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函數(shù)y=eq\f(2-5x2,16+x2)的圖像示意圖※.函數(shù)的定義域∵分式函數(shù)的分母16+x2>0,對(duì)任意的x都成立,則自變量x可以取全體實(shí)數(shù),∴函數(shù)y=eq\f(2-5x2,16+x2)的定義域?yàn)?-∞,+∞)。※.函數(shù)的單調(diào)性本步驟用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來判斷,先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù):∵y=eq\f(2-5x2,16+x2)∴eq\f(dy,dx)=eq\f(-10x(16+x2)-2x(2-5x2),(16+x2)2)=-2*82*eq\f(x,(16+x2)2),則函數(shù)的單調(diào)性為:(1).當(dāng)x≥0時(shí),eq\f(dy,dx)≤0,此時(shí)函數(shù)y在定義域上為減函數(shù);(2).當(dāng)x<0時(shí),eq\f(dy,dx)>0,此時(shí)函數(shù)y在定義域上為增函數(shù)。此時(shí)x=0處,函數(shù)y有最大值,即:ymax=f(0)=eq\f(2-0,16+0)=eq\f(1,8).※.函數(shù)的值域把函數(shù)y=eq\f(2-5x2,16+x2)變形為x2的二次方程為:(16+x2)y=2-5x2(5+y)x2=2-16y則有:x2=eq\f(2-16y,5+y)≥0,解出:-5<y≤eq\f(1,8),所以函數(shù)y的值域?yàn)椋?-5,eq\f(1,8)]?!?函數(shù)的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=-2*82*eq\f(x,(16+x2)2),∴eq\f(d2y,dx2)=-2*82*eq\f((16+x2)2-4x2(16+x2),(16+x2)4)eq\f(d2y,dx2)=2*82*eq\f(3x2-16,(16+x2)3),令eq\f(d2y,dx2)=0,則3x2-16=0,則x1=-eq\f(4\r(3),3),x2=eq\f(4\r(3),3),此時(shí)函數(shù)的凸凹性為:(1).當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(4\r(3),3))∪(eq\f(4\r(3),3),+∞)時(shí),eq\f(d2y,dx2)>0,此時(shí)函數(shù)y的圖像為凹曲線;(2).當(dāng)x∈[-eq\f(4\r(3),3),eq\f(4\r(3),3)]時(shí),eq\f(d2y,dx2)≤0,此時(shí)函數(shù)y的圖像為凸曲線?!?函數(shù)的奇偶性∵f(x)=eq\f(2-5x2,16+x2),∴f(-x)=eq\f(2-5(-x)2,16+(-x)2)=eq\f(2-5x2,16+x2),即f(-x)=f(x),則函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。.函數(shù)的五點(diǎn)圖表x01.152.313.464.622-5x22-4.61-24.68-57.86-104.7216+x21617.3221.3427.9737.34y0.13-0.27-1.16-2.07-2.80x-4.62-3.46-2.31-1.1502-5x2-104.72-57.86-24.68-4.61216+x237.3427.9721.3417.3216y-2.80-2.07-1.16-0.270.13.函數(shù)的圖像示意圖y=eq\f(2-5x2,16+x2) y(0,0.13)(-1.15,-0.27)(1.15,-0.27)(-2.31,-1.16)(2.31,-1.16)(-3.46,-2.07)(3.46,-2.07)
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