四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟高三下學(xué)期第一次統(tǒng)一監(jiān)測試題數(shù)學(xué)（文）

四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟2021級(jí)高三第一次統(tǒng)一監(jiān)測文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、班級(jí)、考場/座位號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條碼貼碼區(qū)”．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效．3．考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．采購經(jīng)理指數(shù)（PMI），是國際上通用的監(jiān)測宏觀經(jīng)濟(jì)走勢的先行性指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測、預(yù)警作用．PMI高于50%時(shí)，反映經(jīng)濟(jì)總體較上月擴(kuò)張；低于50%，則反映經(jīng)濟(jì)總體較上月收縮．根據(jù)2022年6月至2023年9月PMI，繪制出如下折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位數(shù)大于50B．2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第一季度各月的PMI的方差C．2023年第1季度各月經(jīng)濟(jì)總體較上月擴(kuò)張D．2023年第3季度各月經(jīng)濟(jì)總體較上月擴(kuò)張3．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．4．一次課外活動(dòng)中，某班60名同學(xué)均參加了羽毛球或兵乓球運(yùn)動(dòng)，其中37人參加了羽毛球運(yùn)動(dòng)，38人參加了乒乓球運(yùn)動(dòng)．若從該班隨機(jī)抽取一名同學(xué)，則該同學(xué)既參加了羽毛球運(yùn)動(dòng)又參加了乒乓球運(yùn)動(dòng)的概率為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，記前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．6．已知雙曲線的漸近線方程為，則（）A． B．1 C． D．37．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出值是（）A．9 B．99 C．100 D．9998．已知，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．10．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．411．設(shè)正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為．則下列結(jié)論正確的是（）A．必然為三角形 B．可以是四邊形C．的周長沒有最大值 D．的面積存在最大值12．已知函數(shù)．若，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則_______．14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______．15．如圖，在矩形中，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．沿直線將翻折，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置．當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積為_______．16．已知點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)的兩直線與圓相切，切點(diǎn)分別為，則當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）在某果園的苗圃進(jìn)行果苗病蟲害調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了200棵受到某病蟲害的果苗，并測量其高度（單位：），得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．圖中成等差數(shù)列，公差為0.01．（1）求的值；（2）估計(jì)該苗圃受到這種病蟲害的果苗高度的中位數(shù)和平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）估計(jì)該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗的高度位于區(qū)間的概率．18．（12分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角；（2）若的角平分線交于，求的長．19．（12分）如圖，在四棱錐中，，平面平面．（1）證明：平面；（2）已知，且，求點(diǎn)到平面的距離．20．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）若有2個(gè)零點(diǎn)，證明：．21．（12分）已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)在曲線上．（1）設(shè)曲線的離心率為，點(diǎn)到直線的距離為，求證：；（2）設(shè)過定點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)與直線垂直的直線與相交于點(diǎn)，直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且傾斜角為45°的直線與軸相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓半徑為2．以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線的一個(gè)參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與圓相交于點(diǎn)，求的面積．23．[選修45：不等式選講]（10分）已知．（1）求不等式的解集；（2）令的最小值為，若正數(shù)滿足，證明：．四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟2021級(jí)高三第一次統(tǒng)一監(jiān)測文科數(shù)學(xué)答案解析與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】B【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的交集運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥考?，則．2．【答案】C【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)應(yīng)用情境，主要考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查概率統(tǒng)計(jì)等思想方法，考查數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥扛鶕?jù)圖表可知，共有10個(gè)月的PMI小于50，所以各月的PMI的中位數(shù)小于50，A錯(cuò)誤；2022年第四季度各月的PMI比2023年第一季度各月PMI的波動(dòng)大，則方差也大，故B錯(cuò)誤；2023年第1季度各月PMI均大于50，則各月經(jīng)濟(jì)總體較上月擴(kuò)張，C正確；同理D錯(cuò)誤．3．【答案】C【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，主要考查平面向量的代數(shù)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，兩個(gè)向量垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．【解析】由已知得，因，故，得．4．【答案】A【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)應(yīng)用情境，以體育鍛煉為背景，主要考查概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查概率統(tǒng)計(jì)等思想方法，考查數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥恳李}意，該班學(xué)生中既參加了羽毛球運(yùn)動(dòng)又參加了乒乓球運(yùn)動(dòng)有（名），故從該班隨機(jī)抽取一名同學(xué)，該同學(xué)既參加了羽毛球運(yùn)動(dòng)又參加了乒乓球運(yùn)動(dòng)的概率為．5．【答案】D【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，主要考查數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等思想方法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，由得，解得（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．6．【答案】A【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥吭撾p曲線的漸近線方程為，則，可解得．7．【答案】B【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)應(yīng)用情境，主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖及對(duì)數(shù)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥恳字绦蚩驁D的功能是求，由得，所以輸出．8．【答案】A【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥恳李}意，；，且；．所以．9．【答案】A【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，以指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合型函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥恳李}意，，可知為偶函數(shù)，排除C，D；當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，，則時(shí)，，則，B不符題意，故選A．10．【答案】C【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，主要考查兩角和的正弦公式，正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥亢瘮?shù)圖象向左平移個(gè)單位長度后，得的圖象，由已知得，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以的最小值?．11．【答案】D【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境，以正方體及其截面的主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查直觀想象、推理論證等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥繉?duì)于A，易知平面為平面或與其平行的平面，故只能為三角形或六邊形，A，B均錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)為三角形時(shí)，周長最大值為為六邊形時(shí)，，設(shè)，則，周長為，故的周長的最大值為錯(cuò)誤；對(duì)于D，很明顯，當(dāng)為六邊形時(shí)，面積最大，該六邊形可由兩個(gè)等腰梯形構(gòu)成，，兩個(gè)等腰梯形的高分別為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，六邊形面積最大，即截面是正六邊形時(shí)截面面積最大．12．【答案】A【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境，設(shè)計(jì)函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用問題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。【解析】依題意，，可知時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；又時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，可知，，且，所以，令，則，當(dāng)，當(dāng)，故時(shí)，取極大值，也即為最大值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，主要考查復(fù)數(shù)的概念及除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥浚?4．【答案】26【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥恳?yàn)闉榈炔顢?shù)列，由可得，所以，則．15．【答案】【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境，考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系、直線與平面所成的角、三棱錐的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥咳鐖D，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．由翻折前后的不變性可知，；易知四邊形為正方形，則．因此，當(dāng)平面平面時(shí)，平面．由題意可知，．16．【答案】【考查意圖】本小題設(shè)置探索創(chuàng)新情境，以直線與拋物線的位置關(guān)系載體，考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥咳鐖D，設(shè)，設(shè)與交于．根據(jù)圓的性質(zhì)，有，且在中，，而，則，所以，當(dāng)最小時(shí)，最?。?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）【考查意圖】本小題設(shè)置生活實(shí)踐情境，設(shè)計(jì)果苗病蟲害調(diào)查相關(guān)的概率與統(tǒng)計(jì)問題，主要考查離直方圖識(shí)別、統(tǒng)計(jì)量計(jì)算和概率等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥浚?）因?yàn)槭枪顬?.01的等差數(shù)列，所以，解得．（2）因?yàn)楦叨任挥趨^(qū)間的頻率為，位于區(qū)間的頻率為，所以，果苗高度的中位數(shù)是區(qū)間的中點(diǎn)，即為．由頻率分布直方圖得，該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度為：．（3）該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間的頻率為：所以，估計(jì)該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間的概率為0.6．18．（12分）【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，角平分線定義及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。【解析】（1）解法一：由及正弦定理，可得．又，所以．又在中，，故，所以．解法二：由及余弦定理，可得．即，所以．故．（2）由（1）知．又所以．所以．說明：本小題可用平面幾何的方法解答：過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，則為等邊三角形（邊長為），于是，解得．19．（12分）【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、探索創(chuàng)新情境，以四棱錐中的線面關(guān)系為載體，主要考查多面體的結(jié)構(gòu)特征、平面與平面垂直的性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法，考直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥浚?）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．又，所以，平面．?）由（1）可知，平面，即平面平面．過作直線的垂線，垂足為，則平面．由已知，，則．顯然，為直角三角形，則．易知，，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，則，解得．20．（12分）【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、探索創(chuàng)新情境，主要考查不等式、函數(shù)零點(diǎn)問題，考查函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥浚?）當(dāng)，函數(shù)．則，可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．則當(dāng)時(shí)，取得極小值，也即為最小值．所以的最小值為．（2）由已知，是的兩個(gè)零點(diǎn)．則，兩式相減，得，整理得．欲證明，只需證明不等式，即證明，也即證明．不妨設(shè)，令，則．只需證明，即證明即可．令，則．又令，則．所以，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，則．故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則．所以，原不等式成立，故不等式得證．21．（12分）【考查意圖】本小題設(shè)置探索創(chuàng)新情境，以直線與橢圓的位置關(guān)系為載體，主要考查橢圓的方程、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系；考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等思想方法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥浚?）由題意，曲線的離心率．顯然，，即．又因?yàn)椋?，故，即．?）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．由題意，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立方程組消