人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題 (23)(含答案解析)

必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題(23)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.設(shè)平面向量3=(cosa,sina)(0Wa<2TT),b=

(1)求證：向量五+E與五一坂垂直；

(2)若向量+3與方一次石的模相等，求角a.

2.已知向量五=(2,3),方=(m,2)1=(—1,2);⑴若3)+2方與五一3方共線,求如

(2)若石13^.\2a-b+c\.

3.已知平面上三個(gè)向量落b，己的模均為1,它們相互之間的夾角均為120。.

(1)求證：(a-h)1c：

(2)若生五+坂+口|>l(kCR)，求實(shí)數(shù)二的取值范圍.

4.已知。是正方形ABC。對角線的交點(diǎn)，四邊形OAE。，0CF8都是正方形，在如圖所示的向量

中：

(1)分別找出與而，而相等的向量:

(2)找出與正共線的向量；

(3)找出與前相等的向量；

(4)向量近與的是否相等？

5.已知4(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判斷以此四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的形狀.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量落B，泄方向如圖所示，且I為I=2,

\b\=3,\c\=4,分別計(jì)算出它們的坐標(biāo).

7.在44BC中，設(shè)a,6,c是內(nèi)角A,B,C的對邊，若sin2c-cos2S-sin2/l=sinAsinB-cos2B.

(1)求角C;

(2)若。為AB中點(diǎn)，c=4g，CD=3,求△ABC的面積.

8.已知△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,sin(4+B)=&sin4,b=5,AC=3MC，

/.ABM=2Z.CBM.

(I)求”8(；的大?。?/p>

(n)求△4BC的面積.

9.已知同=2,|)|=3,蒼與石的夾角0=60。，求：⑴方不；

(2)(2a-b)-(a+36);

⑶|有一片|.

10.已知五，石是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量冷茜足(五-？)?]-20=0,求|小的最大

值.

11.已知定點(diǎn)尸(1,0),動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作尸M交X軸于點(diǎn)M,并延長MP到點(diǎn)M且麗.

PF=0.\PM\=|麗

(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；

(2)直線/與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A,B兩點(diǎn),若就?南=一4，且4乃三|四|W4聞，求直線/

的斜率k的取值范圍.

12.如圖所示，在直角坐標(biāo)系my中，圓O:/+y2=4與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A的直線AM,AN

分別與圓。交于MN兩點(diǎn).

(1)若心“=2，KN=-;，求AAMN的面積；

(2)過點(diǎn)P(3百,-5)作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別記為瓦F,求兩.兩;

(3)若k.M-kAN=-2,求證：直線MN過定點(diǎn).

13.已知向量五=(cos],sin|x),b=(cos|,-sin^),且

(1)求五?正及|五+B|;

(2)若/(x)=為小一/3+b|,求/(x)的最小值.

14.已知向量￡與向量石的夾角為%且同=1,|2方一方|

(1)求W；

(2)若蒼_L0—43)，求九

15.已知向量五=(6,2),[=(一3的,當(dāng)「為何值時(shí),

⑴方〃擊

(2)alK;

(3)五與石的夾角為鈍角.

16.如圖，已知在n/lBCO中,E,尸是對角線4c上的兩點(diǎn)，且4E=FC=

AC用向量方法證明四邊形OEBF也是平行四邊形.

\4,

17.如圖所示，在中，/.BAC=120°,AB=4C=3,點(diǎn)。在線段8c上，且BD=^DC.求:

(1)4。的長;

(2)血C的大小.

2222

18.已知橢圓G：?+A=l(a>b>0)的離心率為g橢圓。2：3》+J=l(a>6>0)經(jīng)過點(diǎn)

ab33a3b

(?4)-

(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)M是橢圓Q上的任意一點(diǎn)，射線與橢圓。2交于點(diǎn)M過點(diǎn)用的直線/與橢圓G有且

只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線/與橢圓C2交于48兩個(gè)相異點(diǎn)，證明：△NAB面積為定值.

19.已知點(diǎn)。(0,0),4(1,2),B(l+3t,2+3t),前=函+而，問f為何值時(shí),

(1)點(diǎn)P在x軸上？

(2)點(diǎn)P在y軸上？

(3)點(diǎn)尸在第二象限?

20.一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30。方向行駛2千米到達(dá)。地，然后從￡>

地沿北偏東60。方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30。方向行駛2千米才到達(dá)B地.

北

西A東

南

(1)在圖中畫出近，DC，CB,AB；

(2)求B地相對于A地的位移.

21.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,已知向量五.

(1)試以8為終點(diǎn)畫一個(gè)向量石，使?=方.

(2)在圖中畫一個(gè)以4為起點(diǎn)的向量高使得|不|=通，并說出向量表的終點(diǎn)的軌跡是什么？

22.如圖，在菱形ABCQ中，對角線AC,8。相交于。點(diǎn)，^DAB=60°,分別以A,B,C,D,O

中的不同兩點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)與終點(diǎn).

(1)寫出與而平行的向量；

(2)寫出與方的模相等的向量.

23.如圖，在四邊形A8CD中，AB=^C,N,M是A￡>,BC上的點(diǎn)，且麗=加.求證：麗=麗.

24.如圖所示，在中心為。的正八邊形4〃243A/^^公心中，可=

石石二(i=1,2,…,7),⑹=可0=1,2…,8),試化簡布+碼+元+

K+K-

25.已知向量|磯=2,弓=(_?曰)，且為與方夾角為拳

(1)求|蒼+2辦

(2)若@+kB)J.(23-砂，求實(shí)數(shù)我的值.

26.已知向量0,b,c,求作向量3五一2至+［人

27.在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，已知向量沆=0+企/),n=(%-V2,y),且|沆|+|元|=4.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程；

(2)已知直線/過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與(1)中的軌跡C交于M,N兩點(diǎn)，M在第三象限，且MHlx軸,

垂足為，，連接NH并延長交C于點(diǎn)。，證明：QM1MN.

28.設(shè)6R,向量N=(%,2)]=(l,y)1=(2,—6)，且五萬//3則|1+2至|=

29.已知橢圓C：9+'=l(a>6>0)經(jīng)過點(diǎn)(百,1),離心率為手.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)M(4,0)的直線交橢圓于48兩點(diǎn)，若詢=4而,在線段AB上取點(diǎn)使而=-ADB，

求證：點(diǎn)￡>在定直線上.

30.一輛消防車從4地去8地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30。方向行駛2千米到。地，然后從￡(

地沿北偏東60。方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30。方向行駛2千米才到達(dá)B地.

(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出而，DC，CB，AB-,

(2)求8地相對于A地的位置向量.

【答案與解析】

1.答案：(1)證明：由題意，H\a+b=(cosa-I，sina+y)?

a—b=(cosa+|,sina——)?

???(a+K)?(a—K)=cos2a—1+sin2a—^=0,

A(a+b)1(a—b).

(2)解：易得同=1,\b\=1.

由題意，知(遍五+3)2=①一次另)2,化簡得Q/=O,

1,V3,M

：■——cosaH----sina=0A，???tana=——?

223

又0<a<2TT,a=g或a=—.

66

解析：本題考查向量的模，向量的垂直的判定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及向量的數(shù)量積.

利用向量的垂直的判定和向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

2.答案:解：⑴?.響量五=(2,3),B=(zn,2)，

3a.+2b=(2m+6,13)>a-3￡>=(2—3m,-3)>

v3五+2區(qū)與五一3石共線，

???13(2—3m)+3(2m+6)=0,

解得巾=￡

(2)vb=(m,2)，c=(-1,2),61c，

.-.K-c=-m+4=0，解得m=4,?,?加=(4,2),

■:Q=(2,3),2fl—Z?+c=(-1,6),

/.|2a-h+c|=Vl2+62=V37.

解析：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直、向量共線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，

考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

(1)求出3萬+2至=(2m+6,13)，五一3方=(2—3m,—3)，由3a+21與五一3一共線,能求出

(2)由石_13求出石=(4,2)，從而2五一至+口=(一1,6)，由此能求出|2芽一了+個(gè).

3.答案：解：(1)證明???(a-b')-c=a-c-b-c=\a\\c\-cosl20°-\b\-|c|cosl20°=0;

(a-K)1c.

(2)解|k五+1+列>1(fca+K+c)2>1，

即1片+,+2k五不+2卜五1+2日々>

-?,|a|=|b|=|c|=1,且五花正相互之間的夾角均為120。，

-g2=b2=c2=1>a-b=b-c=a-c=-^,

/c2+1-2/c>1,即k2-2k>0,

k.>2或k<0.

解析：(1)利用向量的分配律及向量的數(shù)量積公式求出0-5?2利用向量的數(shù)量積為0向量垂直

得證.

(2)利用向量模的平方等于向量的平方及向量的數(shù)量積公式將已知等式平方得到關(guān)于k的不等式求出

々的范圍.

本題考查向量垂直的充要條件、向量模的平方等于向量的平方、向量的數(shù)量積公式.

4.答案：解：(1)而=前，BO=AE

(2)與南共線的向量有：BF，CO,DE.

(3)與正模相等的向量有：CO.DO.BO.BF,CF,AE,DE.

(4)向量而與而不相等，因?yàn)樗鼈兊姆较虿幌嗤?

解析：本題考查向量的共線，相等的概念，屬基礎(chǔ)題，掌握有關(guān)概念即可解決.

(1)方向相同，大小相等的向量是相等向量;

(2)共線向量的有向線段平行或共線;

(3)與⑴同;

(4)與⑴同.

5.答案：解:因?yàn)檐?(4,0)-(1,2)=(3,-2)，DC=(8,6)-(5,8)=(3,-2).

所以費(fèi)=覺，所以四邊形A8CQ是平行四邊形.

因?yàn)槎?(8,6)-(1,2)=(7,4)，~BD=(5,8)-(4,0)=(1,8)，

所以|前1=1前即AC=BD,所以四邊形ABC。是矩形.

因?yàn)槎?(5,8)-(1,2)=(4,6)，所以|同|=2回，又|而|=值，所以|荏南|，

所以四邊形A8C。不是正方形.

綜上，四邊形ABC。是矩形.

解析：本題考查平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量坐標(biāo)得到四=小，判斷出四邊形A8CD是平行四邊形，根據(jù)向量的模得|而|=|而

\AB\^\AD\＞可得結(jié)論.

6.答案：解設(shè)a=(t?i，o,2),b=(bi，%)，。

則由=|a|cos45°=2x曰=夜，a2=\a|sin450=2Xy=VI；

bt=\b|cos1200=3x=-|,b2=\b|sin120°=3x曰=苧；

Ci=|c|cos(—30°)=4xy=2聒,c2=|c|sin(-30°)=4X=-2.

因此若=(企,a),5=(一I，?)，c=(2V3,-2).

解析：本題考查向量的坐標(biāo)表示，設(shè)豆=(峻2),b=(bvb2)，工=(q,C2),根據(jù)圖中所給角度結(jié)

合向量的模即可求出答案，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：解：(1)由題意得sin2c—cos2B—sin2X=sinAsinB—cos2B,

化為sin2c—sin2/l=sinAsinB+sin2B,

由正弦定理得c2—Q2=Qb+b2,

即a24-ft2-c2=-ab

由余弦定理得cosC=

又ce(O.TT)

所以c=g；

(2)由題意c?=a2+b2—2abcosC=48,

由刀+方=2CD

兩邊同時(shí)平方可得M+2abcosC+h2=36,

所以4abcosC=-12

故ab=6

所以S=-abcosC=

22

解析：本題考查解三角形，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)原式化為sin?。一siM%=sinAsinB+sin2F,由正弦定理化簡得M+&2-c2=-ab由余弦定理

得cosC=所以C=y;

(2)由題意c2=Q2+b2-2abcosC=48,再由Z7+麗=2而，解得ab=6,利用三角形面積公式

求解.

8.答案：解：(I)因?yàn)榍?3前乙

所以點(diǎn)M在線段4C上，且AM=2CM,

HSAB."_CM_J

故二嬴=而=5?

記4cBM=e,

則S.BC=\BC'-sin0,

=

SABA/、-4Z?-BAt-sin2().

_LLBCsin。1BC

故——：--=即nnCOS。n=—.

ABsin262AB

因?yàn)閟in(A+8)=V^sinA,

所以sinC=&sin4^AB=y[2BC.

故cos。=—.

2

因?yàn)閑G（O,TT）,

所以J=w

4

故乙4BC=39=—■,

4

(口)在△ABC中，

由余弦定理，得爐=-2QCC0S乙4BC,

即25=a24-(V2a)24-2a?(企a)?解得a=V5.

故S/U”^acsinZ.ABC

=-1-a?V/2TTa-si.n—3TT=5

242

解析：本題考查解三角形，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

(I)由彳？-3MC?得=yrv=1，記=0,由:‘得cos。=與，由

sin(A+B)=岳inA，結(jié)合正弦定理得AB=&BC，可求得cos。=爭由9G(0,兀)，即可求出。=

所以4ABC=36=—;

4

(n)由余弦定理求出。=石，利用三角形的面積公式即可求面積.

9.答案：解：(1)1?b=|引?|b|cosO=2x3xcos60°=3.

(2)(2a-K)-(a+3b)=2a2+5a-b-3b=2|a|2+5a-K-3|K|2=2x22+5x3-3x

32=-4.

(3)|a-b|=J(a-K)2=Ja2-2a-K+h2=V4-6+9=V7-

解析：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及模長公式，屬于基礎(chǔ)題.

(1)把已知數(shù)據(jù)代入a?b=同bcos60°,計(jì)算可得；

(2)(2左一I)?0+3])=2五2+5蒼小一3武代值計(jì)算可得；

(3)a-b=同2_2髭+了2,代值計(jì)算可得.

10.答案：解：如圖示：設(shè)a=五，OB=b，OC=c，

^\\OA\=\OB\=1，

設(shè)OB的中點(diǎn)為。，連接A￡>,CD,CA,

(a-c)"(b-2c)=0>

(a-c)?(|K-c)=0.

則五一不=刀，^b-c=CD,

???CA-CD=0-

故C在以AO為直徑的圓M上.

oA±ob>

。在圓M上，

Ic|的最大值即為圓M的直徑|而|=^\OA\2+\OD\2=導(dǎo)

解析：本題考查向量平面向量的數(shù)量積，垂直，模長以及集合表示,屬于中檔題.

利用平面向量的數(shù)量積以及向量垂直的充要條件數(shù)形結(jié)合滿足題意的向量的終點(diǎn)C在以A。為直徑

的圓周上，故容易得到|小的最大值.

11.答案：解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)N(x,y),則M(-x,0),P(01)(x>0),

vPM1PF,

yy

**?kpj^kpp——1,即z.-2———1,

x-1

??.y2=4x(%>0)即為所求.

（2）設(shè)/與拋物線交于點(diǎn)4（%1，%）,8（%2，乃）?

當(dāng)/與X軸垂直時(shí)，則由初?話=-4,

得力=2傷y2=-2>/2,\AB\=4V2<4V6.不合題意，故/與x軸不垂直.

可設(shè)直線/方程為y=kx+b,

則由04.OB=—4,得+y,iVi=-4，+%丫2=—4,解得%丫2=-8,

16

由y=kx+b可得-4y+4b=0(其中k=0),

???y^2=F=-8,解得b=-2k,

當(dāng)4=16-16kb=16(1+2k2)>0時(shí)，

22

\AB\=(1+^)(y2-yi)=詈［(丫2+yJ2_4yly2［=詈(Q+32).

由題意，4>/6<\AB\<4V30-

可得16x64譬瑙+32)S16x30,即4W掌128，

噂;駕2H?！?解得太S

???I</c<1>或-1</c<-|.

即所求％的取值范圍是［一1,一芻

解析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，兩個(gè)向量的數(shù)量的運(yùn)算，考查運(yùn)用解析幾何的

方法分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.

（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N,則M,尸的坐標(biāo)可表示出，利用PM1PF,kPMkPF=-1,求得x和〉的關(guān)系式，

即N的軌跡方程；

（2）設(shè)出直線/的方程，A,8的坐標(biāo)，根據(jù)布.南=-4，推斷出+%丫2=—4進(jìn)而求得ya的

值，把直線與拋物線方程聯(lián)立消去x求得丫02的表達(dá)式，進(jìn)而氣的人和4的關(guān)系式，利用弦長公式表

示出|AB『，根據(jù)|4B|的范圍，求得女的范圍.

12.答案：（1）解：由題意，直線AM的方程為y=2x+4,直線AN的方程為、=-1,

所以圓心到直線AM的距離d=t=乎，

因此AM=2I4--=延，同理可得AN=/，

7555

由己知心“=2,kAN=-p所以4N14M,

4”1…"214Vs8V516

以S^AMN=20,^/V=-X—X—=y

（2）解：由已知得磯=J（3%）2+（_5）2=2m，

因此阿|=\PF\=J（3⑹2+（_5）2_4=4V3,

所以co?NOPE=

2/13—

txisZFPE-2Vos2NOPE--1=H

所以方.時(shí)=|無H方|.cosZEPF=(44yx曰=臀.

(3)證明：由題意可知直線AM和直線AN的斜率都存在，且都不為0,

不妨設(shè)直線AM的方程為y=k(x+2),

則直線AN的方程為y=-：(x+2),

則聯(lián)立方程卮2；；；?，化簡整理得，(x+2)((1+k2)x+2k2-2]=0,

得％=-2或%=上等，所以M(學(xué),4)，

1+k2\1+k21+k2/

同理可得'(會(huì)，言).

4k—8k

所以直線MN的方程為廣涔二/宗居(X-審)，整理得y=^x+M=^(x+

\+kz~4+A2

2

所以直線MN過定點(diǎn)(-一,0).

解析：本題考查了向量的數(shù)量積，兩條直線垂直的判定，直線與圓的位置關(guān)系及判定，兩點(diǎn)間的距

離公式，圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題和直線的傾斜角與斜率，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于較難

題.

(1)根據(jù)已知條件，可求出兩條直線的方程，根據(jù)直線交圓的弦長求得AM、AN,再利用兩條直線垂

直的判定得AN14”,最后計(jì)算三角形面積得結(jié)論；

(2)利用向量模的幾何意義和兩點(diǎn)間的距離公式得廬研=2回，再利用向量模的幾何意義、兩點(diǎn)間

的距離公式和切線長定理得|而|=|PF|=4V3,解直角三角形得cos4OPE=警，再利用余弦的二

倍角公式得cos/FPE=裝，最后利用向量的數(shù)量積，計(jì)算得結(jié)論；

(3)設(shè)直線AM的方程為y=k(x+2),直線AN的方程為y=-g+2),與圓0的方程聯(lián)立，求得

“、N的坐標(biāo)，再求出的直線方程，從而得結(jié)論.

13.答案:解：⑴因?yàn)橄蛄课?(cos|x,sin|x),b=(cos-sin且x€[0,J

所以丘?b=cosYcos：-sin與sin：=cos2x,xG[0,.

|a+K|=Ja2+2a-b+b2=V2+2cos2x=2\cosx\'

又xe[0,J

故14+b|=2cosx-

(2)由(1)得：

/(x)=a-b—||a4-/?|=cos2x—3cosx=2cos2x—3cosx—1,xG[0,,

設(shè)t=cosx,則tE[0,1],

則g(t)=2t2—3t—l=2(t—》2—￡,te[0,l],

則g(t)min=g(}=-短,

故答案為：-J.

解析：【試題解析】

(1)由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算得:a-b=cosycos^—sinysin^=cos2xfxE[0,^].\a+b\=

Ja2+2a-b+b2=V2+2cos2x=2|cosxr又故|五+B|=2cosx.

(2)由及二次函數(shù)的最值的求法得:/(x)=a-K-||a+b|等價(jià)于g(t)=2t2-3t-1=2(t-|)2-

則g(t)min=9(5=一￡,得解.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及二次函數(shù)的最值的求法，屬中檔題.

14.答案:(1)由12a-b\=近得4a2_4a?b+爐=7,

那么b\-2b-3=0：

解得b=3或聞=一1(舍去)

—>

?*.b=3；

(2)由Q1(Q—(b)得a,(a—Ab)=0,

那么片一71a?1=o,

因此1—|A=0A=|.

解析：本題考查平面向量模的計(jì)算，平面向量垂直的充要條件，屬基礎(chǔ)題目.

—>2—?

(1)對已知|2a—b|=V7.平方即可得b-2b-3=0.進(jìn)一步求解即可;

(2)利用平面向量垂直的充要條件a(a-Ab)=0,計(jì)算即可.

15.答案：解：(1)五〃方=6k=—6解得k=-1：

(2)方1方=丘不=0=-18+2k=0解得k=9；

(3)乙方所成角6是鈍角o五?石<0且乙方不反向

解得k<9,k手一1

解析：(1)利用兩向量共線的充要條件列出方程求出k

(2)利用向量垂直的充要條件數(shù)量積為0列出方程求出左值

(3)利用熄了燈數(shù)量積表示向量的夾角值向量的夾角為鈍角等價(jià)于數(shù)量積為負(fù)且不反向.

本題考查向量共線的充要條件、向量垂直的充要條件、利用向量表示向量的夾角.

16.答案：證明：?.?四邊形是平行四邊形，.,.而=卷+而，且而=而，

AE=FC=-AC,：.AE=FC=-AC=-AB+-AD,

4444

,■■,>,"-1■'■>1,,,■>>>1,*21■,■>

/.DE=AE-AD=-AB-i--AD-AD=-AB--AD,

4444

1111

,?,?一??,—―”>[■■>1—"i-，‘'一,1，1…+.……,1■■■>Q一

FB=FC+CB=-AB4--AD-BC=-AB+-AD-AD=-AB--AD,

444444

DE=FB，

:,DE=FB,DE//FB,

四邊形OEB尸是平行四邊形.

解析：用樂,而表示出麗，而即可得出而=而，從而得出結(jié)論.

本題考查了平面向量在幾何證明中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：解：(1)設(shè)荏=苕，~AC-K>

則而=AB+~BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC=-a+-b.

33v73333

所以|荷『二而？=（|五+：3）2

4T22—?1—?2

=9a+2x-ab+-b

491

=-x9+2x-x3x3xco81200+-x9=3.

999

故4。=V3.

(2)設(shè)則。為前與前的夾角.

力..(襯+廣)匯

因?yàn)閏os。=

|砌冏―6x3

_3+打b_」9+；X3X3X(-；)_

一3V3-3^一U

所以。=90。，即ND4c=90。.

解析：本題考查平面向量的三角形法則以及模的定義及平面向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)

題.

(1)設(shè)出麗=五，AC=b<求得而=|。+］左從而由|而產(chǎn)=而2求得A。的長；

(2)設(shè)/D4C=。，則。為而與前的夾角.

由夾角公式得到cos6=備禽=0，從而得到e=90°,即ND4C=90°.

18.答案：（1）解：因?yàn)镚的離心率為彳，所以3=1—捺，解得。2=3匕2①.

又因?yàn)闄E圓C2：條+磊=1經(jīng)過點(diǎn)?片），

所以專+親=1②。

聯(lián)立①②解得。2=1,爐=%

因此橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+芋=1.

3

（2）證明：①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，

點(diǎn)〃為（1,0）或（一1,0）,由對稱性不妨取M（l,0）.

由(1)知橢圓的方程為9+y2=I,所以N(—V5,o).

將x=1代入橢圓C2的方程得y=土澤

所以SANAB=1\MN\-\AB\=1(V3+1).^=V2+^.

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m,

將y=kx+m代入橢圓G的方程得(1+3/c2)%2+6kmx+3m2—1=0,

由題意得4=(6fcm)2-4(1+3fc2)(3m2-1)=0,

整理得3m2=l+3fc2.

將y=fcx4-zn代入橢圓。2的方程得(1+3/c2)%2+6kmx+3m2—3=0.

2

設(shè)3（久2，丫2），則%l+%2=6km_3m-3

l+3k2f—I+3“2

2

因此|AB|=V1+k?+女/—4%I%2

6km23m2-3

=Jl+H.

+3fc2-4XTT3^

2V3-V3/c2+1-m2

=Jl+H-

1+3/c2

2后\/i+H

3|m|

設(shè)”(殉,yo)，/V(x3,y3),'ON=AMO(A>0)，

則X3=—4x(),y3=-Ay0.

（以+3必=1Xg+3y^=1

因?yàn)槭笪?1

，所以

.暗+涮=1,

解得a=V3(A=—V5舍去)，

所以而=遮而，從而|NM|=(b+1)|OM|.

又因?yàn)辄c(diǎn)。到直線/的距離為d="%,

Vl+k2

所以點(diǎn)N到直線I的距離為(百+l)d=啜能,

因此S枷B=緡+l)d.網(wǎng)吟縹巖.鴦平

=應(yīng)+爭

綜上，△M4B的面積為定值四+漁.

3

解析：本題考查了橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的性質(zhì)及幾何意義，單位、零、共線、相反、相等

向量的概念，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線相交的弦長和圓錐曲

線中的定點(diǎn)與定值問題，屬于較難題.

(1)利用橢圓C1的離心率得。2=3爐，再利用橢圓C2的方程得9+a=1,最后計(jì)算得結(jié)論；

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)得點(diǎn)〃為(1,0)或(-1,0),再利用橢圓的對稱性，計(jì)算得結(jié)論，當(dāng)直線/

的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=/ex+m,將y=fcx4-zn代入橢圓G的方程，利用直線與橢圓G相切

得37n2=1+3/，再將y=依+巾代入橢圓的方程，利用直線與圓錐曲線相交的弦長得|ZB|=

駕半，設(shè)M(xo，yo)，20：3，%)，麗=4麗。>0)，利用共線向量的概念得麗=%麗，從

而得|NM|=(V3+1)|OM|,再利用點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)N到直線/的距離，最后計(jì)算得結(jié)論.

19.答案：解：因?yàn)辄c(diǎn)0(0,0),4(1,2),B(l+3t,2+3t),OP=OA+OB，

所以加=(1,2)+(1+3t,2+3t)=(2+3t,4+3t)，

⑴當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，4+3t=0,解得t=-g；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，2+3t=0,解得"一|：

(3)當(dāng)點(diǎn)p在第二象限時(shí)，解得一9<”一：.

iq十5c>u§§

解析：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的基本定理以及向量的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

(1)求出向量前的坐標(biāo)，利用縱坐標(biāo)為0,得出關(guān)于，的方程，即可求出結(jié)果；

(2)利用橫坐標(biāo)為0,得出關(guān)于，的方程，即可求出結(jié)果；

(3)利用橫坐標(biāo)小于0,縱坐標(biāo)大于0,得出關(guān)于7的不等式，即可求出結(jié)果.

20.答案：解：(1)向量近，DC，CB，AB，如圖所示：

(2)由題意知而=配，

所以AO』8C,則四邊形ABC。為平行四邊形，

所以四=配，

則B地相對于A地的位移為“在北偏東60。的方向距A地6千米”.

解析：本題考查向量的概念及幾何表示、向量相等的概念，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)題意直接畫即可；

(2)由題意知而=近,所以AD=BC,則四邊形ABCD為平行四邊形,得出荏萬乙即可求出結(jié)果.

21.答案：解：(1)圖形如下，

(2)圖形如下,

C的終點(diǎn)是以A為圓心，遍為半徑的圓.

解析：本題考查向量的幾何表示.

(1)畫出圖形即可；

(2)畫出圖形，并指出終點(diǎn)的軌跡即可.

22.答案：解：(1)與方平行的向量有而，BC，CB-,

(2)與方的模相等的向量有：

AD>BC,CB>AB'BA，DC>CD>BD>DB-

解析：本題考查向量平行的概念、向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)向量平行的概念直接求即可；

(2)根據(jù)向量模的概念求解..

23.答案：證明：：AB=DC，

:?AB“DC,AB=DC,

.??四邊形ABC。是平行四邊形,

：.\CB\=\DA\.

又麗=而

CN//MAB.CN=MA,

.??四邊形CM4M是平行四邊形，

???NA=CM,；.DN=DA-NA,MB=CB-CM,

\'MB\=\DN\.

又DN“MB,且方向相同，

???~DN=MB.

解析：本題主要考查向量關(guān)系的證明，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)平行四邊形的基本性質(zhì)（對邊平行且相等），結(jié)合向量相等的條件（大小相等，方向相同）進(jìn)行證明

即可.

24.答案：解：因?yàn)?4；+OAy-0>

所以+為+為+

=A2A^+A5A6+OA^+0^+0^7

=（耐+A2A3）+（0A1+j6）+西

_0A6

=?6

解析：本題主要考查了向量的加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

利用相反向量的概念得出西+西=0>再利用向量的三角形加法法則得出石+就+豆+%+

25.答案：解：⑴因?yàn)槭?（_3m，,,[K|=j（-02+（^）2=l>

又I磯=2,五與石的夾角為軍，

a-6=—1-

\a+2b\=J(a+2b)2=^a2+4a-b+4b=^4+4x2x1x(-1)+4=2;

(2)由0+kE)1(2b-ay

得0+k石)-(23一通=0，^2a-b--a+2kf-ka-b=0'

所以-2—4+2k+k=0,

解得k=2.

解析：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，向量模的計(jì)算，向量垂直的判斷，考查理解與運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

⑴由方=可得TT,又|有|=2,己與石的夾角為12(『可求得益小=-1，從而可求得|a+

2方|;

(2)由0+kl)1(2至一1)，得0+卜石)?(2石一初=0，可解得k=2.

26.答案：解：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作辦=3-

以A為起點(diǎn)作法=-2b'

以B為起點(diǎn)作位;=二京，

2

連結(jié)OC,則左即為所求作的向量

解析：本題考查

向量的作法，根

據(jù)向量加減法的

三角形法則，依

次分別作出

OA=3a1AB=

-2b'BC=1c，再連結(jié)OC,則兒即為所求作的向量，屬基礎(chǔ)題.

27.答案:解：⑴設(shè)6(-2,0),F2(V2,0)，

則由記=(x+yj2,y),n=(%—y［2,y)得

222

\m\=J(x4-V2)+y2=\PF1\,\n\=J(x—V2)+y=\PF2\,

因?yàn)镮沆I+I元I=4,所以IPF/+IPF2I=4,

由橢圓的定義可知P的軌跡是以Fi(-魚,0),「2(或，。)為焦點(diǎn)，4為長軸的橢圓，

故C的方程為式+^=1.

42

(2)證明：由題意可知直線/的斜率一定存在，設(shè)直線/的方程為y=上久(上>0),

與橢圓?+?=1聯(lián)立可得(1+2k2)/=4,

所以萬=而宰，”(而有，戒奉)’N(而有，磅q)-

點(diǎn)，的坐標(biāo)為(總餐,0),直線HN的方程為y=?(x+焉行),

代入？+白］，可得小］)/+焉+急=。,

—6人2—4

所以%Q,XN=

號+1>(2/+1)

6k2+4

因?yàn)椤癗=焉G，所以XQ=一

(k2+2)-V2k2+l，

3

6k?+4-2k

。的坐標(biāo)為(一:)，

(k2+2)-V2/c2+l|(/c2+2)-V2fc2+l

于是AQM=-%所以AQM.%N=-1，即QM1MN.

解析：本題考查橢圓的概念，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查兩直線垂直

的判斷，考查學(xué)生分析問題的能力及運(yùn)算能力，難度較大.

2222

(1)由沆=(x+a,y)，n=(x-V2,y)^|m|=+V2)+y=\PFX|