2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識梳理第5章平面向量與復(fù)數(shù)第1講平面向量的概念及其線性運(yùn)算

第一講平面向量的概念及其線性運(yùn)算知識梳理知識點(diǎn)一向量的有關(guān)概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或稱模)．2．零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0.3．單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行.5．相等向量：長度相等且方向相同的向量．6．相反向量：長度相等且方向相反的向量．知識點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差，即a＋(－b)＝a－b三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量記作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0設(shè)λ，μ是實(shí)數(shù)．(1)λ(μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點(diǎn)三共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.歸納拓展1．零向量與任何向量共線．2．與向量a(a≠0)共線的單位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．4．首尾相連的一組向量的和為0.5．若P為AB的中點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．6．若a、b不共線，且λa＝μb，則λ＝μ＝0.雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關(guān)．(√)(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(×)(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(×)(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(√)題組二走進(jìn)教材2．(必修2P22T4改編)化簡eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(B)A.eq\o(AD,\s\up6(→)) B．0C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(DA,\s\up6(→))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.3．(必修2P15T3改編)八卦是中國古老文化的深奧概念，其深邃的哲理解釋了自然、社會現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝(B)A.eq\o(OD,\s\up6(→)) B．eq\o(DO,\s\up6(→))C．eq\o(DA,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→)).故選B.4．(多選題)(必修2P15T4改編)如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中(BC)A．向量eq\o(CH,\s\up6(→))，eq\o(DG,\s\up6(→))的模相等B．|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(10)C．向量eq\o(DG,\s\up6(→))，eq\o(HF,\s\up6(→))共線D．|eq\o(DG,\s\up6(→))|＋|eq\o(HF,\s\up6(→))|＝10[解析]對于ABD，通過計(jì)算向量的模進(jìn)行判斷即可，對于C，通過判斷直線DG，HF的位置關(guān)系來判斷兩向量是否共線．因?yàn)閨eq\o(CH,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，|eq\o(DG,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以|eq\o(CH,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(DG,\s\up6(→))|，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)閨eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，所以B正確；因?yàn)椤螩DG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量eq\o(DG,\s\up6(→))，eq\o(HF,\s\up6(→))共線，所以C正確；因?yàn)閨eq\o(DG,\s\up6(→))|＋|eq\o(HF,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22)＋eq\r(32＋32)＝5eq\r(2)≠10，所以D錯(cuò)誤，故選BC.題組三走向高考5．(2020·新高考Ⅱ，3,5分)若D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則eq\o(CB,\s\up6(→))＝(A)A．2eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)) B．2eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))C．2eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)) D．2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))[解析]∵D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)).故選A.6．(2015·新課標(biāo)2,13,5分)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與