2023年四川省成都市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2023年四川省成都市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考

真題（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

1.

設(shè)A和B為”階方陣.則必有()

A.|A+B|=|A|+|B|BAB=BA

C.|AB|=|BAID.(A+3)T=A~l+5

2.

若Jdx=2?則為=

A.OB.yC.1D.2

3.

.設(shè)D=((i，y)I14+/44..T20?y>0｝，貝lj二重積分“Iclrdy=()

A.167rB.8旅

C.4：rD.37t

4.

.r<0.

設(shè)函數(shù)八/）=:1..r=0.則下列結(jié)論正確的是（）

2+3.r..r>0,

A.=1B.limy(j-)=2

=3D.lim/Cj,)不存在

5.

/a+1,1》o■

.曲線/Q、)=在點(diǎn)(0.1)處的切線斜率是()

11+simr.i<0,

A.OB.1C.2D.3

6.

，設(shè)y=/+3]+log3jr+3,則dy()

A.嚴(yán)+3—5嚴(yán)

C.嚴(yán)+3ln3+++3戶r

D.”+3ln3H—T—T\dx

j?ln3)

7.

離散型隨機(jī)變量X的分布律為P(X=Q=加:綾=1,2,3,1).則a=C)

A.0.1B.0.05C.0.2D.0.25，

8.

已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)C與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系為c(x)=0.2x2+10X+2000,當(dāng)

產(chǎn)量為x=10時(shí)，其邊際成本是()

A.-14B.14C.-20D.20

9.

OO

.幕級(jí)數(shù)+的收斂區(qū)間為()

n=l

A.(0.1)B.(—8,+8)

C(-UI)D.(-1,0)

10.

下列函數(shù)在給定區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件的有()

1—/

A.y=匕'篡，[-1*1]B.?=7―’?[-1,1]

1+x

C.y=-j—?—,[—1,1]D.y=In/，[—1,1]

1十x

11.

曲線y=3-24/+6工的凸區(qū)間為“二()

A.(-2,2)B.(—QO,0)C.(0,+oo)D.(一笈，+R)

12.

,拉氏積分變換匚"中S是()

A.實(shí)數(shù)B.復(fù)藪C.有理數(shù)D.正整數(shù)

13.

(2丫~

lim1—=()

A.e-2B.e2C.2eD.—2c

14.

下列極限存在的是()

A.limB,丹Z

■?3"J1'"12-1

+2

C.lim—D.lim/-

*-ox「8YJC

15.

已知函數(shù)f(JC)=.1,則./[/(：')

A.xB.xz

16.

設(shè)在閉區(qū)間[a，口上，/(2>0，/'(1)>0,/〃1)<0,令5]=『/(i)&r,S2=f(a)(b

)

~a).S3=力上則必有

A.S}<S2<S3B.S2<S,<S3

C.S3VSVS2D.S2<S3<SI

17.

下列極限存在的是)

A.lim'tI！吧一

*-00dB,2,1

C.lim—叼巴產(chǎn)產(chǎn)

-f-0J:

18.

設(shè)==_：一也.則E=)

A.1B.一1c5

-f2

19.

設(shè)/(z)在7=2處可導(dǎo)，且，(2)=1,則lim八2+2外1/(2一.

1。力

A.1B.2C.3D.4

20.

當(dāng)了=1時(shí)，函數(shù)》=—2*+g達(dá)到極值，則/>=()

|Ctrl+Alt|

A.0B.1C.2D.-1

21.

(v=sin/.

曲線丁"為參數(shù))在/=號(hào)對(duì)應(yīng)點(diǎn)處切線的方程為

.r=2cosZ

A.1=1B._y=1C.y=①+1D.y=i-1

22.

導(dǎo)數(shù)arcsinrdr=)

Q-TJd

A.arcsiru?B.0

C.arcsinft-arcsina

23.

r&T

J/_4]+3()

a—3T—1

A.9ln+CB.In--g+C

j—1x—3

C.In(x—3)—ln(.r-1)+CD.ln(.r—1)—ln(J—3)+C

24.

若F%）二危）冽下夕峰或中，正確的一個(gè)是)

_/(2)di]'=/(2)

A.」

d[f(z)cLr]=/(1)

B.2

e

F/(JC)CIJT=/(JT)

c.

f*

d[/(Jr)CIJC]=/(JT)+C

D.J

25.

UU8

若=S,則一2.1Hq)=()

號(hào)-i

A.2S-a,B.2a,-SC.S-2aID.S+2al

26.

設(shè)上f0時(shí)，e—"-e，與工"是同階無窮小.則”為()

A.5B.4C.yD.2

27.

微分方程y〃-y=e”的一個(gè)特解形式(a,b為常數(shù))為()

A.aex+bB.axe1C.ax2exD.(a+bx)ex

28.

/（了）在（-8,+8）上有定義，下列是偶函數(shù)的是（）

A./(),)—/(—uT)B.一/(一

C.:r/(x)D.xf(J2)

29.

設(shè)級(jí)數(shù)?，”收斂,則下列級(jí)數(shù)一定收斂的是（〉

A.2|??IB.2(“”41)

?J-]w-I

C.2；(-D.2(M2JI_L?ultt}

V-In-1

30.

曲線y=的水平及垂直漸近線共有

工1—-一5yH十二6：

A.1條B.2條C.3條D.4條

二、填空題（20題）

31.

設(shè)一平面經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)（6.—3.2）且與平面4.r—y+2z=8垂直，則此平面

方程^

設(shè)函數(shù)y=l+xe，，dy=

32.'

33.

從一副52張的撲克牌中任意抽取5張?其中沒有K字牌的概率為

—（只寫算式）

若極限lim-^—=3.則常數(shù)4=

34.—--1

曲線)=上士r的水平漸近線為

35.］-e-'

交換積分次序￡dx匕/(x,y)dy+J：dxj：/(x,y)dy

36.=

37.

1.X>0,

設(shè)隨機(jī)變量x在區(qū)間［-i,2］上服從均勻分布，隨機(jī)變量y=-0,x=o,則期望

一1,XV。，

E(Y)=

co

幕級(jí)數(shù)的收斂半徑R=_

38.”=0〃-3

39.

經(jīng)過點(diǎn)(2,一5,1)且與平面工一4y+2z-3=0垂直的直線方程為

40.

已知函數(shù)f(w)=x—1,則/(J)的反函數(shù)是衛(wèi)=

41設(shè)f（1）=、/"（1—1）（①一2）（①一3）（①一4）.則/'（4）=

lim（1+3才尸=

42.

『廿"杰="——

43.

已知級(jí)數(shù)的部分和Sn=則u=

44.?-=?1n

已知xe*為/(x)的一個(gè)原函數(shù)，則(#'(X版_

微分方程/smx-ycosx=0滿足初始條件y\x_n=2的特解是

46.2

1?1一2cosi

11II1-------------------------

7T

47.

48.

以加=e，sinx,”=e，cosz為特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為

OO

幕級(jí)數(shù)?(2〃+1)方的收斂域?yàn)?/p>

49.

設(shè)則辦『=

50.

三、計(jì)算題(15題)

lim(1——

51.

求微分方程y'+±=4M的通解.

52./

求不定積分］7二-也.

53.J』

計(jì)算函數(shù)/Cr）=才+27的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

54.h-

判斷級(jí)數(shù)X（”十iMlan費(fèi)的斂放性.

?-13

55.

a1V0,

設(shè)函數(shù)f9=J2,

1=0,

56.%,.2,w>0.

<1）求/W（—2）?；

（2）求/（2r）；

（3）討論a-0時(shí)，/Q）的極限是否存在？

（/）+.產(chǎn)，，求/"（?矛）.

.設(shè)/Q)=

57.

58.

計(jì)算曲線積分L（/-2zy）d#+—2中）打,其中L是拋物線y=犬上從點(diǎn)（-1,1）

到點(diǎn)（1,1）的一段弧.

求函數(shù)/(⑴=/一的單調(diào)區(qū)間.

59.I

6。求極限岬FA2

：(1-cost)dt

求極限lim

3

61.x

62計(jì)算定積分￡聲小：.

求曲線y=arctanx-x的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

63.

判定級(jí)咚EI市的斂散性.

64.

求Jj(2.r+y)d(7.其中區(qū)域D由直線y=i.y=2i,y=2圍成.

65.D

四、證明題(10題)

證明不等式：當(dāng)時(shí)＞2工

66.-

67.

設(shè)/(力在［1,2］上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且，(D=；,/(2)=2,證明存在

4

火（1,2）,使得re）=絲身.

68.

21.設(shè)函數(shù)/（.I）在［0,1］上可微，當(dāng)04工《1時(shí)0V人］）VI且/'（Z）聲1.證明有且

僅有一點(diǎn)1W（0,1）,使得/（J-）=

69.

證明：若/（了）?四（.「）在［“》］上連續(xù).在（”./，）內(nèi)可導(dǎo),且/（a）—/（.!!）~0-0,

則至少存一點(diǎn)se（a.6）.使/'〈$）*（￡）+2/（?八4）=0.

證明：當(dāng)ov1時(shí).（］-2）］n（l-M）>2x.

70.

71.

設(shè)函數(shù)/（x）在口，3］上連續(xù)，在（1,3）內(nèi)可導(dǎo)，且八3）=（）,證明：至少存在一點(diǎn)

￡G（1，3）,使占'（切I成+/（￡）=0.

設(shè)e<a<6<e?,證明In2/?—lira>3（b-a）.

72.e-

73.

設(shè)/（i）在區(qū)間［a,6］上連續(xù)，在（a,/））上可導(dǎo)，且/（a）=/（/?）=0.

證明：至少一點(diǎn)SG（。?力使/'（G+2〃（0=0.

證明方程/-2/+工+1=0在（-1.1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

74.

75.

證明不等式:￡<ln(l+7),其中父〉0.

1十7

五、應(yīng)用題(10題)

求y=M±(2.4)處切線與y=一12+4%+1所圍圖形面積.

76.

77.

欲做一個(gè)容積為Vn?的無蓋圓柱形雕桶，底用鋁制網(wǎng)壁用械制，已知每平方米

鋁價(jià)是械價(jià)的5倍洞怎樣做才能使費(fèi)用最少.

78.

某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價(jià)分別為10元與9元.生產(chǎn)1單位的產(chǎn)品甲與生

產(chǎn)y單位的產(chǎn)品乙的總費(fèi)用是400+2.r+3y+0.01(3.?2+2，+3y?).

求取得最大利潤(rùn)時(shí).兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？

79.

過點(diǎn)M(3,0)作曲線》=ln(2—3)的切線，該切線與此曲線及/軸圍成一平面圖形D.

試求平面圖形D繞，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

平面圖形。由曲線3,=右,直線》=工一2及工軸所圍成.

(1)求此平面圖形的面積；

℃(2)求此平面圖形繞7軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

O(J.

81.

現(xiàn)有邊長(zhǎng)為96厘米的正方形紙板，將其四角各剪去一個(gè)大小相同的小正方形.折做成

無蓋紙箱.問剪區(qū)的小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)做成的無蓋紙箱的容積最大？

Q,某產(chǎn)品總成本C為月產(chǎn)量］的函數(shù)：

oZ.

C（x）=0.25/+6才+100（元）.

產(chǎn)品銷量?jī)r(jià)格為力?需求函數(shù)為j=工（力）=100—2P.

（1）求當(dāng)①=10時(shí)的總成本和邊際成本。

（2）求總收入函數(shù)，當(dāng)價(jià)格p為多少時(shí)總收入最大？最大收入是多少？

83.

求由直線，=1，I=e,y=0及曲線v=-所圍成平面圖形的面積.

X

84.

設(shè)平面圖形D由曲線》=-和直線y=才,1=2及.r軸圍成.求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）這圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

85.

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當(dāng)月租金定為2000元時(shí).公寓會(huì)全部租出去，當(dāng)月

租金每增加100元時(shí),就會(huì)多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修

費(fèi)，試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

六、綜合題（2題）

86.

設(shè)函數(shù)/(N).g(r)在閉區(qū)間［-a?a］(a>0)上連續(xù),gGr)為偶函數(shù),且函數(shù)/I)滿

足條件/<x)I/(一工)=A,(A為常數(shù))

(1)證明J/(1"(jJcLr=g(a)d4

J-aJo

(2)利用(1)的結(jié)論計(jì)算[*Isirrr|arctane'cLr,

設(shè)函數(shù)f(x)=在點(diǎn)Z=1處取得極值一J.試求:

(x+1)4

(1)常數(shù)a，b的值；

(2)曲線,y=/Q)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)；

(3)曲線y=/(/)的水平和垂直漸近線.

87.

參考答案

L答案」。

ic【精析】由矩陣和行列式的性質(zhì)，可知應(yīng)選C.

2.B

［答案］B

【精析】積分值存在，則一定有Q0,故『e士業(yè)=一%，:=0-(一生)=2,

所以A=y.

3.D

由二重積分的性質(zhì)可知「cLzdy=4「tLrdy=4S/>,So為D的面積.S0=

rQ

H,2—?1D=%?故4cLrdv=4?.7：

u一4

4.B

【精析】limf(析=lim(1+2)=2,lim/(x)=lim(2+3x)=2?于是lim/(J)-

.r-<J-x-O-x-l>+.r-<l+.，-H

lim/'(x)=2?所以lim/Cr)=2,故應(yīng)選B.

5.B

［答案］B

【精析】工、>0時(shí)，lim//(/)=1,當(dāng)wV0時(shí)】im/'(1)=limcosJ-=1故/(0)=1,

彳-*0+j-*。jr-?O

應(yīng)選B.

6.D

32

【精析】dy=d(.r+3*+log3x+3)=3xd.r+3*ln3d.r+=

(3合+3，ln3+七)d￡故應(yīng)選D.

7.A

【精析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)知￡成=1,即2a+3a+4a=1,故

*=1

d=0.1.

B

【評(píng)注】邊際成本是總成本的導(dǎo)數(shù).

X.B-

9.C

［答案1C

【精析】lim馬-=lim。=1,故收斂半徑K=1.收斂區(qū)間為(一1」).

U-］n-*ooflI-乙

10.A

【精析】B選項(xiàng)中y(-l)不等于y(l),C選項(xiàng)中~(一1)不存在,y(1)#?(-1),D選

項(xiàng)中函數(shù)在1=。處不連續(xù)，A選項(xiàng)中，函數(shù)在［—1,1］連續(xù)，在(一1,1)可導(dǎo),y(—1)=

y(l),符合羅爾定理?xiàng)l件，故應(yīng)選A.

11.A

12.B

【精析】由拉氏積分變換的過程可知S是復(fù)數(shù)，故應(yīng)選B.

13.A

JL+4

A項(xiàng)Jim"勺1=lim—■―產(chǎn)―=0,極限存在;

J-OO①J-OO1

14.A

B項(xiàng)，lim不」--=8,極限不存在；

C項(xiàng).lim—=8.極限不存在；

x-0J"

D項(xiàng)，limJ'+-=limJJC+—=8,極限不存在.

JTV/X?€?yuT

15.C

【精析】因?yàn)樾?=工，則/(；)=｝，所以/[/(：)]=/(,)=+，故選C.

[答案1D

【精析】由題可知/(.r)的圖形是一條單調(diào)遞增.向上

凸且在w軸上方的曲線，如圖所示.

&表示曲邊梯形ABba的面積;S2表示以f(a)為高的

矩形ACba的面積；

S3表示梯形ABba的面積；

16.D由圖可知S2Vs3VS].

工+4

A項(xiàng)Jim"[?=lim—■―產(chǎn)―=0,極限存在;

-r-oo①X-OQ1

17.A

B項(xiàng)，物占8,極限不存在;

C項(xiàng),物§=8,極限不存在;

D項(xiàng)Jim'+，=lim./JT4--=8,極限不存在.

￥?ooV1Tx-ooy1T

［答案］c

【精析】------1----------3-i---

i1-i

3i(l+i)

i(—i)(1—i)(1+i)

31.

———1

22

所以Ei2=(i3

18.CI)2'

19.C

20.B

【精析】因在工=1處達(dá)到極值，且N是可導(dǎo)函數(shù),故丁|g=0,即（21-2/＞）1,7=

2—2》=0,所以p=1,故選B.

21.B

［答案1B

【精析】由于半=dv=

d7

一

d.r

d7

倍

切線方程為y=1.民

22.B

［答案］B

【精析】因?yàn)槎ǚe分「arcsinfdr的值為常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0,所以《「arcsinrdr=0.

JadjCJa

故選B.

23.A

drdr__1_11

【精析】由已知條件得,cLz'=

才2一4才+3(1一3)(7一1)2①一3x-1

3—3

1ln+U應(yīng)選A.

1一1

24.A

【精析】d］/⑴d/］二/⑴ir做選項(xiàng)B和選項(xiàng)D麻桶;P（址二FCr）+&

IV

雌孤牌

25.B

［答案］B

*?

【精析】若、/=S,則=（a“一2aH1）=S-2（S—a/=2al—S,故選B.

?—i*?-i

26.A

［答案1A

【精析】因?yàn)閑z*1］,當(dāng)上->0時(shí)"1?Xcos，1）

?才（一1■）?由于e"0",-e"■與z"同階無窮小，所以n=5,故選A.

27.B

B

【評(píng)注】非齊次線性微分方程的特解形式，特征方程戶-1=0,得1是其一階特征根.

28.B

［答案LIB

【精析】把一.r代人B項(xiàng)中./（一.r）十/（.r）=/&）+/（r）,故B項(xiàng)中的函數(shù)為偶

函數(shù).A項(xiàng)、D項(xiàng)應(yīng)為奇函數(shù),C項(xiàng)不確定.

29.D

［答案口D

【精析】級(jí)數(shù)〉2?Dk不一定收斂,可以舉例說明,如令"“=（-1）-1;

”—I/J—I'

lim（??+1）=1聲0.級(jí)數(shù)￡（”“十1）一定發(fā)散.￡（“1十叱“）就是收斂級(jí)數(shù)￡；〃“

'??—］?（=I"=］

相鄰兩項(xiàng)加括號(hào)后的級(jí)數(shù),由收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)知如I+〃”）收斂.故應(yīng)選D.

30.C

【精析】因?yàn)閥=/(x)=當(dāng);—1)---京J---言Jim/(7)=1,從而y=1

JT—51-6(1—2)(7—3)lb

是水平新近線；=ooJim/(jr)=8,從而x=2,/=3是垂直漸近線；故該曲

L23

線共有3條漸近線.

31.

21+2》，-3z=0.

【精析】設(shè)所求平面為〃.由題設(shè)得：

向量(6,—3,2)//〃，向量(4.一1,2)//〃，

則n0=(4.-1.2)X(6,-3,2)為平面〃的一個(gè)法向量.即

iJk

n()=4—12=4i+4j—6A.

6-32

由于平面〃過原點(diǎn)?得平面〃的點(diǎn)法式方程為

2(.r—0)4-2(j—0)—3(z—0)=0.

即得平面II的方程為2.r+2y—3z=0.

32.

上dx

1-疣,

上dx

1-xe'

解析：考查隱函數(shù)求微分，設(shè)廠G，y)=l+xe>'-y,?=-烏

dxFyl-xez

33.

Cis

cl?

［答案12

J

【精析】一共有（亮種抽牌方式?其中不含K的抽牌方式有C"種.

所以任抽5張不含K的概率為〃=余.

34.

、【精析】limfnf----=lim9=2。=3?因此&=春.

A-。、■'1十工一1fJLj.2

22

35.

V=1

［答案［j'=1

【精析】因?yàn)閘im1+」：=1,所以），=1為曲線的水平漸近線.

J-1—er

36.

￡嵋，（"）改

【評(píng)注】由二次積分得到積分區(qū)域2：-44丁4石，O<X<1.

D2-.x-2^y<4^，14x44.將其改寫為適合先x后y的積分區(qū)域得

D-.y2^x^y+2.-l<y<2,由此得到交換積分次序后的結(jié)果為二曲。?/?、）改.

37.

T

匚答案］y

【精析】由于X在［-1,2］上服從均勻分布，故P（：X>0}=4，P{X<0^=4，

OM

9

P［Y=1}=P［X>0］=y.

P[Y=0>=P{X=0}=0,

P{Y---1)=P{X<0}=1

故E(Y)=1.A+(-i).1=1

OiJ

38.

3

3

【評(píng)注】因?yàn)?/p>

39.

x-2_y-j-5_z—1

~r~==~r~

【精析】直線的方向向量為S=(1,-4.2),又直線過點(diǎn)(2,—5,1),

所以直線的對(duì)稱式方程為一="畢=用」.

1—4L

40.

w+1

【精析】由》=2-1，得r=?+1，交換的位置，得反函數(shù)為y=才+1.

41.

4!

［答案］4;

【精析】In/(a)=In+ln(a*—1)+ln(r—2)+ln(i—3)+-4)?

/'⑺=1?1?1?1?1

f(x)①JC-1JC-2①一3x-4*

/'(①)=/-H-----rH--------H---------------------r\f(.r)

\JCx—11-2jc-3a—4)

=^^+^4+^^+^1+.屋2—1)(1一2)(7一3).

X1一1X-LJC-3

即/(4)=0+0+0+0+4?3?2?1=4!.

42.

［答案］eK

【精析】linMl+S.r)7^=lim(l+3j*)r'^"

./-15.7?d

LJ_-.h-?

6=lim(1+3T)4,=eb.

e.H

43.

xeX1<xe

e解：fcr^=J0xeT，dx=e.

44.

3n2-3〃+1

45.

x2ex+C

x2cx+C

【評(píng)注】jxfr(x)dx=jxd/(x)=xf(x)-jf(x^bc=xf(x)-xex+C,

/(x)=(xex)'=(x+lV代入上式可得.

46.

y=2sinx

y=2sinx

【評(píng)注】/sinx=^cosx務(wù)inxrcosx，

蟲=變些dx，兩邊同時(shí)積分得lny=lnsinx+lnC,由y,=2得，C=2,于是

ysinx形

由少=。5也%，得到y(tǒng)=2sinx.

47.

2X喙

lim1"2=2sin.r

【精析】lim—=A

48.

yf-2y+2v=0

【精析】由題設(shè)知，其特征根為入2=1士i，

從而有（「一1）2=―1,即產(chǎn)—2r+2=0.

所以微分方程為/-2.，+23=0.

49.

（-1.1）

【精析】P-lim1.收斂半徑R,一1.故幕級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為

Cln*8cnj1p

eo

（—1.1）.又當(dāng).r——1時(shí).哥級(jí)數(shù)為、（一1）"（2〃I1）.發(fā)散；當(dāng)/—1時(shí).基級(jí)數(shù)為

"=1

一（2〃\1）?發(fā)散,故丁級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋ㄒ??1）.

n=1

50.

dx

1—V

，所以，1-0

==1,則AyIz=o=di.

yo+77(1+0)2

51.

,2、3j

/1----\=lime-6

lim1Jjr-*oo(中)

52.

【精析】方程為-階線性微分方程.其通解為

--dr

V:exL135，

4./*nC]

=—4.2'd.r'CJ

才

=—i/(r為任意常數(shù)).

53.

.f,fd(l+e‘)

原式=1^^~Jdl-J1+e'=x—ln(1+ex)+C.

54.

【精析】函數(shù)定義域?yàn)椋ㄒ?,—DU（-1.DU。，+3），

,(、=(4?-8z)二1尸一2(M—-472—D=41(工2+3)

J)(./一A(f—A，

令/(X)=0,得工=0,當(dāng)工＞1或一IVhVO時(shí),，(公＞0,

當(dāng)OVhVI或iV—1時(shí)，，O)＜0,

所以函數(shù)/(r)的凹區(qū)間為(一1,03(1,+8八凸區(qū)間為(0,1),(—co,-1).拐點(diǎn)為

(0,0).

55.

(?+2)-tan—y

【精析】因?yàn)閘im殳口=lim—=lim署弗J?芝1=/VI,所以由

一??―32L-8(n+l”式3

(n+1)lanF

比值審斂法知原級(jí)數(shù)收斂.

56.

【精析】==/L/(O)J=/(2)=4；

0.2t<00.t<0.

(2)/(2/)=,2.2t=0=；2.r=0.

4/2.2/>04/2.z>0；

(3)lim/(J)=limO=0,

lim/(j,)=lim.r2=0.

?。+if。十

則lim/(1)=lini/(j-)=0.所以/(.r)在.r=0處的極限存在限limfCr)=0.

LrL。十

57.

1

【精析】因?yàn)榘?)=(?)+.=c-w4-.

所以/'(a，)=-e~jltL,(1+Inj)+2件"(1+Ini)

=(1+ln.r)2JC2JI—(-

58.

【精析】如右圖，y=M.dy=2idm：—1-1?

則有

J(z，-2H3)djr+(/-2xy)dy

=j：[(/-2/3)+(x4-2zD2為心

24

=2j(x—4x)djr=--10Ix

Jo15

59.

【精析】函數(shù)八］）=T^—的定義域是（一8,-1）U（一1,二8）

1十%

21(1+r)―—=4(2T7)

f(x)=

(1+H.)（1+工產(chǎn)

令人》=酷會(huì)>。.解得”>°或工〈一2.

同理令/（了）<0,得一2Vl<0.彳力一1,

所以函數(shù)八］）=言G在區(qū)間（-8.—2）U（0.+8）上單調(diào)遞增,

在區(qū)間（-2.-1）U<-1.0）上單調(diào)遞減.

60.

1--!—

x—ln(1I,r)\_

【精析】原式=Umlim-----------—lim

x-*0JC2l。Z.rx-*n2.r(1I.r)7

61.

解：lim處罩&=lim匕竿=lin^；=L

Ex3E3X2x-?°3X26

62.

【精析】\!Zi—x2dj-V1-0-1)2(10—1)--------------

J0

令t=sinA(0

.cos/i?cos/id/i

=-yjr(1十cos2/i)d/z

1

:<1力十cos2/zd(2/i)

2

0

f+Tsin2/iT

63.

解：n：(-a>,+oo).y"=——/(0)=0>當(dāng)x<0時(shí)，黃>0曲線在(-8,0]

(1+")

上凹.當(dāng)x>0時(shí)，N“<0曲線在（-8,0］上凸.拐點(diǎn)為（0,0）.

64.

【精析】因?yàn)椤囱?/，而級(jí)數(shù)Z*是P=2的H級(jí)數(shù).由比較判

卜1產(chǎn)

別法知，所給級(jí)數(shù)是收斂的.

65.

1精析】由題意可知，如圖所示，積分區(qū)域D為。&y&2號(hào)&

工43,則

66.

【證明】構(gòu)造函數(shù)/(.r)=*7—27.在Lii8)上連續(xù)?/(/)=2e?i—2.

當(dāng)z>4時(shí)./(.r)>0/(])在(J.T工)上單調(diào)增加.

即戶.r)〉/(《)=0.即當(dāng)/>J時(shí).e”T>2工

67.

【評(píng)注】證明：構(gòu)造函數(shù)F(x)=卒，則尸(x)在［1,2］上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且

廣⑴;尸⑵二；.由羅爾定理，在(1,2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)4，使尸'⑷=0，即

八必；2夕OR,0；./W2-2^)=0,即/?=誓?

尸4

68.

【精析】令F(H)=/(工)一工，則由題意得FU)在［0,1］上可微.

因?yàn)楫?dāng)0W工V1時(shí)ov/(J)<I.

所以F(0)=/(0)>O.F(1)=<0,

由零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)/€(0.1).使得F(.r)=0,即/(X)=工

又因?yàn)楫?dāng)0&H&1時(shí)，/(工)#1.

所以F'Q>=-1X0.

假設(shè)存在另外一點(diǎn)v6使得f(y')=y,則F(y)=f(.y)-y=0.

當(dāng)2時(shí)，由羅爾中值定理得存在一點(diǎn)=W(y,H)，使得F'(z')=0,與F'Cz)#

0矛盾.

同理可證當(dāng)丁V)，時(shí)也不成立.

綜上可得，有且僅有一點(diǎn)he(o,i),使得八工)=X.

69.

【證明】設(shè)F(.r)=/(.r)?/

因?yàn)榫冢邸?〃］上連續(xù).在(”?〃》內(nèi)可導(dǎo)，

所以F(.r)在「”,〃：|上連續(xù),在(”./八內(nèi)可導(dǎo).

乂f(a)—f(,b)=0,則F(?)=F(〃)=0.

則由羅爾定理知.在("?/，)內(nèi)至少存在一點(diǎn)￡

使F飛)=0,即+/(3?2/(6*(W)=0,

又因?yàn)樾×?#0,所以g(&豐0.兩邊同除以

得/"Gg(H+2/(?g'(T=0.

70.

【證明】令f(f)=(,x2)ln(1J-)2x,=ln(lx)1—r,

Jt-1

A-r)=—^+7~當(dāng)0<zV1時(shí),，(工)>0.

所以,f'Q：)在0<才<1內(nèi)單調(diào)遞增.又/(0)=0,所以/'CO>0,

故/(#)單調(diào)遞增,又因?yàn)榘?)=0,所以當(dāng)0〈I〈I時(shí)，/(工)>0,

即當(dāng)0V1時(shí)，(工2)In(lx)>2x.

71.

【證明】