（x，－y，z）．（3）點關(guān)于點的對稱要用中點坐標(biāo)公式解決，即已知空間中兩點，則的中點的坐標(biāo)為．3．空間兩點間的距離公式（1）已知空間兩點間的距離求點的坐標(biāo)，是距離公式的逆應(yīng)用，可直接設(shè)出該點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解點的坐標(biāo)．（2）若求滿足某一條件的點，要先設(shè)出點的坐標(biāo)，再建立方程或方程組求解．（3）利用空間兩點間的距離公式判斷三角形的形狀時，需分別求出三邊長，得到邊長相等或者滿足勾股定理；判斷三點共線時，需分別求出任意兩點連線的長度，判斷其中兩線段長度之和等于另一條線段長度．【例6】已知點，，求：（1）線段的長度；（2）到兩點的距離相等的點的坐標(biāo)滿足的條件．【例7】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點P是正方體的體對角線D1B的中點，點Q在棱CC1上．當(dāng)2|C1Q|=|QC|時，求|PQ|．【例8】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．求證：PC⊥BF，PC⊥EF．【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四邊形ABCD是矩形，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F為PC的中點，∴PC⊥BF．∵，∴，，∴，又F為PC的中點，∴PC⊥EF．【例9】如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，M為BD′的中點，點N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，試求|MN|的長．因為|A′N|＝3|NC′|，所以N為A′C′的四等分點，從而N為O′C′的中點，故Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(3,4)a，a)).根據(jù)空間兩點間的距離公式，可得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(3a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－a))2)＝eq\f(\r(6),4)a.【名師點睛】求空間兩點間的距離時，一般使用空間兩點間的距離公式，應(yīng)用公式的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定兩點的坐標(biāo)．確定點的坐標(biāo)的方法視具體題目而定，一般說來，要轉(zhuǎn)化到平面中求解，有時也利用幾何圖形的特征，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的知識確定．4．混淆平面與空間直角坐標(biāo)系【例10】已知空間中兩點，在軸上有一點，它到兩點的距離相等，求點的坐標(biāo)．【錯解】由已知得，的中點坐標(biāo)為，且所在直線的斜率為3，故的垂直平分線的斜率為，則垂直平分線的方程為，當(dāng)時，，故點的坐標(biāo)為．【錯因分析】上面解法照搬平面解析幾何中的解題思路而出現(xiàn)錯誤．由于點到兩點的距離相等，故可求的垂直平分線．以目前所學(xué)知識只能用兩點間的距離公式求解．【正解】設(shè)點的坐標(biāo)為，則，即，解得，所以點的坐標(biāo)為．【易錯點睛】平面直角坐標(biāo)系中的性質(zhì)在空間直角坐標(biāo)系中并不能全部適用，如平面直角坐標(biāo)系中的中點公式，可類比到三維空間中，而直線方程及一些判定定理、性質(zhì)在三維空間中不一定適用．1．在空間直角坐標(biāo)系中，點P（1，2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為A．（－1，2，3） B．（1，－2，－3）C．（－1，－2，3） D．（－1，2，－3）2．在空間直角坐標(biāo)系中，點P（3，4，5）關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標(biāo)為A．（－3，4，5） B．（－3，－4，5）C．（3，－4，－5） D．（－3，4，－5）3．如圖，在正方體OABC－O1A1B1C1中，棱長為2，E是B1B上的點，且|EB|＝2|EB1|，則點E的坐標(biāo)為A．（2，2，1） B．（2，2，eq\f(2,3)）C．（2，2，eq\f(1,3)） D．（2，2，eq\f(4,3)）4．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），則對角線AC1的長為A．9 B．eq\r(29)C．5 D．2eq\r(6)5．已知點A（1，a，－5），B（2a，－7，－2）（a∈R）則|AB|的最小值是A．3eq\r(3) B．3eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)6．點（2，0，3）在空間直角坐標(biāo)系中的A．y軸上 B．xOy面上C．xOz面上 D．第一象限內(nèi)7．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P（1，eq\r(2)，eq\r(3)），過點P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標(biāo)為A．（0，eq\r(2)，0） B．（0，eq\r(2)，eq\r(3)）C．（1，0，eq\r(3)） D．（1，0，0）8．如圖所示，在長方體ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1與B1O1交于P，分別寫出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐標(biāo)．9．（1）已知A（1，2，－1），B（2，0，2），①在x軸上求一點P，使|PA|＝|PB|；②在xOz平面內(nèi)的點M到A點與到B點等距離，求M點軌跡．（2）在xOy平面內(nèi)的直線x＋y＝1上確定一點M，使它到點N（6，5，1）的距離最?。?0．在空間直角坐標(biāo)系中，一定點P到三個坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點到原點的距離是A．eq\f(\r(6),2) B．eq\r(3) C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)11．已知A點坐標(biāo)為（1，1，1），B（3，3，3），點P在x軸上，且|PA|＝|PB|，則P點坐標(biāo)為A．（6，0，0） B．（6，0，1） C．（0，0，6） D．（0，6，0）12．已知M（5，3，－2），N（1，－1，0），則點M關(guān)于點N的對稱點P的坐標(biāo)為________．13．在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A的坐標(biāo)為（3，－1，2），其中心M的坐標(biāo)為（0，1，2），則該正方體的棱長等于________．14．如圖所示，正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，點M在AC上移動，點N在BF上移動．若|CM|＝|BN|＝a（0<a<eq\r(2)）．（1）求MN的長度；（2）當(dāng)a為何值時，MN的長度最短？15．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M在線段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是線段D1M的中點，求點M，N的坐標(biāo)．16．如圖所示，V-ABCD是正棱錐，O為底面中心，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，試分別寫出各個頂點的坐標(biāo)．17．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，以正方體的三條棱所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．（1）若點P在線段BD1上，且滿足3|BP|＝|BD1|，試寫出點P的坐標(biāo)，并寫出P關(guān)于y軸的對稱點P′的坐標(biāo)；（2）在線段C1D上找一點M，使點M到點P的距離最小，求出點M的坐標(biāo)．18．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長都為2，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，建立適當(dāng)坐標(biāo)系寫出各頂點的坐標(biāo)．19．（2017?上海）如圖，以長方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點D為坐標(biāo)原點，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為（4，3，2），則的坐標(biāo)是__________．12345671011BADBBCBAA1．【答案】B【解析】關(guān)于x軸對稱，橫坐標(biāo)不變．故選B．2．【答案】A【解析】關(guān)于yOz平面對稱，y，z不變．故選A．3．【答案】D4．【答案】B【解析】由已知求得C1（0，2，3），∴|AC1|＝eq\r(29)．故選B．5．【答案】B【解析】|AB|2＝（2a－1）2＋（－7－a）2＋（－2＋5）2＝5a2＋10a＋59＝5（a＋1）2＋54．∴a＝－1時，|AB|2的最小值為54．∴|AB|min＝eq\r(54)＝3eq\r(6)．故選B．6．【答案】C【解析】因為該點的y坐標(biāo)為0，根據(jù)坐標(biāo)平面上點的特點可知該點在xOz面上．故選C．7．【答案】B【解析】平面yOz內(nèi)點的橫坐標(biāo)為0．故選B．8．【答案】詳見解析．9．【答案】（1）①P（1，0，0）；②M點的軌跡是xOz平面內(nèi)的一條直線，其方程為x＋3z－1＝0；（2）M（1，0，0）．【解析】（1）①設(shè)P（a，0，0），則由已知得＝，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以P點坐標(biāo)為（1，0，0）．②設(shè)M（x，0，z），則有＝，整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0．故M點的軌跡是xOz平面內(nèi)的一條直線．（2）由已知，可設(shè)M（x，1－x，0），則|MN|＝＝．所以當(dāng)x＝1時，|MN|min＝eq\r(51)，此時點M（1，0，0）．10．【答案】A【解析】設(shè)P（x，y，z），由題意可知，∴x2＋y2＋z2＝eq\f(3,2)．∴＝eq\f(\r(6),2)．故選A．11．【答案】A【解析】設(shè)P（x，0，0），|PA|＝，|PB|＝，由|PA|＝|PB|，得x＝6．故選A．12．【答案】（－3，－5，2）13．【答案】eq\f(2\r(39),3)【解析】設(shè)正方體的棱長為a，由|AM|＝eq\r(9＋4＋0)＝eq\r(13)可知，正方體的體對角線長為eq\r(3)a＝2eq\r(13)，故a＝eq\f(2\r(13),\r(3))＝eq\f(2\r(39),3)．14．【答案】（1）；（2）當(dāng)a＝eq\f(\r(2),2)時，MN的長度最短．【解析】因為平面ABCD⊥平面ABEF，且交線為AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE兩兩垂直．取B為坐標(biāo)原點，過BA，BE，BC的直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．因為|BC|＝1，|CM|＝a，點M在坐標(biāo)平面xBz內(nèi)且在正方形ABCD的對角線上，所以點M（eq\f(\r(2),2)a，0，1－eq\f(\r(2),2)a）．因為點N在坐標(biāo)平面xBy內(nèi)且在正方形ABEF的對角線上，|BN|＝a，所以點N（eq\f(\r(2),2)a，eq\f(\r(2),2)a，0）．（1）由空間兩點間的距離公式，得|MN|＝＝，即MN的長度為．（2）由（1），得|MN|＝＝．當(dāng)a＝eq\f(\r(2),2)（滿足0<a<eq\r(2)）時，取得最小值，即MN的長度最短，最短為eq\f(\r(2),2)．15．【答案】Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，\f(2,3)))；Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,2)，\f(5,6)))．16．【答案】V（0，0，3），A（－1，－1，0），B（1，－1，0），C（1，1，0），D（－1，1，0）．【解析】∵底面是邊長為2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1．∵O點是坐標(biāo)原點，∴C（1，1，0），同樣的方法可以確定