2025版高考數(shù)學一輪總復習知識梳理第3章導數(shù)及其應用第2講導數(shù)在研究函數(shù)中的應用第2課時導數(shù)與函數(shù)的極值最值

第二課時導數(shù)與函數(shù)的極值、最值知識梳理知識點一函數(shù)的極值1．函數(shù)的極值(1)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)<f(x0)，那么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作f(x)極大值＝f(x0)；如果對x0附近的所有的點，都有f(x)>f(x0)，那么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作f(x)極小值＝f(x0)．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值．(2)當函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時，判別f(x0)是極大(小)值的方法：如果x<x0有f′(x)>0，x>x0有f′(x)<0，那么f(x0)是極大值．如果x<x0有f′(x)<0，x>x0有f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．2．求可導函數(shù)f(x)極值的步驟(1)求導數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)y＝f(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y＝f(x)在這個根處取得極小值.知識點二函數(shù)的最值1．函數(shù)的最值的概念設(shè)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，函數(shù)f(x)在[a，b]上一切函數(shù)值中的最大(最小)值，叫做函數(shù)y＝f(x)的最大(最小)值．2．連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上一定有最大值和最小值．3．求函數(shù)最值的步驟設(shè)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在[a，b]上的最值，可分兩步進行：(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．歸納拓展1．f′(x0)＝0與x0是f(x)極值點的關(guān)系函數(shù)f(x)可導，則f′(x0)＝0是x0為f(x)的極值點的必要不充分條件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點．2．極大值(或極小值)可能不止一個，可能沒有，極大值不一定大于極小值．3．極值與最值的關(guān)系極值只能在定義域內(nèi)取得(不包括端點)，最值卻可以在端點處取得；有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，非常數(shù)可導函數(shù)最值只要不在端點處取，則必定在極值處?。?．定義在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)不一定存在最大(小)值．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的．(×)(2)函數(shù)的極小值不一定比極大值?。?√)(3)導數(shù)等于0的點不一定是函數(shù)的極值點．(√)(4)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值．(√)(5)單調(diào)函數(shù)一定沒有極值．(√)[解析](1)函數(shù)的極值是局部概念，極值點是與該點附近的點的函數(shù)值比較得到的，而不是在某區(qū)間或定義域上比較．(2)如圖，在x1處的極大值比在x2處的極小值?。?3)如y＝x3在x＝0處，導數(shù)為0，但不是極值點．(4)如圖知正確．題組二走進教材2．(選修2P92T1改編)如圖是f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數(shù)為(A)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由題意知只有在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導數(shù)符號為左負右正．3．(選修2P98T6改編)函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e]上的最大值為(B)A．1－e B．－1C．－e D．0[解析]因為f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，當x∈(0,1)時，f′(x)>0；當x∈(1，e]時，f′(x)<0，所以當x＝1時，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.故選B．4．(選修2P98T5改編)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋a,x)在其定義域的一個子區(qū)間(e，e2)上有極值，則實數(shù)a的取值范圍是(A)A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(0,2)[解析]求導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由已知建立不等式，求解即可．f′(x)＝eq\f(1－lnx－a,x2)，令f′(x)＝0，即1－lnx－a＝0，解得x＝e1－a，且0<x<e1－a，f′(x)>0；x>e1－a，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e1－a)上單調(diào)遞增，在(e1－a，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)有極大值f(e1－a)＝eq\f(lne1－a＋a,e1－a)＝ea－1，∴e<e1－a<e2，∴－1<a<0，故選A．題組三走向高考5．(2017·課標Ⅱ，11)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的極值點，則f(x)的極小值為(A)A．－1 B．－2e－3C．5e－3 D．1[解析]由題意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；x∈(－2,1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．∴f(x)極小值＝f(1)＝－1.故選A．6．(2022·全國甲卷)當x＝1時，函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)取得最大值－2，則f′(2)＝(B)A．－1 B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．1[解析]由題意知，f(1)＝aln1＋b＝b＝－2