2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)素養(yǎng)提升第1章集合常用邏輯用語不等式第4講一元二次不等式及其解法

一元二次方程根的分布情況設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的兩根為x1，x2，且x1<x2，相應(yīng)的二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即為二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它們的分布情況見下面各表(每種情況對應(yīng)的均是充要條件)．表一：(兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況)分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0(x1<0，x2<0)兩個(gè)正根即兩根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，一個(gè)根大于0(x1<0<x2)大致圖象(a>0)得出的結(jié)論f(0)<0大致圖象(a<0)得出的結(jié)論f(0)>0綜合結(jié)論(不討論a)a·f(0)<0表二：(兩根與k的大小比較)分布情況兩根都小于k即x1<k，x2<k兩根都大于k即x1>k，x2>k一個(gè)根小于k，一個(gè)根大于k即x1<k<x2大致圖象(a>0)得出的結(jié)論f(k)<0大致圖象(a<0)得出的結(jié)論f(k)>0綜合結(jié)論(不討論a)a·f(k)<0表三：(根在區(qū)間上的分布)分布情況兩根都在(m，n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)(圖象有兩種情況，只畫了一種)一根在(m，n)內(nèi)，另一根在(p，q)內(nèi)，m<n<p<q大致圖象(a>0)得出的結(jié)論f(m)·f(n)<0大致圖象(a<0)得出的結(jié)論f(m)·f(n)<0綜合結(jié)論(不討論a)f(m)·f(n)<0根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間(m，n)外，即在區(qū)間兩側(cè)x1<m，x2>n，(圖形分別如下)需滿足的條件是(1)a>0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn<0；))(2)a<0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn>0.))對以上的根的分布表中，兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)有以下特殊情況：(ⅰ)若f(m)＝0或f(n)＝0，則此時(shí)f(m)·f(n)<0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為m或n，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間(m，n)內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在區(qū)間(1,3)上有一根，因?yàn)閒(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根為eq\f(2,m)，由1<eq\f(2,m)<3得eq\f(2,3)<m<2即為所求；(ⅱ)方程有兩個(gè)相等的根，且這個(gè)根在區(qū)間(m，n)內(nèi)，即Δ＝0，此時(shí)由Δ＝0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值代入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)．如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在區(qū)間(－3,0)內(nèi)，求m的取值范圍．分析：①由f(－3)·f(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出－3<m<－eq\f(15,14)；②由Δ＝0即16m2－4(2m＋6)＝0得出m＝－1或m＝eq\f(3,2)，當(dāng)m＝－1時(shí)，根x＝－2∈(－3,0)，即m＝－1滿足題意；當(dāng)m＝eq\f(3,2)時(shí)，根x＝3?(－3,0)，故m＝eq\f(3,2)不滿足題意．綜上分析，得出－3<m<－eq\f(15,14)或m＝－1.若關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分別滿足下列條件時(shí)，求m的取值范圍．(1)一根在(1,2)內(nèi)，另一根在(－1,0)內(nèi)；(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)內(nèi)；(3)一根小于1，另一根大于2；(4)一根大于－1，另一根小于－1；(5)兩根都在區(qū)間(－1,3)；(6)兩根都大于0；(7)兩根都小于1；(8)在(1,2)內(nèi)有解．[解析]設(shè)f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝4(2m2＋m＋1)>0.(1)一根在(1,2)內(nèi)，另一根在(－1,0)內(nèi)應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1f2<0，,f0f－1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2m＋1<0，,－2m－3－m<0，))解得－eq\f(1,2)<m<0，所以m的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<m<0)))).(2)一根在(－1,1)內(nèi)，另一根不在(－1,1)內(nèi)，應(yīng)滿足f(－1)f(1)<0，即(2m＋1)(－2m－3)<0，∴m>－eq\f(1,2)或m<－eq\f(3,2)，又∵m－1≠0，∴m≠1，∴m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．(3)一根小于1，另一根大于2，應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1f1<0，,m－1f2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－12m＋1<0，,m－1m<0，))解得0<m<1，∴m的取值范圍為{m|0<m<1}．(4)一根大于－1，另一根小于－1，應(yīng)滿足(m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0，解得m<－eq\f(3,2)或m>1，∴m的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－\f(3,2)或m>1)))).(5)兩根都在(－1,3)內(nèi)，應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－1<－\f(m＋1,m－1)<3，,m－1f－1>0，,m－1f3>0，))解得－eq\f(3,2)<m<eq\f(3,14)，∴m的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<m<\f(3,14))))).(6)兩根都大于0，應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(m＋1,m－1)>0，,m－1f0>0，))解得0<m<1，∴m的取值范圍為{m|0<m<1}．(7)兩根都小于1，應(yīng)滿足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(m＋1,m－1)<1，,m－1f1>0，))解得m>1或m<－eq\f(1,2)，∴m的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1或m<－\f(1,2))))).(8)在(1,2)內(nèi)有解應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,1<－\f(m＋1,m－1)<2，,m－1f1>0，,m－1f2>0，))或f(1)f(2)≤0，解得－eq\f(1,2)≤m≤0，經(jīng)檢驗(yàn)m＝－eq\f(1,2)及m＝0都不合題意舍去，解得－eq\f(1,2)<m<0，∴m的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<m<0)))).【變式訓(xùn)練】已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的范圍．[解析](1)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，畫出示意圖，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝2m＋1<0，,f－1＝2>0，,f1＝4m＋2<0，,f2＝6m＋5>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－\f(1,2)，,m∈R，,m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6).))∴－eq\f(5,6)<m<－eq\f(1,2).(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0