應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析聚類分析

第一節(jié)引言“物以類聚，人以群分”。對(duì)事物進(jìn)行分類，是人們認(rèn)識(shí)事物的出發(fā)點(diǎn)，也是人們認(rèn)識(shí)世界的一種重要方法。因此，分類學(xué)已成為人們認(rèn)識(shí)世界的一門基礎(chǔ)科學(xué)。在生物、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、人口等領(lǐng)域的研究中，存在著大量量化分類研究。例如：在生物學(xué)中，為了研究生物的演變，生物學(xué)家需要根據(jù)各種生物不同的特征對(duì)生物進(jìn)行分類。在經(jīng)濟(jì)研究中，為了研究不同地區(qū)城鎮(zhèn)居民生活中的收入和消費(fèi)情況，往往需要?jiǎng)澐植煌念愋腿パ芯?。在地質(zhì)學(xué)中，為了研究礦物勘探，需要根據(jù)各種礦石的化學(xué)和物理性質(zhì)和所含化學(xué)成分把它們歸于不同的礦石類。在人口學(xué)研究中，需要構(gòu)造人口生育分類模式、人口死亡分類狀況，以此來研究人口的生育和死亡規(guī)律。第2頁,共55頁，2024年2月25日，星期天但歷史上這些分類方法多半是人們主要依靠經(jīng)驗(yàn)作定性分類，致使許多分類帶有主觀性和任意性，不能很好地揭示客觀事物內(nèi)在的本質(zhì)差別與聯(lián)系；特別是對(duì)于多因素、多指標(biāo)的分類問題，定性分類的準(zhǔn)確性不好把握。為了克服定性分類存在的不足，人們把數(shù)學(xué)方法引入分類中，形成了數(shù)值分類學(xué)。后來隨著多元統(tǒng)計(jì)分析的發(fā)展，從數(shù)值分類學(xué)中逐漸分離出了聚類分析方法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，利用數(shù)學(xué)方法研究分類不僅非常必要而且完全可能，因此近年來，聚類分析的理論和應(yīng)用得到了迅速的發(fā)展。聚類分析就是分析如何對(duì)樣品（或變量）進(jìn)行量化分類的問題。通常聚類分析分為Q型聚類和R型聚類。Q型聚類是對(duì)樣品進(jìn)行分類處理，R型聚類是對(duì)變量進(jìn)行分類處理。第3頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)相似性的量度

一樣品相似性的度量

二變量相似性的度量

第4頁,共55頁，2024年2月25日，星期天一、樣品相似性的度量在聚類之前，要首先分析樣品間的相似性。Q型聚類分析，常用距離來測度樣品之間的相似程度。每個(gè)樣品有p個(gè)指標(biāo)（變量）從不同方面描述其性質(zhì)，形成一個(gè)p維的向量。如果把n個(gè)樣品看成p維空間中的n個(gè)點(diǎn)，則兩個(gè)樣品間相似程度就可用p維空間中的兩點(diǎn)距離公式來度量。兩點(diǎn)距離公式可以從不同角度進(jìn)行定義，令dij

表示樣品Xi與Xj的距離，存在以下的距離公式：

1．明考夫斯基距離

(5.1)

明考夫斯基距離簡稱明氏距離，按的取值不同又可分成：第5頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共55頁，2024年2月25日，星期天歐氏距離是常用的距離，大家都比較熟悉，但是前面已經(jīng)提到，在解決多元數(shù)據(jù)的分析問題時(shí)，歐氏距離就顯示出了它的不足之處。一是它沒有考慮到總體的變異對(duì)“距離”遠(yuǎn)近的影響，顯然一個(gè)變異程度大的總體可能與更多樣品近些，既使它們的歐氏距離不一定最近；另外，歐氏距離受變量的量綱影響，這對(duì)多元數(shù)據(jù)的處理是不利的。為了克服這方面的不足，可用“馬氏距離”的概念。第7頁,共55頁，2024年2月25日，星期天 2．馬氏距離設(shè)Xi與Xj是來自均值向量為

，協(xié)方差為∑

=（＞0）的總體

G中的p維樣品，則兩個(gè)樣品間的馬氏距離為

(5.5)

馬氏距離又稱為廣義歐氏距離。顯然，馬氏距離與上述各種距離的主要不同就是它考慮了觀測變量之間的相關(guān)性。如果各變量之間相互獨(dú)立，即觀測變量的協(xié)方差矩陣是對(duì)角矩陣，則馬氏距離就退化為用各個(gè)觀測指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差的倒數(shù)作為權(quán)數(shù)的加權(quán)歐氏距離。馬氏距離還考慮了觀測變量之間的變異性，不再受各指標(biāo)量綱的影響。將原始數(shù)據(jù)作線性變換后，馬氏距離不變。第8頁,共55頁，2024年2月25日，星期天 3．蘭氏距離

(5.6)

它僅適用于一切Xij>0的情況，這個(gè)距離也可以克服各個(gè)指標(biāo)之間量綱的影響。這是一個(gè)自身標(biāo)準(zhǔn)化的量，由于它對(duì)大的奇異值不敏感，它特別適合于高度偏倚的數(shù)據(jù)。雖然這個(gè)距離有助于克服明氏距離的第一個(gè)缺點(diǎn)，但它也沒有考慮指標(biāo)之間的相關(guān)性。第9頁,共55頁，2024年2月25日，星期天 4．距離選擇的原則一般說來，同一批數(shù)據(jù)采用不同的距離公式，會(huì)得到不同的分類結(jié)果。產(chǎn)生不同結(jié)果的原因，主要是由于不同的距離公式的側(cè)重點(diǎn)和實(shí)際意義都有不同。因此我們?cè)谶M(jìn)行聚類分析時(shí)，應(yīng)注意距離公式的選擇。通常選擇距離公式應(yīng)注意遵循以下的基本原則：（1）要考慮所選擇的距離公式在實(shí)際應(yīng)用中有明確的意義。如歐氏距離就有非常明確的空間距離概念。馬氏距離有消除量綱影響的作用。（2）要綜合考慮對(duì)樣本觀測數(shù)據(jù)的預(yù)處理和將要采用的聚類分析方法。如在進(jìn)行聚類分析之前已經(jīng)對(duì)變量作了標(biāo)準(zhǔn)化處理，則通常就可采用歐氏距離。（3）要考慮研究對(duì)象的特點(diǎn)和計(jì)算量的大小。樣品間距離公式的選擇是一個(gè)比較復(fù)雜且?guī)в幸欢ㄖ饔^性的問題，我們應(yīng)根據(jù)研究對(duì)象的特點(diǎn)不同做出具體分折。實(shí)際中，聚類分析前不妨試探性地多選擇幾個(gè)距離公式分別進(jìn)行聚類，然后對(duì)聚類分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，以確定最合適的距離測度方法。第10頁,共55頁，2024年2月25日，星期天二、變量相似性的度量

多元數(shù)據(jù)中的變量表現(xiàn)為向量形式，在幾何上可用多維空間中的一個(gè)有向線段表示。在對(duì)多元數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，相對(duì)于數(shù)據(jù)的大小，我們更多地對(duì)變量的變化趨勢或方向感興趣。因此，變量間的相似性，我們可以從它們的方向趨同性或“相關(guān)性”進(jìn)行考察，從而得到“夾角余弦法”和“相關(guān)系數(shù)”兩種度量方法。

1、夾角余弦 兩變量Xi與Xj看作p維空間的兩個(gè)向量，這兩個(gè)向量間的夾角余弦可用下式進(jìn)行計(jì)算

(5.7)

顯然，∣cos

ij∣

1。第11頁,共55頁，2024年2月25日，星期天 2．相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)經(jīng)常用來度量變量間的相似性。變量Xi與Xj的相關(guān)系數(shù)定義為

(5.8)

顯然也有，∣rij∣

1。第12頁,共55頁，2024年2月25日，星期天無論是夾角余弦還是相關(guān)系數(shù)，它們的絕對(duì)值都小于1，作為變量近似性的度量工具，我們把它們統(tǒng)記為cij。當(dāng)∣cij∣

=1時(shí)，說明變量Xi與Xj完全相似；當(dāng)∣cij∣近似于1時(shí)，說 明變量Xi與Xj非常密切；當(dāng)∣cij∣=0時(shí)，說明變量Xi與Xj完 全不一樣；當(dāng)∣cij∣近似于0時(shí)，說明變量Xi與Xj差別很大。 據(jù)此，我們把比較相似的變量聚為一類，把不太相似的變量歸到不同的類內(nèi)。在實(shí)際聚類過程中，為了計(jì)算方便，我們把變量間相似性的度量公式作一個(gè)變換為

dij

=1∣cij∣(5.9)

或者

dij2

=1

cij2(5.10)

用表示變量間的距離遠(yuǎn)近，小則與先聚成一類，這比較符合人們的一般思維習(xí)慣。第13頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)系統(tǒng)聚類分析法

一系統(tǒng)聚類的基本思想

二類間距離與系統(tǒng)聚類法

三類間距離的統(tǒng)一性

第14頁,共55頁，2024年2月25日，星期天一、系統(tǒng)聚類的基本思想系統(tǒng)聚類的基本思想是：距離相近的樣品（或變量）先聚成類，距離相遠(yuǎn)的后聚成類，過程一直進(jìn)行下去，每個(gè)樣品（或變量）總能聚到合適的類中。系統(tǒng)聚類過程是：假設(shè)總共有n個(gè)樣品（或變量），第一步將每個(gè)樣品（或變量）獨(dú)自聚成一類，共有n類；第二步根據(jù)所確定的樣品（或變量）“距離”公式，把距離較近的兩個(gè)樣品（或變量）聚合為一類，其它的樣品（或變量）仍各自聚為一類，共聚成n

1類；第三步將“距離”最近的兩個(gè)類進(jìn)一步聚成一類，共聚成n

2類；……，以上步驟一直進(jìn)行下去，最后將所有的樣品（或變量）全聚成一類。為了直觀地反映以上的系統(tǒng)聚類過程，可以把整個(gè)分類系統(tǒng)畫成一張譜系圖。所以有時(shí)系統(tǒng)聚類也稱為譜系分析。除系統(tǒng)聚類法外，還有有序聚類法、動(dòng)態(tài)聚類法、圖論聚類法、模糊聚類法等，限于篇幅，我們只介紹系統(tǒng)聚類方法。第15頁,共55頁，2024年2月25日，星期天二、類間距離與系統(tǒng)聚類法在進(jìn)行系統(tǒng)聚類之前，我們首先要定義類與類之間的距離，由類間距離定義的不同產(chǎn)生了不同的系統(tǒng)聚類法。常用的類間距離定義有8種之多，與之相應(yīng)的系統(tǒng)聚類法也有8種，分別為最短距離法、最長距離法、中間距離法、重心法、類平均法、可變類平均法、可變法和離差平方和法。它們的歸類步驟基本上是一致的，主要差異是類間距離的計(jì)算方法不同。以下用dij表示樣品Xi與Xj之間距離，用Dij表示類Gi與Gj

之間的距離。第16頁,共55頁，2024年2月25日，星期天 1.最短距離法 定義類與之間的距離為兩類最近樣品的距離，即為

(5.11)

設(shè)類與合并成一個(gè)新類記為，則任一類與的距離為

(5.12)第17頁,共55頁，2024年2月25日，星期天最短距離法進(jìn)行聚類分析的步驟如下： （1）定義樣品之間距離，計(jì)算樣品的兩兩距離，得一距離陣記為D（0）

，開始每個(gè)樣品自成一類，顯然這時(shí)Dij

=

dij。 （2）找出距離最小元素，設(shè)為Dpq，則將Gp和Gq合并成一個(gè) 新類，記為Gr，即Gr

=

｛Gp，Gq｝。 （3）按（5.12）計(jì)算新類與其它類的距離。（4）重復(fù)（2）、（3）兩步，直到所有元素。并成一類為止。如果某一步距離最小的元素不止一個(gè)，則對(duì)應(yīng)這些最小元素的類可以同時(shí)合并。第18頁,共55頁，2024年2月25日，星期天【例5.1】設(shè)有六個(gè)樣品，每個(gè)只測量一個(gè)指標(biāo)，分別是1，2，5，7，9，10，試用最短距離法將它們分類。 （1）樣品采用絕對(duì)值距離，計(jì)算樣品間的距離陣D（0），見表5.1表5.1第19頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

（2）D（0）中最小的元素是D12＝D56＝1，于是將G1和G2合 并成G7，G5和G6合并成G8，并利用（5.12）式計(jì)算新類與其 它類的距離D（1），見表5.2表5.2第20頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

（3）在D（1）中最小值是D34＝D48＝2，由于G4與G3合并， 又與G8合并，因此G3、G4、G8合并成一個(gè)新類G9，其與其 它類的距離D（2），見表5.3表5.3第21頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

（4）最后將G7和G9合并成G10，這時(shí)所有的六個(gè)樣品聚為一類，其過程終止。 上述聚類的可視化過程見圖5.1所示，橫坐標(biāo)的刻度表示并類的距離。這里我們應(yīng)該注意，聚類的個(gè)數(shù)要以實(shí)際情況所定，其詳細(xì)內(nèi)容將在后面討論。圖5.1最短距離聚類法的過程第22頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共55頁，2024年2月25日，星期天再找距離最小兩類并類，直至所有的樣品全歸為一類為止。可以看出最長距離法與最短距離法只有兩點(diǎn)不同：一是類與類之間的距離定義不同；另一是計(jì)算新類與其它類的距離所用的公式不同。第24頁,共55頁，2024年2月25日，星期天 3.中間距離法 最短、最長距離定義表示都是極端情況，我們定義類間距離可以既不采用兩類之間最近的距離也不采用兩類之間最遠(yuǎn)的距離，而是采用介于兩者之間的距離，稱為中間距離法。 中間距離將類Gp與Gq類合并為類Gr，則任意的類Gk和Gr的距離公式為

(1／4

0)(5.15)

設(shè)Dkq＞Dkp，如果采用最短距離法，則Dkr

=

Dkp，如果采用 最長距離法，則Dkr

=

Dkq。如圖5.2所示，(5.15)式就是取它們（最長距離與最短距離）的中間一點(diǎn)作為計(jì)算Dkr的根據(jù)。第25頁,共55頁，2024年2月25日，星期天特別當(dāng)

=

1／4，它表示取中間點(diǎn)算距離，公式為

(5.16)

圖5.2中間距離法第26頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

第28頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第29頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

第30頁,共55頁，2024年2月25日，星期天【例5.2】針對(duì)例5.1的數(shù)據(jù)，試用重心法將它們聚類。（1）樣品采用歐氏距離，計(jì)算樣品間的平方距離陣D2（0），見表5.4所示。表5.4第31頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

（2）D2（0）中最小的元素是D212＝D256＝1，于是將G1和G2合 并成G7，G5和G6合并成G8，并利用（5.18）式計(jì)算新類與 其它類的距離得到距離陣D2（1），見表5.5： 其中， 其它結(jié)果類似可以求得第32頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

（3）在D2（1）中最小值是D234＝4，那么G3與G4合并一個(gè)新類G9，其與與其它類的距離D2（2），見表5.6：表5.6第33頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

（4）在中最小值是＝12.5，那么與合并一個(gè)新類，其與與 其它類的距離，見表5.7：表5.7第34頁,共55頁，2024年2月25日，星期天（5）最后將G7和G10合并成G11，這時(shí)所有的六個(gè)樣品聚為一類，其過程終止。 上述重心法聚類的可視化過程見圖5.3所示，橫坐標(biāo)的刻度表示并類的距離。圖5.3重心聚類法的過程第35頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共55頁，2024年2月25日，星期天 6.可變類平均法 由于類平均法中沒有反映出Gp和Gq之間的距離Dpq的影響， 因此將類平均法進(jìn)一步推廣，如果將Gp和Gq合并為新類Gr，類Gk與新并類Gr的距離公式為： （5.22） 其中

是可變的且

<1，稱這種系統(tǒng)聚類法為可變類平均法。第37頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第38頁,共55頁，2024年2月25日，星期天 8.離差平方和法 該方法是Ward提出來的，所以又稱為Ward法。該方法的基本思想來自于方差分析，如果分類正確，同類樣品的離差平方和應(yīng)當(dāng)較小，類與類的離差平方和較大。具體做法是先將n個(gè)樣品各自成一類，然后每次縮小一類，每縮小一類，離差平方和就要增大，選擇使方差增加最小的兩類合并，直到所有的樣品歸為一類為止。 設(shè)將n個(gè)樣品分成k類G1，G2，…，Gk，用Xit表示Gt中的第I

個(gè)樣品，nt表示Gt中樣品的個(gè)數(shù)，是Gt的重心，則Gt的樣品離差平方和為第39頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

第40頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

這種系統(tǒng)聚類法稱為離差平方和法或Ward方法。下面論證離差平方和法的距離遞推（5.26）式。第41頁,共55頁，2024年2月25日，星期天由于第42頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第43頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

第44頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第45頁,共55頁，2024年2月25日，星期天三、類間距離的統(tǒng)一性上述八種系統(tǒng)聚類法的步驟完全一樣，只是距離的遞推公式不同。蘭斯（Lance）和威廉姆斯（Williams）于1967年給出了一個(gè)統(tǒng)一的公式。

(5.28)

其中ap、aq、

、

是參數(shù)，不同的系統(tǒng)聚類法，它們?nèi)〔?同的數(shù)，詳見表5.8。這里應(yīng)該注意，不同的聚類方法結(jié)果不一定完全相同，一般只是大致相似。如果有很大的差異，則應(yīng)該仔細(xì)考查，找到問題所在；另外，可將聚類結(jié)果與實(shí)際問題對(duì)照，看哪一個(gè)結(jié)果更符合經(jīng)驗(yàn)。第46頁,共55頁，2024年2月25日，星期天表5.8系統(tǒng)聚類法參數(shù)表第47頁,共55頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)K均值聚類分析系統(tǒng)聚類法需要計(jì)算出不同樣品或變量的距離，還要在聚類的每一步都要計(jì)算“類間距離”，相應(yīng)的計(jì)算量自然比較大；特別是當(dāng)樣本的容量很大時(shí)，需要占據(jù)非常大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間，這給應(yīng)用帶來一定的困難。而K—均值法是一種快速聚類法，采用該方法得到的結(jié)果比較簡單易懂，對(duì)計(jì)算機(jī)的性能要求不高，因此應(yīng)用也比較廣泛。K均值法是麥奎因（MacQueen，1967）提出的，這種算法的基本思想是將每一個(gè)樣品分配給最近中心（均值）的類中，具體的算法至少包括以下三個(gè)步驟：

1．將所有的樣品分成K個(gè)初始類；

2．通過歐氏距離將某個(gè)樣品劃入離中心最近的類中，并對(duì)獲得樣品與失去樣品的類，重新計(jì)算中心坐標(biāo)；

3．重復(fù)步驟2，直到所有的樣品都不能再分配時(shí)為止。第48頁,共55頁，2024年2月25日，星期天K均值法和系統(tǒng)聚類法一樣，都是以距離的遠(yuǎn)近親疏為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行聚類的，但是兩者的不同之處也是明顯的：系統(tǒng)聚類對(duì)不同的類數(shù)產(chǎn)生一系列的聚類結(jié)果，而K—均值法只能產(chǎn)生指定類數(shù)的聚類結(jié)果。具體類數(shù)的確定，離不開實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的積累；有時(shí)也可以借助系統(tǒng)聚類法以一部分樣品為對(duì)象